1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 3及答案解析(总分：108.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2012年试题，一)设 （分数：2.00）A.l 1 23B.l 3 21C.l 2 31D.l 2 133.(2003年试题，二)设 则极限 （分数：2.00）A.B.C.D.4.(2002年试题，二)设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.(1999年试题，二)设 （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无
2、穷小C.同阶但不等价的无穷小D.等价无穷小6.(1997年试题，二)设 （分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数7.(2010年试题，4)设 m，n 是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m的取值有关B.仅与 n有关C.与 mn取值都有关D.与 m，n 取值都无关8.(2009年试题，一)设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形如图 134所示，则函数 的图形为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.(2008年试题，一)如图 135所示，设图中曲线方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续导数，则定积分 表示( ) （分数：2.00
3、）A.曲边梯形 ABOD的面积B.梯形 ABOD的面积C.曲边三角形 ACD的面积D.三角形 ACD的面积10.(2007年试题，一)如图 136所示，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2上的图形分别是直径为 2的上、下半圆周设则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)11.(2001年试题，一) （分数：2.00）填空项 1:_12.(1999年试题，一)函数 在区间 （分数：2.00）填空项 1:_13.(2009年试题，二)已知 （分数：2.00）填空
4、项 1:_14.(2010年试题，12)当 00 时，对数螺线 r=e 的弧长为 1.（分数：2.00）填空项 1:_15.(2003年试题，一)设曲线的极坐标方程为 p=e (a0)，则该曲线上相应于 ，从 0变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.(2002年试题，一)位于曲线 y=xe -x (0x（分数：2.00）填空项 1:_17.(1998年试题，一)曲线 y=一 x 3 +x 2 +2x与 x轴围成的图形的面积(不考虑负面积)S= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：37，分数：74.00)18.解答题解答应写出文字
5、说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.(2005年试题，17)如图 131所示，曲线 C的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)，设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （分数：2.00）_20.(2007年试题，17)设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足 （分数：2.00）_21.(2005年试题，15)设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：2.00）_22.(2003年试题，四)设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求 （分数：2.00）
6、_23.(2002年试题，四)设 求函数 （分数：2.00）_24.(2001年试题，六)设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若 （分数：2.00）_25.(2000年试题，四)设 Oxy平面上有正方形 D=(x，y)0x1，0y1及直线l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l左下方部分的面积，试求 （分数：2.00）_26.(1998年试题，一)设 f(x)连续，则 （分数：2.00）_27.(1997年试题，七)已知函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）_28.(2010年试题，16)(I)比较 的大小，说明理由；()设 求极限 （
7、分数：2.00）_29.(2003年试题，十)设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且f “ (x)0若极限 存在，证明：(1)在(a，b)内 f(x)0；(2)在(a，b)内存在点 使 (3)在(a，b)内存在与(2)中 相异的点 ，使 f “ ()(b 2 -a 2 )= （分数：2.00）_30.(2000年试题，十一)函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且满足等式 （分数：2.00）_31.(2000年试题，八)设函 f(x)在0，上连续，且 （分数：2.00）_32.(2000年试题，六)设函数 （分数：2.00）_33.(2011年试题，二)设函
8、数 则 （分数：2.00）_34.(2008年试题，17)求积分 （分数：2.00）_35.(2006年试题，一)广义积分 （分数：2.00）_36.(2005年试题，一) （分数：2.00）_37.(2004年试题，一) （分数：2.00）_38.(2000年试题，一) （分数：2.00）_39.(1999年试题，四)计算 （分数：2.00）_40.(1998年试题，六)计算积分 （分数：2.00）_41.(1997年试题，一) （分数：2.00）_42.(2012年试题，三)过(0，1)点作曲线 L：y=lnx 的切线，切点为 A，又 L与 x轴交于 B点，区域 D由 L与直线 AB围成，
9、求区域 D的面积及 D绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_43.(2011年试题，三)如图 132，一容器的内侧是由图中曲线 y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x 2 +y 2 = 连接而成 （分数：2.00）_44.(2010年试题，18)一个高为 1的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时(如图 13-3)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数 ，其单位为 kgm 3 ) （分数：2.00）_45.(2009年试题，18)设非负数函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy “ 一 y “ +2
10、=0，当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1及 y=0围成平面区域 D的面积为 2，求 D绕 y轴旋转所得旋转体的体积（分数：2.00）_46.(2008年试题，19)设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(x)=1对任意的t0，+)，直线 x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数 f(x)的表达式（分数：2.00）_47.(2007年试题，18)设 D是位于曲线 （分数：2.00）_48.(2005年试题，16)如图 1一 37所示，C 1 ，C 2 分别是
11、y= 和 y=e x 的图像，过点(0，1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图像过 C 2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x轴和 y轴的直线 l x 和 l y ，记 C 1 ，C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 (x)；C 2 ，C 3 与 l x 所围图形的面积为 S 2 (y)如果总有S 1 (x)=S 2 (y)，求曲线 C 3 的方程 x=(y) （分数：2.00）_49.(2004年试题，三(4)曲线 与直线 x=0，x=t(t0)及 y=0围成一曲边梯形该曲边梯形绕 x轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 x=t处的底面积为 F(t)(
12、I)求 的值；()计算极限 （分数：2.00）_50.(2002年试题，七)某闸门的形状与大小如图 138所示，其中直线 l为对称轴 x闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高 h应为多少 m(米)? （分数：2.00）_51.(2000年试题，十)设曲线 y=ax 2 (a0，x0)与 y=1一 x 2 交于点 A,过坐标原点 O和点 A的直线与曲线 y=ax 2 围成一平面图形问 a为何值时，该图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?（分数：2.
13、00）_52.(1999年试题，六)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图 1一 39)已知井深 30m，抓斗自重 40N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms在提升过程中，污泥以 20Ns_的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：1N1m=1J；m，N，s，J 分别表示米、牛、秒、焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) （分数：2.00）_53.(1998年试题，九)设有曲线 （分数：2.00）_54.(1997年试题，六)设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)
14、内大于零，并满足 (a为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S的面积值为 2，求函数 y=f(x)，并问 a取何值时，图形S绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 3答案解析(总分：108.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2012年试题，一)设 （分数：2.00）A.l 1 23B.l 3 21C.l 2 31D.l 2 13 解析：解析：根据题意可知 先比较 l 1 ，
15、l 2 ，由于 l 2 -l 1 = 因此 l 2 l 1 再比较 l 2 ，l 3 ，l 3 一 l 2 = 2 0， 2 (2，3)因此 l 3 l 2 最后比较 l 1 ，l 3 l 2 一 l 1 = 令 t=x一 2，则 l 3 一 l 1 3.(2003年试题，二)设 则极限 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题设， 所以 由于 所以4.(2002年试题，二)设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题设，逐一分析 4个选项，设 f 1 (x)= 则, 因此 f(x)为奇函数设 f 2 (x)= 则 由
16、于 f(x)的奇偶性未给定，所以 f 2 (x)的奇偶性不确定，设 f 3 (x)= ，则 因此 f(x)为奇函数设 f 4 (x)= 则,因此 f 4 (x)为偶函数，综上，选 D 评注 的奇偶性与 f(x)奇偶性的关系是：若 f(x)为奇函数，则 为偶函数；若 f(x)为偶函数，则 5.(1999年试题，二)设 （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价的无穷小 D.等价无穷小解析：解析：由题设，6.(1997年试题，二)设 （分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：由题设，被积函数 f(x)=e sinx .sinx具有周期 2，所
17、以 7.(2010年试题，4)设 m，n 是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m的取值有关B.仅与 n有关C.与 mn取值都有关D.与 m，n 取值都无关 解析：解析：无界函数的反常积分 有两个瑕点 x=0和 x=1，同理，x0 + 时，In 2 (1一 x)一 x 2 ，设 q为一个常数，则 又因为 m，n 是正整数，所以 则必然存在 q(0，1)，使得极限 存在同理，因 x1 - 时，对于任意小的 (0，1)，有 8.(2009年试题，一)设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形如图 134所示，则函数 的图形为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由定
18、积分的性质可知 y=f(x)的图像与 x轴、y 轴及 x=x所围图形面积的代数和为所求函数F(x)，观察图形可得出如下结论：(I)当 x一 1，0时，F(x)0，为线性函数，且单调递增，从而排除A,C选项；()当 x0，1时，F(x)0 且单调递减；()当 x1，2时，F(x)单调递增；()当x23时，F(x)为常数函数，且连续，从而排除 B选项综上可知，正确选项为 D.9.(2008年试题，一)如图 135所示，设图中曲线方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续导数，则定积分 表示( ) （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD的面积B.梯形 ABOD的面积C.曲边三角形 A
19、CD的面积 D.三角形 ACD的面积解析：解析：定积分 因为 af(a)是矩形 ABOG的面积 是曲边梯形 ABOD的面积，二者之差10.(2007年试题，一)如图 136所示，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2上的图形分别是直径为 2的上、下半圆周设则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 的大小跟曲线 y=f(x)与 x轴所围面积大小有关因为 F(3)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)11.(2001年试题，一) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
20、*）解析：解析：已知 f(x)为连续函数，若 f(x)为奇函数，则 若 f(x)为偶函数，则12.(1999年试题，一)函数 在区间 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由平均值的定义知*）解析：解析：理解平均值的概念，像曲率、弧长等概念也值得注意13.(2009年试题，二)已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 ，所以极限 存在故 k0)，则该曲线上相应于 ，从 0变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由已知 p=e ，则由极坐标下平面图形的面积公式知所求图形面积为 ）解析：解析
21、：考查极坐标下平面图形的面积计算，极坐标下的面积微元为 16.(2002年试题，一)位于曲线 y=xe -x (0x（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设，所求面积为 ）解析：解析：无界图形的面积可由广义积分计算17.(1998年试题，一)曲线 y=一 x 3 +x 2 +2x与 x轴围成的图形的面积(不考虑负面积)S= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：先由已知 y=一 x 3 +x 2 +2x可得其与戈轴的三个交点，x 1 =一 1，x 2 =0，x 3 =2，作出草图(见图 111)可有助于用定积分表示面积 S，因此 ）解析：三、解答题(总
22、题数：37，分数：74.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.(2005年试题，17)如图 131所示，曲线 C的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)，设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知 f(0)=0，f(3)=2，f “ (3)=0从右图中还可以求出 y=八 z)在点(0，0)与(3，2)处的切线分别为 y=2x，y=一 2x+8，于是有 f “ (0)=2，f “ (
23、3)=一 2，所以 )解析：解析：当被积函数中含有抽象函数的导数时，一般用分部积分法20.(2007年试题，17)设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易知 f(0)=0又等式 两边对 x求导得 积分得 )解析：21.(2005年试题，15)设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 )解析：22.(2003年试题，四)设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设， 因此 且 由已知 t1，则当 x=9时，t=2，所以 )解析：解析：本题主
24、要考查变限积分求导和洛必达法则，要注意洛必达法则的适用范围23.(2002年试题，四)设 求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题设所给函数 f(x)是分段函数，所以求 F(x)要对 x分区间进行计算，当一1x2时，S(t)=1，综上知 S(t)为分段函数，即有 由此，当 0x1 时， 当 1 当 x2时， )解析：解析：分段函数的积分，可利用积分可加性分段进行积分26.(1998年试题，一)设 f(x)连续，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，变上限定积分的被积函数中含有参数 x，则令 x 2 一 t 2 =u，从而 因此原式 )解析：解析：对类似27.(199
25、7年试题，七)已知函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，(x)的被积函数中含参数 x，应化为变上限定积分的形式，即令 xt=u，则 由已知 及 f(x)连续 f(0)=0，从而 (0)=0，因此 当 x0 时， 因此 “ (x)在x0 时连续，当 x=0时， 而 )解析：28.(2010年试题，16)(I)比较 的大小，说明理由；()设 求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)因为当 0 nn，进而lnt1n(1+t) nn根据定积分的性质可知*()因为*所以*由(I)知*根据夹逼准则可得*由此可知*)解析：29.(2003年试题，十)设函数
26、 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且f “ (x)0若极限 存在，证明：(1)在(a，b)内 f(x)0；(2)在(a，b)内存在点 使 (3)在(a，b)内存在与(2)中 相异的点 ，使 f “ ()(b 2 -a 2 )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题设， 存在，因此 已知 f(x)在a，b上连续，因此 f(a)=0，又由 f “ (x)0知 f(x)在(a，b)内严格单调递增，所以 f(x)f(a)=0，即 f(x)0，x(a，b)，引入辅助函数 F(x)=x 2 及 G(x)= (2)则 G “ (x)=f(x)0，故 F(x)与 G(x
27、)满足应用柯西中值定理的条件，则存在点 (a，b)，使得 即 (3)由前述知道 f(a)=0，因而 f()=f()一 f(a)，其中(a，b)，在a，)上应用拉格朗日中值定理，知存在 (a，)，使 f()=f “ ()(a)则由(2)已知结论，有 此即 f “ ()(b 2 一 a 2 )= )解析：解析：中值定理是考研中的重点，构造辅助函数是解与中值定理有关的证明题的有效方法，考生应重点掌握30.(2000年试题，十一)函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且满足等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 知 此式两边对 x求导，得(x+1)f “ (x)+f “ (x)
28、+f(x)+(x+1)f “ (x)一 f(x)=0，即(x+1) “ (x)+(x+2)f “ (x)=0此为关于 f “ (x)的可分离变量方程，令 f “ (x)=u，则 f “ (x)=u “ ，因此 两边积分可得 即 (1)又由原题设等式 知 f “ (0)+f(0)=0，且已知条件 f(0)=1可推知 f “ (0)=一 1，代入(1)式，解得 C=-1，所以 关于(2)中不等式的证明，可采用以下两种方法：(I)由(1)已知结论 f “ (x) 当 x0 时，f “ (x)-x ，显然有 (0)=0，且 从而 (x)单调增加，即当 x0 时，有 (x)(0)，即 (0)e -x 综
29、上，当 x0 时，e -s f(x)1 成立()同样由(1)知， 即 则当 x0 时， 所以 e -2 f(x)1评注如果已知 f “ (x)的表达式或某种性质，但很难通过不定积分求出 f(x)的表达式，则可以通过变限积限积分建立 f(x)与 f “ (x)之间的联系，即有 )解析：31.(2000年试题，八)设函 f(x)在0，上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，引入变上限定积分形式的辅助函数 则由已知条件知 F()=0=F(0)，此外，由 ，有 即 则由积分中值定理知存在 (0，)，使得 F()sin=0又当(0，)时，sin0，所以 F()=0由此知 F(0)=
30、F()=F()=0，01(0，)和 2 (，)，使得 F( 1 )=f “ ( 2 )=0，此即 f( 1 )=f( 2 )=0，评注也可直接由已知条件 ，应用积分中值定理，则存在 1 (0，)，使得 即 f( 1 )=0，其中 011，使 f( 1 )=0，则由 可知 f(x)在(0， 1 )内与( 2 ，)异号，不失一般性，设(0， 1 )内 f(x)0，从而( 1 ，)内 f(x) 及 cosx在0，上的单调性，有 此为矛盾，因此假设不成立，必至少存在另一点 2 (0，)且 2 1 ，使得 f( 2 )=0，至此，原命题同样得证证明价值性问题，往往用中值定理，证明 f(x)有 k个零点的
31、一个有效方法是证明它的原函数有 k+1个零点注意 )解析：32.(2000年试题，六)设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设，由于cost是周期为 的连续函数，因此将0，+)分成以下若干小区间，其步长为 ，即 0即 结合cost的周期性， 且 因此当 n为正整数且 nx令 x+并由夹逼定理知 )解析：解析：若 f(x)为周期为 T的周期函数，则33.(2011年试题，二)设函数 则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.(2008年试题，17)求积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=sint,则 dx=costdt且半 x=0时，t=0；当 x=1时， 所以 )解析：35.(2006年试题，一)广义积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：对于广义积分，运用牛顿一莱布尼兹公式求解时，要取极限36.(2005年试题，一) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
