1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 2及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1991年)如图 28， 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l的细杆，有一质量为 m的质点到杆右端的距离为 a，已知引力系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.3.(1992年)设 f()连续，F() （分数：2.00）A.f( 4 )B. 2 f( 4 )C.2f( 4 )D.2f( 2 )4.(1992年)若 f()的导函
2、数是 sin，则 f()有一个原函数为 【 】（分数：2.00）A.1sinB.1sinC.1cosD.1cos5.(1993年)已知 （分数：2.00）A.B.C.D.6.(1994年)设 M cos 4 d，N (sin 3 cos 4 )d，P （分数：2.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN7.(1995年)曲线 y(1)(2)与 轴所围图形面积可表示为 【 】（分数：2.00）A. 0 2 (1)(2)dB. 0 1 (1)(2)d 1 2 (1)(2)dC. 0 1 (1)(2)d 1 2 (1)(2)dD. 0 2 (1)(2)d8.(1996年)设 f()，g()在区
3、间a，b上连续，且 g()f()m，(m 为常数)，由曲线 yg()，yf()，a 及 b 所围平面图形绕直线 ym 旋转而成的旋转体体积为 【 】（分数：2.00）A. a b 2mf()g()f()g()dB. a b 2mf()g()f()g()dC. a b mf()g()f()g()dD. a b mf()g()f()g()d二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.(1991年) （分数：2.00）填空项 1:_10.(1991年)质点以 tsin(t 2 )米秒作直线运动，则从时刻 t 1 秒到 t 2 （分数：2.00）填空项 1:_11.(1992年) （分数：2.00）
4、填空项 1:_12.(1992年)由曲线 ye 与直线 ye 所围成图形的面积 S 1（分数：2.00）填空项 1:_13.(1993年)设 F() 1 (2 （分数：2.00）填空项 1:_14.(1993年) （分数：2.00）填空项 1:_15.(1993年)已知曲线 yf()过点(0， （分数：2.00）填空项 1:_16.(1994年) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.(1991年)sin 2 d（分数：2.00）_19.(1991年)曲线 y(1)(2)和 轴围
5、成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_20.(1991年)设函数 f()在(，)内满足 f()f()sin，且 f()，0，)，计算 3 f()d（分数：2.00）_21.(1992年)求 （分数：2.00）_22.(1992年)求 （分数：2.00）_23.(1992年)设 （分数：2.00）_24.(1992年)计算曲线 yln(1 2 )上相应于 0 （分数：2.00）_25.(1992年)求曲线 y （分数：2.00）_26.(1993年)求 （分数：2.00）_27.(1993年)求 （分数：2.00）_28.(1993年)设平面图形 A由
6、2 y 2 2 与 y 所确定，求图形 A绕直线 2 旋转一周所得旋转体的体积。（分数：2.00）_29.(1993年)设 f()在0，a上连续，且 f(0)0，证明 （分数：2.00）_30.(1994年)计算 0 1 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 2答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(1991年)如图 28， 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l的细杆，有一质量为 m的质点到杆右端的距离为 a，已知引力系数为
7、 k，则质点和细杆之间引力的大小为 【 】 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：3.(1992年)设 f()连续，F() （分数：2.00）A.f( 4 )B. 2 f( 4 )C.2f( 4 ) D.2f( 2 )解析：解析：由 F() 4.(1992年)若 f()的导函数是 sin，则 f()有一个原函数为 【 】（分数：2.00）A.1sinB.1sin C.1cosD.1cos解析：解析：由题设 f()sin于是 f()f()dcosC， 从而 f()的原函数 F()f()d(cosC 1 )dsinC 1 C 2 令 C 1 0，C 2 1，即得 f()的一个原函数为 1
8、sin5.(1993年)已知 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：6.(1994年)设 M cos 4 d，N (sin 3 cos 4 )d，P （分数：2.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN 解析：解析：由被积函数的奇偶性可知 M0，N2 cos 4 d0 P2 7.(1995年)曲线 y(1)(2)与 轴所围图形面积可表示为 【 】（分数：2.00）A. 0 2 (1)(2)dB. 0 1 (1)(2)d 1 2 (1)(2)dC. 0 1 (1)(2)d 1 2 (1)(2)d D. 0 2 (1)(2)d解析：解析：y(1)(2)与 轴的交点为 0，1，2，因
9、此该曲线与 轴围成的面积为 0 2 (1)(2)d 0 1 (1)(2)d 1 2 (1)(2)d 所以应选 C8.(1996年)设 f()，g()在区间a，b上连续，且 g()f()m，(m 为常数)，由曲线 yg()，yf()，a 及 b 所围平面图形绕直线 ym 旋转而成的旋转体体积为 【 】（分数：2.00）A. a b 2mf()g()f()g()dB. a b 2mf()g()f()g()d C. a b mf()g()f()g()dD. a b mf()g()f()g()d解析：解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.(1991年) （分数：2.00）填空项 1:_
10、（正确答案：正确答案：1）解析：解析：10.(1991年)质点以 tsin(t 2 )米秒作直线运动，则从时刻 t 1 秒到 t 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：质点所经过的路程为11.(1992年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*ln2）解析：解析：12.(1992年)由曲线 ye 与直线 ye 所围成图形的面积 S 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*e1）解析：解析：由 e e 可知 (e e)0，则 0 或 1 故 S 0 1 (ee )d 13.(1993年)设 F() 1 (2 （分数：
11、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0， ）解析：解析：F()(2 ) (0)，令 2 0 解得 0 则 F()单调减少的区间为(0，14.(1993年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.(1993年)已知曲线 yf()过点(0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由原题设可知 yln(1 2 )，则 又曲线 yf()过点(0， )，即y(0) ，代入上式得 C 故 y 16.(1994年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3sin3f(cos3)）解析：解析：由变上求导法
12、可知三、解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.(1991年)sin 2 d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.(1991年)曲线 y(1)(2)和 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 y积分，由原曲线方程 y(1)(2)可得 所求旋转体体积为 )解析：20.(1991年)设函数 f()在(，)内满足 f()f()sin，且 f()，0，)，计算 3 f()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.
13、(1992年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.(1992年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.(1992年)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.(1992年)计算曲线 yln(1 2 )上相应于 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由弧长计算公式可知所求弧长为 )解析：25.(1992年)求曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为(t， )，由于 y ，则曲线 y 在点(t， )处的切线方程为 令 S(t)0 得 t1，又 S(1)0，则 t1 时 S(t)有极小值，即最小值，
14、此时切线方程为 y 当 时，y ，当 2 时，y 则切线 y 与0，2 及 轴围成的梯形面积为 S(t) (因为 a 2 b 2 2ab) 当且仅当 ，即t1 时 S(t)达到最小，所求切线方程为 y )解析：26.(1993年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.(1993年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.(1993年)设平面图形 A由 2 y 2 2 与 y 所确定，求图形 A绕直线 2 旋转一周所得旋转体的体积。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 y积分(见图 213)，则微元 )解析：29.(1993年)设 f()在0，a上连续，且 f(0)0，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 0，a，则 f() 0 f(t)dt，该式两边取绝对值 f() 0 f(t)dt 0 f(t)dt 0 MdtM 于是 0 a f()dt 0 a f()d 0 a Md )解析：30.(1994年)计算 0 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
