1、考研数学二（定积分及应用）模拟试卷 2 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（分数：2.00）A.g 0 h ahdhB.g 0 a ahdhC.g 0 h ahdhD.2g 0 h ahdh3.在曲线 y(1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )（分数：2.00）A.B.C
2、.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4. 1 （分数：2.00）填空项 1:_5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f()连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 y 4 （分数：2.00）填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10. 0 1 arctand 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果
3、过 C 上任意一点 P 引平行于 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y 2 ，C 1 的方程是y （分数：2.00）_13.设曲线 ya 3 ，其中 a0当 0 时，该曲线在 轴下方与 y 轴、 轴所围成图形的面积和在 轴上方与 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_14.曲线 y(1)(2)和 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_15.设平面图形 D 由 2 y 2 2 与 y 围成，求图形 D 绕直线 2 旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_16.求曲线 y3 2 1与 轴围成的
4、封闭图形绕 y3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_17.求由曲线 y4 2 与 轴围成的部分绕直线 3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_18.曲线 y 2 (0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_19.求摆线 L： （分数：2.00）_20.设曲线 （分数：2.00）_21.设一抛物线 ya 2 bc 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_22.设直线 yk 与曲线 y （分数：2.00）_23.求摆线 （分数：2.00）_24.设曲线 y （分数：2.00）_
5、25.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功（分数：2.00）_26.设 f()e 2 2 0 1 f()d，求 0 1 f()d（分数：2.00）_27.讨论反常积分 （分数：2.00）_28.设 f() （分数：2.00）_29.求曲线 L： （分数：2.00）_30.设 L： （分数：2.00）_31.求曲线 y （分数：2.00）_考研数学二（定积分及应用）模拟试卷 2 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.
6、00）_解析：2.矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（分数：2.00）A.g 0 h ahdh B.g 0 a ahdhC.g 0 h ahdhD.2g 0 h ahdh解析：解析：取，d 3.在曲线 y(1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：过曲线 y(1) 2 上点(2，1)的法线方程为 y 2，该法线与 轴的交点为(4，0)，则由该法线、 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 轴旋转一周所得的几何体
7、的体积为 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 f()连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 f(u)duf()）解析：解析： 0 f(t)dt 0 f(t)d(t) 0 f(u)du 0 f(u)du， 则 f(t)dt 8.曲线 y 4 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：9
8、. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10. 0 1 arctand 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y 2 ，C 1 的方程是y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 C：y
9、2 ，C 1 ：y 2 ，令 C 2 ：f(y)，P 点坐标为(，y)，则 所以 ， 因为 PC，所以有 0 y f(y)dy 即 ，两边对 求导，得 2.f( 2 ) 2 ，即 f( 2 ) 从而 C 2 的方程为 f(y) ，即y 2 )解析：13.设曲线 ya 3 ，其中 a0当 0 时，该曲线在 轴下方与 y 轴、 轴所围成图形的面积和在 轴上方与 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 ya 3 与 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 0 (a 3 )d (a 3 )d，移项得 0 (a 3 )d (a 3 )d 0 (a 3 )d0 (
10、4a2 3 )0， 因为 0，所以 4a2 3 0 又因为(，0)为曲线 ya 3 与 轴的交点，所以有 3 0， 从而有 3a a3a27a 3 0 )解析：14.曲线 y(1)(2)和 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取，d 1，2，dv2(11)(2)d2(1)(2)d， )解析：15.设平面图形 D 由 2 y 2 2 与 y 围成，求图形 D 绕直线 2 旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取，d 0，1，则 dv2(2)( ，)d， )解析：16.求曲线 y3 2 1与 轴围成的封
11、闭图形绕 y3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取，d 0，1， dv 1 3 2 (1 2 ) 2 d(82 2 4 )d， V 1 0 1 dv 1 0 1 (82 2 4 )d， ，d 1，2， dv 2 3 2 ( 2 1) 2 d(82 2 4 )d， V 2 1 2 dv 1 2 (82 2 4 )d， 则所求体积为 V2(V 1 V 2 )2 0 2 (82 2 4 )d )解析：17.求由曲线 y4 2 与 轴围成的部分绕直线 3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取y，ydy 0，4，则 )解析：18.曲线 y
12、 2 (0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为(a，a 2 )(a0)，则切线方程为 ya 2 2a(a)，即y2aa 2 ， 由题意得 S ，解得 a1， 则切线方程为 y21，旋转体的体积为 )解析：19.求摆线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线与 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b4a 曲线可化为 y ， 对任意的，d 0，a，dV 2 2.yd2. d， 于是 V 2 ， 根据对称性，有 V 1 ab 2
13、 于是 V(a)V 1 (a)V 2 (a) a(4a) 令 V(a) (42a)0 a2，又 V(2)0，所以 a2 时，两体积之和最大，且最大值为V(2) )解析：21.设一抛物线 ya 2 bc 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线过原点，所以 c0，又曲线过点(1，2)，所以 ab2，b2a 因为 a0，所以 b0，抛物线与 轴的两个交点为 0， ，所以 )解析：22.设直线 yk 与曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由方程组 得直线与曲线交点为 因为 V(k
14、)0，所以函数 V(k)当k 时取最小值，且最小值为 (2)因为 S(k) 所以此时 S )解析：23.求摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点为(a， )，则过原点的切线方程为 y ， 将(a， )代入切线方程，得 a2， 1，故切线方程为 y ， 由曲线 y 在区间1，2上的一段绕 轴一周所得旋转面的面积为 切线 y 在区间0，2上一段绕 轴一周所得旋转曲面面积为 所求旋转曲面的表面积为 SS 1 S 2 )解析：25.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所
15、做的功（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点， 轴铅直向下，取，d 0，2R，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， d(2R)R 2 (R) 2 1gd(2R) 2 gd， W 0 2R d )解析：26.设 f()e 2 2 0 1 f()d，求 0 1 f()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A 0 1 f()d，f()e 2 2 0 1 f()d 两边积分得 A 0 1 e 2 d2A，解得 A 0 1 f()d 0 1 e 2 d )解析：27.讨论反常积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 且 1， 又因为
16、且 1，所以 收敛 于是 )解析：28.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 f()df() 0 1 0 1 f()d )解析：29.求曲线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 L： (0t2)， 第一卦限的面积为 所求的面积为 A4A 1 )解析：30.设 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)所求的面积为 A 0 2a yd 0 2 a (1cost).a(1cost)dta 2 0 2 (1cost) 2 dt (2)所求体积为 V 0 2a y 2 d 0 2 a 2 (1cost) 2 .a(1cost)dt 2a 3 0 2 16a 3 0 sin 6 tdt )解析：31.求曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取，d 0，2，则 dV2.y.d2. d， 所求的体积为 )解析：
