1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 44 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.记 P -1 1 ln d，Q -1 1 ( 3 cose )d，R （分数：2.00）A.PQRB.QRPC.QPRD.RPQ3.(1)下列广义积分收敛的是( )（分数：2.00）A. 1 edB.C.D. -1 e d4.下列广义积分发散的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.设封闭曲线 L 的极坐标方程为 rcos3( （
2、分数：2.00）填空项 1:_6.区域 D：( 2 y 2 ) 2 2 y 2 所围成的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.计算积分 （分数：2.00）_9.证明： 0 1 m (1) n d 0 1 n (1) m d，并用此式计算 0 1 (1) 50 d（分数：2.00）_10.设 f() （分数：2.00）_11.设 f() （分数：2.00）_12.设 f()arcsin(1) 2 且 f(0)0，求 I 0 1 f()d（分数：2.00）_13.设 f(u)是
3、连续函数，证明： 0 f(sin)d 0 f(sin)d，并求 （分数：2.00）_14.设 f()在区间0，1上可积，当 01 时，f()f(y)arctanarctany，又 f(1)0，证明： 0 1 f()d （分数：2.00）_15.证明： （分数：2.00）_16.证明： （分数：2.00）_17.设 f()，g()为a，b上连续的增函数(0ab)，证明： a b f()d a b g()d(ba) a b f()g()d（分数：2.00）_18.设 f()在0，1上可导，且f()M，证明： （分数：2.00）_19.设函数 f()在0，2上连续可微，f()0，证明：对任意正整数
4、n，有 0 2 f()sinnd （分数：2.00）_20.设 f()在(，)上是导数连续的有界函数，f()f()1，证明：f()1（分数：2.00）_21.设 f()在a，b上二阶可导，且 f()0，证明： a b f()d （分数：2.00）_22.已知 f()在0，2上二阶连续可微，f(1)0，证明： 0 2 f()d ，其中 M （分数：2.00）_23.计算曲线 y （分数：2.00）_24.设 D(，y)01，0y1，直线 l：yt(t0)，S(t)为正方形区域 D 位于 l 左下方的面积，求 0 S(t)dt(0)（分数：2.00）_25.求曲线 y2e (0)与 轴所围成的图形
5、的面积（分数：2.00）_26.设 f()是(，)上的连续非负函数，且 f() 0 (t)dtsin 4 ，求 f()在区间0，上的平均值（分数：2.00）_27.设抛物线 ya 2 bc(a0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线 ya 2 bc 与抛物线 y 2 2 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值（分数：2.00）_28.设 f() 1 (1t)dt(1)，求曲线 yf()与 轴所围成的平面区域的面积（分数：2.00）_29.求曲线 ye (0)绕 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积（分数：2.00）_30.设由 y 轴、y 2 (0)及 ya(0a1)所围
6、成的平面图形及由 ya，y 2 及 1 所围成的平面图形都绕 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a（分数：2.00）_31.设曲线 ya (a0)与曲线 y （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 44 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.记 P -1 1 ln d，Q -1 1 ( 3 cose )d，R （分数：2.00）A.PQRB.QRPC.QPR D.RPQ解析：3.(1)下列广义积分收敛的是( )（分数：2.00）A.
7、1 ed B.C.D. -1 e d解析：4.下列广义积分发散的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.设封闭曲线 L 的极坐标方程为 rcos3( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲线所围成的平面图形的面积为6.区域 D：( 2 y 2 ) 2 2 y 2 所围成的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：三、解答题(总题数：25，分数：50.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.计算积分 （分数：2.00）_正确答案
8、：(正确答案： )解析：9.证明： 0 1 m (1) n d 0 1 n (1) m d，并用此式计算 0 1 (1) 50 d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2 f()d 0 2 f()d() - f()d - 0 f()d 0 f()d - 0 (1)d 0 sind )解析：11.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 f()arcsin(1) 2 且 f(0)0，求 I 0 1 f()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(0)0 得 f() 0 arc
9、sin(t1) 2 dt，则 0 1 f()df()arcsin(1) 2 d f(1) 0 1 (1)1arcsin(1) 2 d f(1) 0 1 arcsin(1) 2 d(1) 2 0 1 arcsin(1) 2 d 0 1 arcsin(1) 2 d(1) 2 1 0 arcsind 0 1 arcsind )解析：13.设 f(u)是连续函数，证明： 0 f(sin)d 0 f(sin)d，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I 0 f(sin)d 0 (t)f(sint)(dt) 0 f(sint)dt 0 tf(sint)dt 0 f(sin)d 0 f(sin)d
10、 0 f(sin)dI， 则 0 f(sin)d 0 f(sin)d )解析：14.设 f()在区间0，1上可积，当 01 时，f()f(y)arctanarctany，又 f(1)0，证明： 0 1 f()d （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由f()f()f(1)arctanarctan1arctan 得 )解析：15.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f()，g()为a，b上连续的增函数(0ab)，证明： a b f()d a b g()d(ba) a b f()g()d（分数：
11、2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(，y)f()f(y)g()g(y)，D(，y)ab，ayb，因为 f()，g()在a，b上为增函数，所以 F(，y)0，从而 a b d a b F(，y)dy0， 而 a b d a b F(，y)dy a b d a b f()g()f()g(y)f(y)g()f(y)g(y)dy (ba) a b f()g()d a b f()d a b g(y)dy a b g()d a b f(y)dy(ba) a b f(y)g(y)dy 2(ba) a b f()g()d2 a b f()d a b g()d， 故 a b f()d a b g()d(b
12、a) a b f()g()d)解析：18.设 f()在0，1上可导，且f()M，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设函数 f()在0，2上连续可微，f()0，证明：对任意正整数 n，有 0 2 f()sinnd （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()0，所以 f(0)f(2)，从而 f(2)f(0)0 )解析：20.设 f()在(，)上是导数连续的有界函数，f()f()1，证明：f()1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()有界，所以 )解析：21.设 f()在a，b上二阶可导，且 f()0，证明： a b f()d （分数：2.
13、00）_正确答案：(正确答案：令 () a f(t)dt f()f(a)，(a)0， 因为 f()0，所以 f()单调递减，从而 ()0(ab) 由 得 ()0(ab) 于是 (b)0，故 a b f()d )解析：22.已知 f()在0，2上二阶连续可微，f(1)0，证明： 0 2 f()d ，其中 M （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f()f(1)(1) (1) 2 ，其中 位于 1 与 之间，积分得 0 2 f()d 0 2 f()(1) 2 d， 则 )解析：23.计算曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 D(，y)01，0y1
14、，直线 l：yt(t0)，S(t)为正方形区域 D 位于 l 左下方的面积，求 0 S(t)dt(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求曲线 y2e (0)与 轴所围成的图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所围成的面积为 A 0 2e d2(1)2)解析：26.设 f()是(，)上的连续非负函数，且 f() 0 (t)dtsin 4 ，求 f()在区间0，上的平均值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 f(t)dt 0 f(u)(du) 0 f(u)du， 由 f() 0 f(u)dusin 4 得( 0 f(u)du) 2 2sin 4 ，
15、 ( 0 f(u)du) 2 0 2sin 4 dC，取 0 得 C0，即( 0 f(u)du) 2 0 2sint 4 dt 取 ，则 从而 0 f()d ，f()在0，上的平均值为 )解析：27.设抛物线 ya 2 bc(a0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线 ya 2 bc 与抛物线 y 2 2 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ya 2 bc 过点(0，0)及(1，2)得 则 ya 2 (2a) 令 a 2 (2a) 2 2 得 0 及 所围成的图形面积为 )解析：28.设 f() 1 (1t)dt(1)，求曲线
16、yf()与 轴所围成的平面区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当10 时， 当 0 时， 故所求的面积为 A )解析：29.求曲线 ye (0)绕 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设由 y 轴、y 2 (0)及 ya(0a1)所围成的平面图形及由 ya，y 2 及 1 所围成的平面图形都绕 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设曲线 ya (a0)与曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 得 a ，切点坐标为(e 2 ，1) (2)所求体积为 VV 1 V 2 ， )解析：
