1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 47及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)在一 1，1上存在原函数。B.令 F(x)= 1 x f(t)dt，则 f (0)存在。C.g(x)在一 1，1上存在原函数。D.g (0)存在。3.设 F(x)= x x2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数。B.为负常数。C.恒为零。D.不为常数。4.设 f(x)= （分数：2.00）
2、A.极限存在但不连续。B.连续但不可导。C.可导。D.可导性与 a有关。5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.一 2。B.2。C.一 20。D.02。6.如图 1-32，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0 a xf (x)dx等于( ) （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD面积。B.梯形 ABOD面积。C.曲边三角形 ACD面积。D.三角形 ACD面积。7.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度 =1。若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力 P为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、
3、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_10.当 a0 时， （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13. 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.在曲线 y=x 2 (0x1)上取一点(t，t 2 )(0t1)，设 A 1 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=0所围成图形的面积；A 2 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y
4、=t 2 和 x=1所围成图形的面积，则t取 1 时，A=A 1 +A 2 取最小值。（分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 y= 0 x tantdt(0x （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.求 （分数：2.00）_19.证明 I= （分数：2.00）_20.计算 0 1 （分数：2.00）_21.设 f (x)=arcsin(x一 1) 2 ，f(0)=0，求 0 1 f(x)dx。（分数：2.00）_计算下列反常积分(广义积分)。（分数：4.00）(1). 3 （分数：2.00）_(
5、2). 0 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 0 a f(x)dx=af(0)+ （分数：2.00）_23.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 a x f(t)dt a x g(t)dt，xa，b)， a b f(t)dt= a b g(t)dt。 证明 a b xf(x)dx a b xg(x)dx。（分数：2.00）_24.设 f(x)= （分数：2.00）_25.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O和点 A的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D，求 (I
6、)D 绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ()a 的值，使 V(a)为最大。（分数：2.00）_26.一个高为 l的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度 b时(如图 134)，计算油的质量。(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数kgm 3 ) （分数：2.00）_27.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图 135所示)。已知井深30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的
7、抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：1N1m=1J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦。抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。) （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 47答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)在一 1，1上存在原函数。B.令 F(x)= 1 x f(t)dt，则 f (0)存在。C.g(x)在一 1，1上存在原函数。 D.g (0)存在。解析
8、：解析：由 =0=g(0)可知，g(x)在 x=0处连续，所以 g(x)在一 1，1上存在原函数。故选 C。 以下说明选项 A、B、D 均不正确的原因： A 项， =0可知，x=0 是 f(x)的跳跃间断点，所以在包含x=0的区间上 f(x)不存在原函数。 B 项，由 F (0)= =1，可知 F (0)不存在。 D 项，由 3.设 F(x)= x x2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数。 B.为负常数。C.恒为零。D.不为常数。解析：解析：由分析可知，F(x)=F(0)，而 F(0)= 0 2 e sint sintdt=一 0 2 e sint
9、dcost =一 e sint cost 0 2 + 0 2 e sint cos 2 tdt = 0 2 e sint cos 2 tdt0 故选 A。4.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限存在但不连续。B.连续但不可导。C.可导。D.可导性与 a有关。 解析：解析：当 x0 时，F(x)= 1 x f(t)dt=e x 一 e 1 ； 当 x0 时，F(x)= 1 0 f(t)dt 0 x f(t)dt=1e 1 ax。 因为 =1一 e 1 =F(0)，所以 F(x)在 x=0处连续。而 5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.一 2。B.2。C.一 20。D.02。 解析
10、：解析：根据反常积分的收敛性判断，将已知积分分解为 1 f(x)dx= ， 其中 当且仅当 一 11 时才收敛； 6.如图 1-32，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0 a xf (x)dx等于( ) （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD面积。B.梯形 ABOD面积。C.曲边三角形 ACD面积。 D.三角形 ACD面积。解析：解析：因为 0 a xf (x)dx= 0 a xf(x)=xf(x) 0 a 一 0 a f(x)dx=af(a)一 0 a f(x)dx，其中 af(a)是矩形 ABOC的面积， 0 a f(x)dx为曲边梯形 A
11、BOD的面积，所以 0 a xf (x)dx为曲边三角形 ACD的面积。7.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度 =1。若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力 P为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：如图 137所示，任取x，x+dx0，R，相应的小横条所受压力微元 dP=x2ydx=2x dx， 于是闸门所受压力 P= 0 R 2x dx。故选 C。 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4lnx+2lnx 一 1+*+C）解析：解析：9.= 1。 （分数
12、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*+C）解析：解析：10.当 a0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x=asint，则11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x一 1=sint，则12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13. 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x=sint，则14.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知
13、x0 时，函数 f(x)值恒为 0，因此可得 xf(x)dx= 0 xe x dx= 0 xd(e x ) =x x 0 0 e x dx = 15.在曲线 y=x 2 (0x1)上取一点(t，t 2 )(0t1)，设 A 1 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=0所围成图形的面积；A 2 是由曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=1所围成图形的面积，则t取 1 时，A=A 1 +A 2 取最小值。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 139所示，A 1 = 0 t (t 2 一 x 2 )dx，A 2 = t
14、1 (x 2 一 t 2 )dx， A(t)=A 1 (t)+A 2 (t)=2 0 t (t 2 一 x 2 )dx+ 0 1 (x 2 一 t 2 )dx = (0t1)， A (t)=2t(2t一1) 所以，当 t= 时，A=A 1 +A 2 取最小值。 16.曲线 y= 0 x tantdt(0x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln(1+*)）解析：解析：三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式 )解析：19.证明 I= （分数：2.00）_
15、正确答案：(正确答案：令 x 2 =t，则 I= =I 1 +I 2 。 对于 I 2 ，令 t=s+，则 I 2 = ，于是 I=I 1 +I 2 = 。 上述积分中被积函数 f(t)= )解析：20.计算 0 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f (x)=arcsin(x一 1) 2 ，f(0)=0，求 0 1 f(x)dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 0 1 f(x)dx= 0 1 f(x)d(x一 1) =(x一 1)f(x) 0 1 一 0 1 (x一 1)f (x)dx =f(0)一 0 1 (x一 1)f (x)dx =一 0
16、 1 (x一 1)arcsin(x一 1) 2 dx = 0 1 arcsin(x一 1) 2 d(x一 1) 2 ， 令(x 一 1) 2 =t，则上式可化为 )解析：计算下列反常积分(广义积分)。（分数：4.00）(1). 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 x 2 一 2x=(x一 1) 2 1，因此为去掉被积函数中的根号，可令 x一 1=sect则有 )解析：(2). 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：采用分解法与分部积分法，由于 ，故可将被积函数分解，并用分部 积分法有 )解析：22.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 0
17、 a f(x)dx=af(0)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 0 a f(x)dx= 0 a f(x)d(xa) =(x 一 a)f(x) 0 a 一 0 a (x一 a)f (x)dx =af(0)一 0 a (x一 a)f (x)dx。 因为 f (x)连续，所以 f (x)在0，a上存在最小值 m和最大值 M，则 m(a 一 x)(a 一 x)f (x)M(a 一 x)， 故 0 a (a一 x)f (x)dx ，再由介值定理可知，至少存在一点 0，a，使得 0 a (ax)f (x)dx= f (x)，于是 0 a f(x)dx=af(0) )解析：23.设 f(
18、x)，g(x)在a，b上连续，且满足 a x f(t)dt a x g(t)dt，xa，b)， a b f(t)dt= a b g(t)dt。 证明 a b xf(x)dx a b xg(x)dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)一 g(x)，G(x)= a x F(t)dt，由题设 G(x)0，xa，b，且 G(a)=G(b)=0，G (x)=F(x)。 从而 a b xF(x)dx= a b xdG(x)=xG(x) a b 一 a b G(x)dx=一 a b G(x)dx。 由于 G(x)0，xa，b，故有 a b G(x)dx0，即 a b xF(x)
19、dx0。因此可得 a b xf(x)dx a b xg(x)dx。)解析：24.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑广义积分 I= 的收敛性。 因此广义积分收敛，即所围成区域的面积存在。 取变换 e x =sect，则 x=ln(sect)，e x dx=secttantdt， )解析：25.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O和点 A的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D，求 (I)D 绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ()a 的值，使 V(a)为最大。（分数：2.00）_正确答案：(正确
20、答案：由题意知 y=ax 2 与 y=1一 x 2 的交点为 1060，直线 OA的方程为 V= x。 (I)旋转体的体积 V(a)= 。 () )解析：26.一个高为 l的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度 b时(如图 134)，计算油的质量。(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数kgm 3 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 1311，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为 =1。 图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。 记 S 1 为下半椭圆面积，则 S 1 = ab，记 S 2 是位于 x轴上方阴影部分的面积
21、，则 S 2 = ，记 y=bsint，则 dy=bcostdt，则 因此可知油的质量为 )解析：27.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图 135所示)。已知井深30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：1N1m=1J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦。抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作 x轴如图 1312所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 W，当抓斗运动到 x处时，作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N，缆绳的重力 50(30一 x)N，污泥的重力 2000一 x20(N)，即 f(x)=400+50(30 一 x)+2000一 ， 于是 W= 0 30 (3900一 x)dx=3900x x 2 0 30 =91500(J)。 )解析：
