1、考研数学二（向量）-试卷 7 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.n 维向量组 1 , 2 m (3mn)线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，使 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0B. 1 , 2 m 中任意两个向量都线性无关C. 1 , 2 m 中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示D. 1 , 2 m 中任何一个向量都不能由其余向量线性表示3.已知向量组 1 , 2 ,
2、 3 , 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关4.设向量组 1 , 2 , 3 ，线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1 ?B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3 C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3
3、，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 -3 2 + 3 ，4 1 一 2 +3 3 ?5.设 1 , 2 s 均为 n 维列向量，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 , 2 s 线性无关B.若 1 , 2 s 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0C. 1 , 2 s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 , 2 s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关6.
4、设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，向量 1 可由向量组 1 , 2 , 3 线性表示，而向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有( )（分数：2.00）A. 1 , 2 , 3 ，k 1 + 2 线性无关B. 1 , 2 , 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 , 2 , 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 , 2 , 3 ， 1 +k 2 线性相关7.设向量组 I： 1 , 2 r 可由向量组： 1 2 s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组 I 必线性
5、相关D.当 rs 时，向量组 I 必线性相关8.设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关9.设 1 , 2 s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 , 2 s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关B.若 1 , 2 s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 , 2
6、s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 , 2 s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关10.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=m，则( )（分数：2.00）A.A 的行向量组和列向量组都线性无关B.A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关C.当 mn 时，A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关D.当 mn 时，A 的行向量组和列向量组都线性无关11.若向量 ，, 线性无关，向量组 ， 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表出B. 必不可由 ， 线性表出C. 必可由 ， 线性表出D. 必不可由 ， 线性表出12.设向量 可由向
7、量组 1 , 2 m 线性表示，但不能由向量组 (I)： 1 , 2 m-1 线性表示，记向量组 ()： 1 ， 2 ， m-1 ，则( )（分数：2.00）A. m 不能由(I)线性表示，也不能由()线性表示B. m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示C. m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示D. m 可由(I)线性表示，但不可由()线性表示二、填空题(总题数：3，分数：6.00)13.设 3 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知向量组 1 =(a，0，c)， 2 =(b，c，0)， 3 =(0，a，b)线性无关，则 a，b，c 必满足的关系式 1（分数：2.00）
8、填空项 1:_15.若向量组 1 =(1，3，4，一 2) T ， 2 =(2，1，3，t) T ， 3 =(3，一 1，2，0) T 线性相关，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知向量组 1 , 2 s (s2)线性无关， 设 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s-1 = s-1 + s ， s = s + 1 试讨论向量组 1 2 s 的线性相关性（分数：2.00）_18.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，E 是 n 阶单
9、位矩阵，若 AB=E，证明 B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_19.设 A 为 n 阶矩阵， 为 n 维列向量，若存在正整数 m，使得 A m-1 0，A m =0(规定 A 0 为单位矩阵)，证明向量组 ，A，A m-1 线性无关（分数：2.00）_20.设 1 , 2 n 是 n 维向量组，证明 1 , 2 n 线性无关的充分必要条件是任何一个 n 维向量都可被它们线性表示（分数：2.00）_21.设向量组 1 ， 2 ， m (m1)线性无关，且 = 1 + 2 + m ，证明： 一 1 一 2 ， 一 m 线性无关（分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶矩阵， 1 , 2
10、, 3 是 n 维列向量，且 1 0，A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 2 = 1 + 2 ，试证 1 , 2 , 3 线性无关（分数：2.00）_23.设 n 维列向量组 1 , 2 s 线性无关，A 是 mn 矩阵，且 r(A)=n，则向量组 A s ，A 2 ，A s 线性无关（分数：2.00）_24.已知 =(1，4，0，2) T ，=(2，7，1，3) T ，=(0，1，一 1，) T ，=(3，10，b，4) T ，问(1)a，b 取何值时， 不能由 1 , 2 , 3 线性表出?(2)a，b 取何值时， 可由 1 , 2 , 3 线性表出?并写出此表示式（分数：2.
11、00）_25.已知向量组 1 =(1，0，2，3) T ， 2 =(1，1，3，5) T ， 3 =(1，一 1，1+2，1) T ， 4 =(1，2，4，a+8)=(1，1，6+3，5) T 问：(1)a，b 为何值时， 不能由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示；(2)a，b 为何值时， 可由 1 , 2 , 3 , 4 唯一线性表示；(3)a，b 为何值时， 可由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示，且表示式不唯一，并写出表示式（分数：2.00）_26.设向量组 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(一 1，一 3，5，1) T ， 3 =(3，2，一 1，p+2) T ， 4
12、=(一 2，一 6，10，p) T ，(1)p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将 =(4，l，6，10) T 用 1 , 2 , 3 , 4（分数：2.00）_27.设 4 维向量组 1 =(1+a，1，1，1) T ， 2 =(2，2+a，2，2) T ， 3 =(3，3，3+a，3) T ， 4 =(4，4，4，4+a) T ，问 a 为何值时， 1 , 2 , 3 , 4 线性相关?当 1 , 2 , 3 , 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示（分数：2.00）_考研数学二（向量）-试卷 7 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分
13、钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.n 维向量组 1 , 2 m (3mn)线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，使 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0B. 1 , 2 m 中任意两个向量都线性无关C. 1 , 2 m 中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示D. 1 , 2 m 中任何一个向量都不能由其余向量线性表示 解析：解析：本题考查向量组线性无关的概念若只有当 k 1 =k 2 =k m =0 时，有 k 1
14、1 +k 2 2 +k m m =0其等价的说法是向量组 1 , 2 m 中任意一个向量都不能用其余的向量线性表出因为 1 , 2 m 线性相关的充分必要条件是“向量组中至少存在一个向量可用其余的向量线性表示”，而与这个条件对立的是“ 1 , 2 m 中任意一个向量都不能用其余的向量线性表示”，故选 D3.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一
15、1 线性无关 D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关解析：解析：本题考查向量组线性相关与线性无关的概念可以用观察的方法排除错误选项，也可以用分析法证明正确选项由于( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 + 1 )=0，所以选项 A不正确 由于( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0，所以选项 B 不正确由于( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0，所以选项 D 不正确 由排除法知选项 C 正确，事实上，若设有数 k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4
16、 ，使 k 1 ( 1 + 2 )+k 2 ( 2 + 3 )+k 3 ( 3 + 4 )+k 4 ( 4 一 1 )=0，即(k 1 一 k 4 ) 1 +(k 1 +k 2 ) 2 +(k 2 +k 3 ) 3 +(k 3 +k 4 ) 4 =0由于向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，从而 于是 k 1 =k 2 =k 3 =k 4 =0，所以向量组 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关故应选 C 本题也可以这样分析 首先有如下命题：设向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 可由向量组 1 , 2 , 3
17、, 4 线性表示，且( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=( 1 , 2 , 3 , 4 )C，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关的充分必要条件是C0证明：若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则 4=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r( 1 , 2 , 3 , 4 )Cr(C)，于是 r(C)=4矩阵 C 可逆，C0反之，若C0，矩阵 C 可逆，则有( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )C 一=( 1 , 2 , 3 , 4 )，于是 4=r( 1 , 2 , 3 , 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )C 一r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，故 r( 1
18、， 2 ， 3 ， 4 )=4，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关。利用上述命题可以很快进行判断，由于 4.设向量组 1 , 2 , 3 ，线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1 ?B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3 C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 -3 2 + 3 ，4 1 一 2 +3 3 ?解析：解析：本题与前题类似，容易观察的可用观察法判断，不易观察的可用前一题中的命题来判断，也可用特殊值法判定 由于 ( 2 + 3 )一
19、( 1 + 2 )= 3 一 1 ，( 1 + 2 )+( 2 + 3 )= 1 +2 2 + 3 ，所以选项 A、B 中的向量组均线性相关，由于 所以选项 C 中的向量组线性无关，而 且 所以选项 D 中的向量线性相关故选 C本题也可用特殊值法令 则选项A、B、C、D 的向量组可依次合成如下矩阵： 5.设 1 , 2 s 均为 n 维列向量，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 , 2 s 线性无关B.若 1 , 2 s 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k 1 ，k
20、 2 ，k s ，有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 C. 1 , 2 s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 , 2 s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：解析：本题考查向量组线性相关、线性无关的概念及其等价命题由向量组线性相关的定义知，向量组 1 , 2 s 线性相关 存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0，这里要求的是“存在”，不是“任意”，故 B 选项的结论不正确应选 B 向量组 1 , 2 s 线性无关 方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 只有零解 矩阵的秩
21、r( 1 , 2 s )=s所以 C 的结论正确，不应选 向量组 1 , 2 s 线性无关 方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 只有零解 6.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，向量 1 可由向量组 1 , 2 , 3 线性表示，而向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有( )（分数：2.00）A. 1 , 2 , 3 ，k 1 + 2 线性无关 B. 1 , 2 , 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 , 2 , 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 , 2 , 3 ， 1 +k 2 线性相关解析：解析：本题考查向量组线性相关与线性
22、无关的概念及相关定理由于 1 , 2 , 3 线性无关，若 1 , 2 , 3 ，k 1 + 2 线性相关，则 k 1 + 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示，而 k 1 可由 1 , 2 , 3 线性表示，从而 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示，与题设矛盾 因此 1 , 2 , 3 ，k 1 + 2 线性无关，选项 A 正确，选项 B 不正确 当 k=0 时，选项 C 不正确当k=1 时，选项 D 不正确7.设向量组 I： 1 , 2 r 可由向量组： 1 2 s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs
23、时，向量组 I 必线性相关D.当 rs 时，向量组 I 必线性相关 解析：解析：本题考查一组向量能由另一组向量线性表示与它们秩的关系要求考生掌握若向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则 r(A)r(B)；向量组 1 , 2 r ，线性相关 8.设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解析：本题考查矩阵的秩及其矩阵行、列向量组的线性相关性注意向量组
24、1 , 2 r 线性相关的充分必要条件是方程组 x 1 1 +x 2 2 +x r r =0 有非零解，若令矩阵 A=( 1 , 2 r )，则矩阵 A 的列向量组线性相关的充分必要条件 Ax=0 有非零解 本题的 4 个选项的差别在于行与列，所以应从已知条件出发进行分析，若举反例，则更容易找出正确选项 设 A 为 mn 矩阵，B为 np 矩阵，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n，又 A，B 为非零矩阵，则必有 r(A)0，r(B)0，可见 r(A)n，r(B)n，即 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关故选 A注：本题也可以用齐次线性方程组有非零解考虑正确选项由于 AB=O
25、，则矩阵 B 的每一列向量均为方程组 Ax=0 的解，而 BO，于是方程组 Ax=0 有非零解，所以矩阵 A 的列向量组线性相关 又 B T A T =O，而 A T O，于是方程组 B T x=0 有非零解，所以 B T 的列向量组，也即 B 的行向量组线性相关，选项 A 正确 本题还可以用取特殊值法：如若取 A=(1，0)， 9.设 1 , 2 s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 , 2 s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关 B.若 1 , 2 s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ,
26、 2 s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 , 2 s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关解析：解析：本题考查矩阵的乘法和向量组线性相关性 可用定义分析： 1 1 + 2 2 + s s =0 中，若存在 1 ， 2 ， s 是一组不全为零数时，向量组 1 , 2 s 是线性相关的；若只有当 1 , 2 s 都为零数时，向量组 1 , 2 s 是线性无关的也可用向量组的秩分析：向量组线性相关的充分必要条件是其秩小于向量组中向量的个数 若 1 , 2 s 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ,k 2 ,，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k
27、s s =0，在等式的两端左乘矩阵 A 得 k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=A0=0由于 k 1 ,k 2 ,，k s 不全为零，故 A 1 ,A 2 A s 线性相关 所以 A 选项正确，B 不正确设 1 , 2 s 线性无关，若 m=n，且 A=E，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关 所以 C 不正确若 A=O，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关所以 D 不正确故选 A本题也可以用秩分析 由于(A 1 ，A 2 ，A s )=A( 1 , 2 s )，所以 r(A 1 ，A 2 ，A s )=rA( 1 ,
28、2 s )r( 1 , 2 s )若 1 , 2 s 线性相关，则 r( 1 , 2 s )s于是 r(A 1 ，A 2 ，A s )s故 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关故选项 A 正确10.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=m，则( )（分数：2.00）A.A 的行向量组和列向量组都线性无关B.A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关C.当 mn 时，A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关 D.当 mn 时，A 的行向量组和列向量组都线性无关解析：解析：本题考查矩阵的秩与其行秩和列秩的关系，并用其秩来判定向量组的线性相关性由 r(A)=A 的行秩=A 的列秩，因此由 r(A)=m
29、，可得 A 的行向量组线性无关，而无法判断 A 的列向量组的线性相关性，所以 A、B 不正确，而当 mn 时，A 的 n 个列向量都是 m 维的，所以这 n 个 m 维的列向量必线性相关，故排除 D 选项，从而只能选 C11.若向量 ，, 线性无关，向量组 ， 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表出B. 必不可由 ， 线性表出C. 必可由 ， 线性表出 D. 必不可由 ， 线性表出解析：解析：本题考查向量组的线性相关性和线性表示的概念要求考生掌握线性无关的向量组的任何部分组都线性无关；若向量组 1 , 2 m 线性无关，而 1 , 2 m ， 线性相关，则 能由 1 ,
30、 2 m 线性表示，而且表示法是唯一的 由于向量组 ， 线性无关，所以， 线性无关，又 ， 线性相关，知向量 可由 ， 线性表示，所以 也可由， 线性表示，故选项 C 正确，D 不正确 选项 A、B 均不正确，例如，令 =(1，0，0) T ，=(0，1，0) T ，=(0，0，1) T ，=(0，2，0) T ，显然， 线性无关， 线性相关，但 不能由 ， 线性表示 而 可由 ， 线性表示12.设向量 可由向量组 1 , 2 m 线性表示，但不能由向量组 (I)： 1 , 2 m-1 线性表示，记向量组 ()： 1 ， 2 ， m-1 ，则( )（分数：2.00）A. m 不能由(I)线性表
31、示，也不能由()线性表示B. m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示 C. m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示D. m 可由(I)线性表示，但不可由()线性表示解析：解析：本题考查向量组的线性表示的概念若向量 m 可由(I)线性表示，则 可由(I)线性表示，与题设矛盾，故 m 不能由(I)线性表示，排除选项 C 与 D又向量 可由向量组 1 , 2 m 线性表示，故存在数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m =，而 不能由 1 , 2 m-1 线性表示，所以 k m 0，从而 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)13.设 3 阶矩阵 （
32、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：本题考查向量组线性相关的概念与判定两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例由于 线性相关的充要条件是对应坐标成比例，即14.已知向量组 1 =(a，0，c)， 2 =(b，c，0)， 3 =(0，a，b)线性无关，则 a，b，c 必满足的关系式 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：abc0）解析：解析：本题考查向量组线性无关的概念与判定3 个 3 维向量线性无关的充分必要条件是由它们排成的行列式不为 0由于 1 , 2 , 3 线性无关，所以 15.若向量组 1 =(1，3，4，一 2) T
33、， 2 =(2，1，3，t) T ， 3 =(3，一 1，2，0) T 线性相关，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：本题考查向量组线性相关的概念，可以用线性相关的定义判定，也可用向量组的秩判定对矩阵 A=( 1 , 2 , 3 )施行初等行变换，得 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知向量组 1 , 2 s (s2)线性无关， 设 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s-1 = s-1 + s ， s = s + 1 试讨论向量组 1
34、 2 s 的线性相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若有一组数 x 1 ，x 2 ，x s ，使得 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0，则 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x s ( s + 1 )=0，即(x 1 +x s ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x s-1 +x s ) s =0，由于 1 , 2 s 线性无关，所以 方程组的系数行列式为 )解析：解析：本题考查向量组线性相关的概念与克拉默法则要求考生掌握向量组 1 2 n 线性相关的充分必要条件是方程组 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0 有非零解18.设 A 是
35、nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，E 是 n 阶单位矩阵，若 AB=E，证明 B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 B 是 mn 矩阵，所以 r(B)n，另一方面，r(B)r(AB)=r(E)=n，所以 r(B)=n，故 B 的列向量组 1 2 n 线性无关)解析：解析：本题考查向量组线性无关的概念和抽象的向量组线性相关性的证明方法可以用向量组线性相关性的定义证明，也可以用矩阵的秩进行证明19.设 A 为 n 阶矩阵， 为 n 维列向量，若存在正整数 m，使得 A m-1 0，A m =0(规定 A 0 为单位矩阵)，证明向量组 ，A，A m-1 线
36、性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法，设 ，A，A m-1 线性相关，则存在一组不全为零的数 k 0 ，k 1 ，k m-1 ，使 k 0 +k 1 A+k m-1 A m-1 =0，设从左起第一个不为零的数为 k i ，上式变为 k i A i +k i+1 A+kA i+1 +k m-1 A=0 由于 A m =0，用 A m-i-1 左乘等式两边得 k i A m-1 =0由于 k i 0，则 A m-1 =0，矛盾，从而 ，A，A m-1 线性无关)解析：解析：本题考查向量组线性无关的概念，可以用定义证明根据本题的条件，我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方
37、法20.设 1 , 2 n 是 n 维向量组，证明 1 , 2 n 线性无关的充分必要条件是任何一个 n 维向量都可被它们线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：由于 n 维的向量组 1 , 2 n 线性无关，则对于任意一个 n维向量 ，则 1 , 2 n ， 必线性相关，从而存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k n ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k n n +=0 若 =0，则 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0，由 1 ， 2 ， n 线性无关得 k 1 =k 2 =k n =0，这与 k 1 ，k 2 ，k n ， 不全为零矛盾，从而 0，于是 )解析：解析：本题考查向量组线性相关性的概念和线性表示的概念及向量组线性相关性的判定要求考生掌握 n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是由它们排成的 n 阶行列式不为零21.设向量组 1 ， 2 ， m (m1)线性无关，且 = 1 + 2 + m ，证明： 一 1 一 2 ， 一 m 线性无关（分数：2.00）_
