1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 49 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 B.I 1 C.I 2 I 1 D.I 2 3.设 f(x)= 0 x (e cost e cost )dt，则( )（分数：2.00）A.f(x)=f(x+2)。B.f(x)f(x+2)。C.f(x)f(x+2)。D.当 x0 时，f(x)f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)。4.设函数 f(x)连续，则在下列变上限积
2、分定义的函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dt。B. 0 x tf(t)+f(一 t)dt。C. 0 x f(t 2 )dt。D. 0 x f(t) 2 dt。5.曲线 y=e x sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A. 0 3 e x sinxdx。B. 0 3 sinxdx。C. 0 sinxdx 一 2 e x sinxdx 2 3 e x sinxdx。D. 0 2 e x sinxdx 一 2 3 e x sinxdx。6.由曲线 y=1 一(x 一 1) 2 及直线 y=0 围成图形(如图
3、 133)绕 y 轴旋转一周而成的立体体积 V 是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知曲线 y=f(x)过点(0， （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 a0，则 I= a a （分数：2.00）填空项 1:_13. 0 （分数：2.00）填空项 1:_14.由曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_15.设无界区域 G 位于曲线 y= （分数
4、：2.00）填空项 1:_16.设曲线的参数方程为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.求 （分数：2.00）_19.设 f(x)是区间0， 上单调、可导的函数，且满足 0 f(x) f 1 (t)dt= 0 x t （分数：2.00）_20.计算 0 1 dx，其中 f(x)= 1 x （分数：2.00）_21.设 f(x)连续可导，F(x)= 0 x f(t)f (2a 一 t)dt。 证明：F(2a)一 2F(a)=f 2 (a)-f(0)f(2a)。（分数：2.00）_22.设函数 f(
5、x)在0，上连续，且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosxdx=0。试证明在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使( 1 )=f( 2 )=0。（分数：2.00）_设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数。（分数：4.00）(1).试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积；（分数：2.00）_(2).又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 f (x) （分数：2.00）_椭球面 S 1 是椭圆 =1 绕 x 轴旋转一周而成，圆锥面 S 2 是过点(4，0)且与椭圆 （分
6、数：4.00）(1).求 S 1 及 S 2 的方程；（分数：2.00）_(2).求 S 1 与 S 2 之间的立体体积。（分数：2.00）_23.过点(0，1)作曲线 L：y=lnx 的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域 D 由 L 与直线 AB 围成。求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。（分数：2.00）_24.设有摆线 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 49 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
7、2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 B.I 1 C.I 2 I 1 D.I 2 解析：解析：因为当 x0 时，有 tanxx，于是有 1。从而， 可见有 I 1 I 2 ，又由 I 2 3.设 f(x)= 0 x (e cost e cost )dt，则( )（分数：2.00）A.f(x)=f(x+2)。 B.f(x)f(x+2)。C.f(x)f(x+2)。D.当 x0 时，f(x)f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)。解析：解析：由题意 f(x+2)一 f(x)= x x2 (e cost 一 e cost )dt，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由
8、周期函数的积分性质得 f(x+2)一 f(x)= (e cost 一 e cost )dt=2 0 (e cost 一 e cost )dt 4.设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dt。B. 0 x tf(t)+f(一 t)dt。 C. 0 x f(t 2 )dt。D. 0 x f(t) 2 dt。解析：解析：易知 f(t)+f(一 t)为偶函数，t 为奇函数，故 tf(t)+f(一 t)为奇函数，由函数及其导函数奇偶性的关系可知，其原函数 0 x tf(t)+f(t)dt 必为偶函数。同理可知，
9、A，C 为奇函数，D 无法判断。故选 B。5.曲线 y=e x sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A. 0 3 e x sinxdx。B. 0 3 sinxdx。C. 0 sinxdx 一 2 e x sinxdx 2 3 e x sinxdx。 D. 0 2 e x sinxdx 一 2 3 e x sinxdx。解析：解析：当 0x 或 2x3 时 y0，当 x2 时 y0。所以 y=e x sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积为 0 e x sinxdx 2 e x sinxdx 2 3 e x sinxdx。 故选 C。6.由曲线 y=
10、1 一(x 一 1) 2 及直线 y=0 围成图形(如图 133)绕 y 轴旋转一周而成的立体体积 V 是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：按选项，要把曲线表示成 x=x(y)，于是要分成两部分 x=1 (0y1)， 则 V 是以下两个旋转体的体积之差： V 1 = 0 1 (1+ ) 2 dy，V 2 = 0 1 (1 一 ) 2 dy， 于是V=V 1 一 V 2 = 0 1 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
11、答案：*）解析：解析：9.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 t=e x +1，则 e x =t 一 1，x=ln(t 一 1)，dx= dt。 10.已知曲线 y=f(x)过点(0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题设可知 =xln(1+x 2 )，且 y(0)= ，则 11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 a0，则 I= a a （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题干可知，原式可化为 根据定积分的几
12、何意义可得： a 0 a 2 (半径为 a的半圆的面积)。所以 13. 0 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式。14.由曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4ln2）解析：解析：先画图，作出 y=4x 与 y= 的交点(1，4)，直线 y=x 与 y= 的交点(2，2)，由图可知，面积 S 分两块(如图 138)。 S= 0 1 (4x 一 x)dx+ 1 2 ( 一 x)dx=2 一 15.设无界区域 G 位于曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
13、）解析：解析：由题意16.设曲线的参数方程为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：因为 x (t)=cost，y (t)= sint，因此当 t 时，曲线的弧微分为 ds= =cottdt。 因此，相应的曲线段的弧长为 s= 三、解答题(总题数：10，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =一 e arcsine x 一 lne x )解析：19.设 f(x)是区间0， 上单调、可导的函数，且满足 0 f(x) f 1 (t)dt= 0 x t （分数：2.00
14、）_正确答案：(正确答案：在 0 f(x) f 1 (t)dt= 0 x t dt 的两边同时对 x 求导得 f 1 f(x)f (x)= ， 也就是 xf (x)= ，即 f (x)= ， 两边再分别积分得 f(x)=lnsinx+cosx+C。 (*) 将 x=0 代入题中的已知方程可得 0 f(0) f 1 (t)dt= 0 0 t dt=0。 由于 f(x)是区间0， 上单调、可导的函数，则 f 1 (x)的值域为0， )解析：20.计算 0 1 dx，其中 f(x)= 1 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用分部积分法和换元积分法。 其中由题意，f(1)=0，因此 )解
15、析：21.设 f(x)连续可导，F(x)= 0 x f(t)f (2a 一 t)dt。 证明：F(2a)一 2F(a)=f 2 (a)-f(0)f(2a)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(2a)一 2F(a)= 0 2a f(t)f (2at)dt 一 2f 0 a f(t)f (2a 一 t)dt =一 a 2a f(t)df(2at)一 0 a f(t)f (2at)dt =一 f(t)f(2at) a 2a + a 2a f (t)f(2a 一 t)dx 0 a f(t)f (2a 一 t)dt =f 2 (a)一 f(0)f(2a)+ a 2a f (t)f(2a 一 t
16、)dx 0 a f(t)f (2a 一 t)dt =f 2 (a)一 f(2a)f(0)+ 0 a f (2a 一 )d 0 a f(t)f (2a 一 t)dt =f 2 (a)f(2a)f(0)。)解析：22.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosxdx=0。试证明在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使( 1 )=f( 2 )=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0。又因为 0= 0 cosxdx= 0 cosxdF(x) =F(x)cosx 0 + 0 F(x)
17、sinxdx = 0 F(x)sinxdx， 所以存在(0，)，使 F()sin=0，不然，则在(0，)内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，与 0 F(x)sinxdx=0 矛盾，但当 (0，)时，sin0，故 F()=0。 由以上证得，存在满足 0 的，使得 F(0)=F()=F()=0， 再对 F(x)在区间0，上分别用罗尔定理知，至少存在 1 (0，)， 2 (，)，使得 F ( 1 )=F ( 2 )=0，且 f( 1 )=f( 2 )=0。)解析：设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数。（分数：4.00）(1).试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f
18、(x 0 )为高的矩形面积等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可转化为证明 x 0 ，f(x 0 )= x0 1 f(x)dx。令 (x)=一 x x 1 f(t)dt，则 (x)在闭区间0，1上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为 (0)=(1)=0，根据罗尔定理可知，存在 x 0 (0，1)，使得 (x 0 )=0，即 (x 0 )=x 0 f(x 0 )一 x0 1 f(t)dt=0。 也就是 x 0 f(x 0 )= x0 1 f(x)dx。)解析：(2).又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 f (x)
19、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=xf(x)一 x 1 f(t)dt，且由 f (x) )解析：椭球面 S 1 是椭圆 =1 绕 x 轴旋转一周而成，圆锥面 S 2 是过点(4，0)且与椭圆 （分数：4.00）(1).求 S 1 及 S 2 的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 S 1 的方程为 =1。 计算得过点(4，0)与 ，所以 S 2 的方程为 y 2 +z 2 = )解析：(2).求 S 1 与 S 2 之间的立体体积。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.过点(0，1)作曲线 L：y=lnx 的切线，切点为 A，又
20、L 与 x 轴交于 B 点，区域 D 由 L 与直线 AB 围成。求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为 A(x 0 ，lnx 0 )，斜率为 ，因此该点处切线方程为 ylnx 0 = (x 一 x 0 )， 又因为该切线过 B(0，1)，所以 x 0 =e 2 ，故切线方程为 y= +1， 切线与 x 轴交点为(1，0)。因此直线 AB 的方程为 y= (x 一 1)。 区域的面积为 旋转一周所围成的体积为 )解析：24.设有摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是由参数方程给出的曲线，由于 x ()=1 一 cos，y ()=sin， 则按旋转面面积计算公式，可得旋转面的面积 )解析：
