1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 46及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设一元函数 f(x)有下列四条性质：f(x)在a，b连续；f(x)在a，b可积；f(x)在a，b存在原函数；f(x)在a，b可导。若用“ ”表示可由性质 P推出性质 Q，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 （分数：2.00）A.IJK。B.IKJ。C.JIK。D.KJI。4.设 g(x)= 0 x f()d，其中 f(x)= （分数：2.00）A.无界。B.
2、递减。C.不连续。D.连续。5.如图 1一 3一 I，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2的图形分别是直径为 2的下、上半圆周。设 F(x)= 0 x f(t)dt，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.曲线 y=x(x一 1)(2一 x)与 x轴所围成的平面图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 2 x(x一 1)(2一 x)dx。B. 0 1 x(x一 1)(2一 x)dx一 1 2 x(x一 1)(2一 x)dx。C.一 0 1 x(x一 1)(2一 x)dx+ 1 2
3、x(x一 1)(2一 x)dx。D. 0 2 x(x1)(2一 x)dx。7.曲线 r=ae b (a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14. 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.设封闭曲线 L的极坐标方程为 r=
4、 （分数：2.00）填空项 1:_16.当 0 时，对数螺旋 r=e 的弧长为 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设有摆线 x=a(t一 sint)，y=a(1 一 cost)(0t2)的第一拱 L，则 L绕 x轴旋转一周所得旋转面的面积 S= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19.计算不定积分 （分数：2.00）_20.设 f(x)连续，且 0 x tf(2x一 t)dt=arctanx 3 ，f(1)=1，求 1 2 f(x)dx。（分数：2.00）_21.设 f(x)= x1 2
5、e y2 dy，计算 I= 1 3 f(x)dx。（分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明 a b f(x)dx= (ba)f(a)+f(b)+ （分数：2.00）_23.设 f(x)在0，+连续，且 （分数：2.00）_证明：（分数：4.00）(1).若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得 a b f(x)dx=f()(b 一a)；（分数：2.00）_(2).若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2) 2 3 (x)dx，则至少存在一点(1，3)，使得 ()0。（分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上有连续的导数，
6、证明 （分数：2.00）_25.设 D是由曲线 y= （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 46答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设一元函数 f(x)有下列四条性质：f(x)在a，b连续；f(x)在a，b可积；f(x)在a，b存在原函数；f(x)在a，b可导。若用“ ”表示可由性质 P推出性质 Q，则有( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：这是讨论函数 f(x)在区间a，b上的可导性、连续性及可积性与原函数存
7、在性间的关系问题。由 f(x)在a，b可导，则 f(x)在a，b连续，那么 f(x)在a，b可积且存在原函数。故选 C。3.设 （分数：2.00）A.IJK。B.IKJ。 C.JIK。D.KJI。解析：解析：当 0x 时，因为 0sinxcosx，所以 ln(sinx)ln(cosx)，因此4.设 g(x)= 0 x f()d，其中 f(x)= （分数：2.00）A.无界。B.递减。C.不连续。D.连续。 解析：解析：因为 f(x)在区间0，2上只有一个第一类间断点(x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，因而 g(x)= 0 x f()d 在该区间内必连续，故选 D
8、。5.如图 1一 3一 I，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2的图形分别是直径为 2的下、上半圆周。设 F(x)= 0 x f(t)dt，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：结合定积分的几何意义，可知 F(3)= ， F(2)= ， F(一 2)= 0 2 f(x)dx=一 2 0 f(x)dx= 0 2 f(x)dx= 。 所以 F(3)=F(一 3)= 6.曲线 y=x(x一 1)(2一 x)与 x轴所围成的平面图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 2 x(
9、x一 1)(2一 x)dx。B. 0 1 x(x一 1)(2一 x)dx一 1 2 x(x一 1)(2一 x)dx。C.一 0 1 x(x一 1)(2一 x)dx+ 1 2 x(x一 1)(2一 x)dx。 D. 0 2 x(x1)(2一 x)dx。解析：解析：由于所求平面图形在 x轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C正确。事实上， S= 0 2 ydx= 0 2 x(x 一 1)(2一 x)dx = 0 1 x(x 一 1)(2一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2一 x)dx =一 0 1 x(x一 1)(2
10、一x)dx+ 1 2 x(x一 1)(2一 x)dx。7.曲线 r=ae b (a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 t=cosx，则 = 10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 ）解析：11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
11、案：正确答案：一 4）解析：解析：令 =t，原式为 0 2 12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知函数可化为13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x一 1=t，14. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：15.设封闭曲线 L的极坐标方程为 r= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直接利用封闭曲线图形的面积公式可得16.当 0 时，对数螺旋 r=e 的弧长为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
12、正确答案： ）解析：解析：利用极坐标的弧长公式： ds= 0 17.设有摆线 x=a(t一 sint)，y=a(1 一 cost)(0t2)的第一拱 L，则 L绕 x轴旋转一周所得旋转面的面积 S= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据旋转面面积公式可得 s=2 0 2 y(t) =2 0 2 a(1cost) =2a 2 0 2 =8a 2 0 2 sin 3 dt=16a 2 0 sin 3 tdt =32a 2 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：19.计算不定积分 （分数：2.
13、00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)连续，且 0 x tf(2x一 t)dt=arctanx 3 ，f(1)=1，求 1 2 f(x)dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 2xt=，则原等式变为 x 2x (2x一 )f()d=arctanx 3 ，即 2x x 2x f()d x 2x f()d=arctan(x 3 )， 两边同时对 x求导，可得 2 x 2x f()dxf(x)= 。 令 x=1，则上面的等式可以化为 2 1 2 f()d 一 f(1)= ，根据已知条件 f(1)=1可知 1 2 f(x)dx= )解析：21.设 f(x)= x1 2
14、e y2 dy，计算 I= 1 3 f(x)dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f (x)=一 e (x1)2 ，由分部积分公式可得 I=xf(x) 1 3 一 1 3 xf (x)dx=3f(3)一 f(1)+ 1 3 xe (x1)2 dx = 1 3 xe (x1)2 一 0 2 e y2 dy(在第一个积分式中令 x一 1=y) = 0 2 (y+1)e y2 dy 0 2 e y2 dy = 0 2 ye y2 dy= )解析：22.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明 a b f(x)dx= (ba)f(a)+f(b)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
15、连续利用分部积分法有 a b f(x)dx= a b f(x)d(x一 b)=f(a)(b一 a)一 a b f (x)(x一 b)d(x一 a) =f(a)(b一 a)+ a b (x一 a)df (x)(x一 b) =f(0)(b一 a)+ a b (x一 a)df(x)+ a b f (x)(x一 a)(x一 b)dx =f(a)(b一 a)f(b)(b 一 a)一 a b f(x)dx+ a b f (x)(x一 a)(x一 b)dx， 移项并整理得 a b f(x)dx= (b一 a)f(a)+f(b)+ )解析：23.设 f(x)在0，+连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正
16、确答案：作函数 F(x)=f(x)+x，有 0 1 F(x)dx= 0 1 f(x)xdx= 0 1 f(x)dx+ 0。 所以由积分中值定理，存在 a0，1，使 0 1 F(x)dx=(1一 0)F(a)0， 即 F(a)0。 又因为 1=1， 所以，由极限的保号性，存在 ba，使 0，即 F(b)0。 因此，由介值定理，至少存在一个 a，b )解析：证明：（分数：4.00）(1).若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得 a b f(x)dx=f()(b 一a)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 M与 m是连续函数 f(x)在a，b上的最大值与最小值，
17、即 mf(x)M,xa，b。 根据定积分性质，有 m(b 一 a) a b f(x)dxM(ba)， 即 m M。 根据连续函数介值定理，至少存在一点 a，b，使得 f()= )解析：(2).若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2) 2 3 (x)dx，则至少存在一点(1，3)，使得 ()0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(I)的结论可知至少存在一点 2，3，使 2 3 (x)dx=()(32)=()， 又由 (2) 2 3 (x)dx=()，知 23。 对 (x)在1，2，2，上分别应用拉格朗日中值定理，并结合 (1)(2)，()(2)可得 ( 1 )= 0， 1 1 2， ( 2 )= 0，2 1 3， 在 1 ， 2 上对导函数 (x)应用拉格朗日中值定理，有 ()= 0，( 1 ， 2 ) )解析：24.设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可设 )解析：25.设 D是由曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微元法可知 V x = 0 a y 2 dx= ， V x =2 0 a xf(x)dx= ， 由已知条件 10V x =V y ，解得 a= )解析：
