1、考研数学二（一元函数积分学）-试卷 8 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)连续，f(0)=1，f“(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是 ( )（分数：2.00）A.y= 0 x f(t)dtB.y=1+ 0 x f(t)dtC.y= 0 2x f(t)dtD.y=1+ 0 2x f(t)dt3.设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y=(x)= a b x 一 t(t)dt ( )（分数：2.00）A.在(a，
2、b)内的图形为凸B.在(a，b)内的图形为凹C.在(b，b)内有拐点D.在(a，b)内有间断点4.f(x)= （分数：2.00）A.F(x)为 f(x)的一个原函数B.F(x)在(一，+)上可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(一，+)上不连续D.F(x)在(一，+)上连续，但不是 f(x)的原函数5.已知 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为 f(x)的原函数B.f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F“(x)=f(x)6
3、.设 F(x)= 0 x+2 e sint sintdt，则 F(x) ( )（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.设两曲线 y=f(x)与 y= 0 arctanx dt 在点(0，0)处有相同的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1(a 为常数，n 为自然数) （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)是连续函数，且 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(3x+1)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.=
4、 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)有一个原函数 （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.计算 2 + （分数：2.00）_18.已知 I()= 0 （分数：2.00）_19.求不定积分 （分数：2.00）_20.求不定积分(arcsin x) 2 dx（分数：2.00）_21.设函数 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）_22.设 f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0又设 u(t)在
5、区间0，a(或a，0)上连续，试证明： （分数：2.00）_23.(1)设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，试证明： 0 x f(t)dt 可以表示为一个以 T 为周期的函数 (x)与kx 之和，并求出此常数 k； (2)求(1)中的 0 x (t)dt； (3)以x表示不超过 x 的最大整数，g(x)=x 一x，求 （分数：2.00）_24.设在区e，e 2 上，数 p，q 满足条件 px+qln x 求使得积分 I(p，q)= （分数：2.00）_25.设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)0x1，0y1及直线 l：x+y=t(t0)。若 S(t)表示正方形D 位于直线 l 左下方
6、部分的面积，试求 0 x S(t)dt(x0)。（分数：2.00）_26.设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 A + 出收敛，其中常数 A0试证明： （分数：2.00）_27.求曲线 y= （分数：2.00）_28.设 D 是由曲线 y=sin x+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D 绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积（分数：2.00）_29.如图 131 所示，设曲线方程为 y=x 2 + ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为(a，0)，a0，证明： （分数：2.00）_30.设函数 F(X)在闭区间0
7、，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足 xf“(x)=f(x)+ （分数：2.00）_31.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_32.设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角(0 )的平面截此柱体，得一楔形体(如图 132)，求此楔形
8、体的体积 V （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）-试卷 8 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)连续，f(0)=1，f“(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是 ( )（分数：2.00）A.y= 0 x f(t)dtB.y=1+ 0 x f(t)dtC.y= 0 2x f(t)dtD.y=1+ 0 2x f(t)dt 解析：解析：曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项
9、(D)中函数记为y=F(x)由 F(0)=1，F“(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为 y=1+2x故应选(D)3.设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y=(x)= a b x 一 t(t)dt ( )（分数：2.00）A.在(a，b)内的图形为凸B.在(a，b)内的图形为凹 C.在(b，b)内有拐点D.在(a，b)内有间断点解析：解析：先将 (x)利用xt的分段性分解变形，有 (x)= a x (x 一 t)(t)dt+ x b (t一 x)(t)dt=x a x (t)dt a x t(t)dt+ x b t(t)dtx x b (
10、t)dt 因为 (t)在a，b上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是(D)其余三个选项，只需求出 “(x)，讨论 “(x)在(a，b)内的符号即可因 (x)= a x (t)dt 一 x b (t)dt， (x)=2(x)0，xa，b， 故 y=(x)在(a，b)内的图形为凹应选(B)4.f(x)= （分数：2.00）A.F(x)为 f(x)的一个原函数B.F(x)在(一，+)上可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(一，+)上不连续D.F(x)在(一，+)上连续，但不是 f(x)的原函数 解析：解析：请看通常的解法： 求积分并用连续性确定积分常数，可得 5.已知 f(x)= （分数
11、：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为 f(x)的原函数 B.f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F“(x)=f(x)解析：解析：可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为 不存在， 故 x=0 为 f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数 通过计算6.设 F(x)= 0 x+2 e sint sintdt，则 F(x) ( )（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：因 e sinx sin x 是以
12、2 为周期的周期函数，所以 x x+2 e sint sintdt= 0 2 e sint sin tdt 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.设两曲线 y=f(x)与 y= 0 arctanx dt 在点(0，0)处有相同的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：8.= 1(a 为常数，n 为自然数) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：9.设 f(x)是连续函数，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对 x 求导
13、得10.设 f(3x+1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一(1+*)）解析：解析： 1 e xf“(x)dx= 1 e xdf(x)=xf(x) 1 e 一 1 e f(x)dx。 13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：14.设 f(x)有一个原函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2 +2+6）解析：解析：15.= 1
14、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2arctan ）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.计算 2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 k 的取值，分情况讨论： )解析：18.已知 I()= 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 a0，1 时， )解析：19.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求不定积分(arcsin x) 2 dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设函数 f
15、(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=2x 一 t，则 t=2x 一 u，dt=一 du 当 t=0 时，u=2x；当 t=x 时，u=x故 0 x tf(2xt)dt=一 2x x (2x 一 u)f(u)du=2x x 2x f(u)du x 2x uf(u)du， )解析：22.设 f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0又设 u(t)在区间0，a(或a，0)上连续，试证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0 )+ f“()(xx 0 ) 2 f(x 0
16、 )+f“(x 0 )(xx 0 )， 介于 x 与 x 0 之间 以 x=u(t)代入并两边对 t 从 0 到 a 积分，其中暂设a0，于是有 0 x fu(t)dtaf(x 0 )+f“(x 0 ) 0 x u(t)dtx 0 a )解析：解析：由条件 f“(x)0，想到将 f(x)在某 x 0 处展成带有拉格朗日余项的泰勒公式，然后丢弃f“()得到一个不等式以处理之23.(1)设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，试证明： 0 x f(t)dt 可以表示为一个以 T 为周期的函数 (x)与kx 之和，并求出此常数 k； (2)求(1)中的 0 x (t)dt； (3)以x表示不超过 x
17、 的最大整数，g(x)=x 一x，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)= 0 x f(t)dt 一 kx，考查 (x+T)一 (x)= 0 x+T f(t)dt 一k(x+T)一 0 x f(t)dt+kx = 0 T f(t)dt+ T x+T f(t)dt 0 x f(t)dtkT 对于其中的第二个积分，作积分变量代换，令 t=u+T，有 T x+T f(t)dt= 0 x f(u+T)du= 0 x f(u)du， 于是 (x+T)一(x)= 0 T f(t)dt 一 kT。 可见，(x)为 T 周期函数的充要条件是 )解析：解析：(1)证明能取到常数 k 使
18、0 x ft)dt 一 kx 为周期 T 即可(1)得到的表达式去求 24.设在区e，e 2 上，数 p，q 满足条件 px+qln x 求使得积分 I(p，q)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要使 I(p，q)= (px+q 一 ln x)dx 最小，直线 y=px+q 应与曲线 y=ln x 相切，从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数通过积分求出 I(p)后再用微分方法求 I(p)的极值点 p 0 ，然后再求出 q 的值或将 p，q 都表示成另一个参数 t 的函数形式，求出 I(t)的极值点后，再求出 p，q 的值 设直线 y=px+q 与曲线 y=ln z 相切于点(t
19、，lnt)，则有 )解析：25.设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)0x1，0y1及直线 l：x+y=t(t0)。若 S(t)表示正方形D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0 x S(t)dt(x0)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 A + 出收敛，其中常数 A0试证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：27.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 D 是由曲线 y=sin x+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D 绕 x 轴旋
20、转一周所围成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y= 0 (sin x+1) 2 dx= )解析：29.如图 131 所示，设曲线方程为 y=x 2 + ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为(a，0)，a0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设函数 F(X)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足 xf“(x)=f(x)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点
21、P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y“(X 一 x) 两边对 x 求导并化简得 yy“=(y“) 2 令 p=y“，则上述方程可化为 )解析：32.设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角(0 )的平面截此柱体，得一楔形体(如图 132)，求此楔形体的体积 V （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：底面椭圆的方程为 =1。 以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为 )解析：
