1、考研数学二（常微分方程）-试卷 10 及答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.方程 y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x eos2x。B.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)。C.y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x)。D.y=axe x +b+e x (Aeos2x+Bsin2x)。3.微分方程 y“+y=x 2 +1+s
2、inx 的特解形式可设为( )（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)。B.y * =x(ax 2 +bx+c+Asinx+Beosx)。C.y * =ax 2 +bx+c+Asinx。D.y * =ax 2 +bx+c+Acosx。4.微分方程 y“一 2 y=e x +e -x (0)的特解形式为( )（分数：2.00）A.a(e x +e -x )。B.ax(e x +e -x )。C.x(ae x +be -x )。D.x 2 (ae x +be -x )。二、填空题(总题数：16，分数：32.00)5.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足
3、（分数：2.00）填空项 1:_6.微分方程(y+x 2 e -x )dx 一 xdy=0 的通解是 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_7.微分方程(y+x 3 )dx 一 2xdy=0 满足 （分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 ydx+(x 一 3y 2 )dy=0，x0 满足条件 y x=1 =1 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_10.已知 y 1 =e 3x 一 xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为 y= 1。（
4、分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=e x (asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 xy“+3y“=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 y“一 2y“+2y=e x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.二阶常系数非齐
5、次线性方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.微分方程 y“一 3y“+2y=2e x 满足 （分数：2.00）填空项 1:_19.若二阶常系数齐次线性微分方程 y“+ay“+by=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程y“+ay“+by=戈满足条件 y(0)=2，y“(0)=0 的特解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.三阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+y“一 2y=0 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：42.00)21.解答题解答应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设函数 y=y(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。（分数：4.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：2.00）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：2.00）_22.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 f u “(u，v)+f v “(u，v)=sin(u+v)e u+v ，求 y(x)=e -2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_23.设 f(u，v)具有连续偏导数，且满足 f u “(u，v)+f v “(u，v)=uv。求 y(x)=e -
7、2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_24.设 y=y(x)是区间(一 ，)内过 （分数：2.00）_25.设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 （分数：2.00）_在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)。（分数：4.00）(1).求 L 的方程；（分数：2.00）_(2).当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 m(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的
8、截距，且 L 经过点 （分数：4.00）(1).试求曲线 L 的方程；（分数：2.00）_(2).求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形面积最小。（分数：2.00）_26.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点，记 a 为曲线 l 在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：2.00）_27.设 y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_28.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，
9、上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程。（分数：2.00）_29.设 y=f(x)是第一象限内连接点 A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点。若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 （分数：2.00）_30.假设： 函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x 一 1； 平行于 y 轴的动直线MN 与曲线 y=f(x)和
10、 y=e x 一 1 分别相交于点 P 1 和 P 2 ； 曲线 y=f(x)，直线 MN 与 x 轴所围成的封闭图形的面积 S 恒等于线段 P 1 P 2 的长度。求函数 y=f(x)的表达式。（分数：2.00）_31.如图 15 一 1，C 1 和 C 2 分别是 和 y=e x 的图象，过点(0，1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图象。过 C 2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 l x 和 l y 。记 C 1 ，C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 (x)；C 2 ，C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 (y)。如果总有 S 1 (x)=S
11、 2 (y)，求曲线 C 3 的方程 x=(y)。 （分数：2.00）_32.设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0。已知曲线 y=f(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕戈轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的，t 倍，求该曲线方程。（分数：2.00）_33.设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1。对任意的 t0，+)，直线x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式。（分数：
12、2.00）_有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以 3m 3 min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m 2 min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。（分数：4.00）(1).根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (y)之间的关系式；（分数：2.00）_(2).求曲线 x=(y)的方程。（分数：2.00）_34.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中
13、还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为 m，体积为 ，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)。试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)。（分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）-试卷 10 答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.方程 y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x eos2x。B.y=ae x +
14、b+e x (Acos2x+Bsin2x)。C.y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x)。D.y=axe x +b+e x (Aeos2x+Bsin2x)。 解析：解析：齐次微分方程 y“一 3y“+2y=0 的特征方程为 2 一 3+2=0特征根为 =1，=2，则方程 y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解为 y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)，故选 D。3.微分方程 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为( )（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)。 B.y *
15、=x(ax 2 +bx+c+Asinx+Beosx)。C.y * =ax 2 +bx+c+Asinx。D.y * =ax 2 +bx+c+Acosx。解析：解析：对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程为 2 +1=0， 特征根为 =i， 对于方程 y“+y=x 2 +1=e 0 (x 2 +1)，0 不是特征根，从而其特解形式可设为 y * =ax 2 +bx+c， y 1 * =ax 2 +bx+c 对于方程 y“+y=sinx，i 为特征根，从而其特解形式可设为 y 2 * =x(Asinc+Bcosx)， 因此 y“+y=x 2 +1+sinx的特解形式可设为 y * =ax 2 +bx
16、+c+x(Asinx+Bcosx)。4.微分方程 y“一 2 y=e x +e -x (0)的特解形式为( )（分数：2.00）A.a(e x +e -x )。B.ax(e x +e -x )。C.x(ae x +be -x )。 D.x 2 (ae x +be -x )。解析：解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 一 2 =O，其特征根为 r 1,2 =，所以 y“一 2 y=e x 的特解为 y 1 * =axe x ，y“一 2 y=e 2 x 的特解为 y 2 * =bxe -x ，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y * =y 1 * +y 2 * =x(ae+be x
17、)，y * =y 1 * +y 2 * =s(ae x +be -x )，因此选 C。二、填空题(总题数：16，分数：32.00)5.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.微分方程(y+x 2 e -x )dx 一 xdy=0 的通解是 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x(一 e -x +C)）解析：解析：微分方程(y+x 2 e -x )dx 一 xdy=0， 7.微分方程(y+x 3 )dx 一 2xdy=0 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析
18、：解析：8.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2 +y）解析：解析：将 x 看作未知函数，则 上式为 x 对 y 的一阶线性方程，又因 y=10，则 9.微分方程 ydx+(x 一 3y 2 )dy=0，x0 满足条件 y x=1 =1 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2）解析：解析：对原微分方程变形可得 此方程为一阶线性微分方程，所以 10.已知 y 1 =e 3x 一 xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为
19、y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e x 一 xe 2x）解析：解析：显然 y 1 一 2 =e 3x 和 y 2 一 y 3 =e x 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且 y * =一 xe 2x 是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1 e 3x +C 2 e x 一 xe 2x 。11.设 y=e x (asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 2y“+
20、2y=0）解析：解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是 1 ， 2 =1i，因此特征方程为( 一 1 )( 一 2 )= 2 一( 1 + 2 )+ 1 2 = 2 一 2+2=0，故所求微分方程为 y“一2y“+2y=0。12.微分方程 xy“+3y“=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 P=y“，则原方程化为 ，其通解为 P=Cx -3 。因此， 13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为14.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1。（分数：2.0
21、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e -x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)）解析：解析：由题干可知，方程 y“+2y“+5y=0 的特征方程为 2 +2+5=0 解得 15.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对应齐次微分方程的特征方程为 2 一 4=0，解得 1 =2， 2 =一 2。故 y“一 4y=0 的通解为 y 1 =C 1 e+C 2 eh，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。由于非齐次项为 f(x)=e 2x ，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y=Axe 2
22、x ，代入原方程可求出 故所求通解为 16.微分方程 y“一 2y“+2y=e x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x cosx+C 2 e x sinx+e x）解析：解析：对应的特征方程为 2 一 2+2=0解得其特征根为 1,2 =1i。由于 =1 不是特征根，可设原方程的特解为 y * =Ae x ，代入原方程解得 A=1。因此所求的通解为 y=C 1 e x cosx+C 2 e x sinx+e x 。17.二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
23、案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x）解析：解析：特征方程为 2 一 4+3=0，解得 1 =1， 2 =3。则对应齐次线性微分方程 y“一4y“+3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 。设非齐次线性微分方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的特解为 y * =ke 2x ，代入非齐次方程可得 k=一 2。故通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x 。18.微分方程 y“一 3y“+2y=2e x 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 3e x +3e 2x 一 2xe x）解析：解析
24、：y“一 3y“+2y=2e x 对应的齐次方程的特征方程是 2 一 3+2=0，它的两个特征根分别是 1 =1， 2 =2。因此对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e 2x 。又因为 x=1 是特征方程的单根，所以，设非齐次方程的特解为 y * =Axe x ，则 (y * )“=Ae x +Axe x ， (y * )“=2Ae x +Axe x ， 将以上三式代入方程得 A=一 2。 因此，此非齐次线性微分方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 一 2xe x 。 由所给题设条件可得 y(0)=0，y“(0)=1，代入上式解得 y=一 3e x +3e 2x
25、 一 2xe x 。19.若二阶常系数齐次线性微分方程 y“+ay“+by=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程y“+ay“+by=戈满足条件 y(0)=2，y“(0)=0 的特解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x(1 一 e x )+2）解析：解析：由常系数齐次线性微分方程 y“+ay“+by=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x 可知 y 1 =e x ，y 2 =xe x 为其两个线性无关的解，代入齐次方程，有 y 1 “+ay 1 “+by 1 =(1+a+b)e x =0=1+a+b=0，y 2 “+ay
26、2 “+6y 2 =2+a+(1+a+b)xe x =02+a=0，从而 a=一 2，b=1，故非齐次微分方程为y“+ay“+by=x。 设特解 y * =Ax+B，代入非齐次微分方程，得一 2A+Ax+B=x，即 20.三阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+y“一 2y=0 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx）解析：解析：微分方程对应的特征方程为 3 一 2 2 + 一 2=0。解上述方程可得其特征值为2，i，于是其中一组特解为 e 2x ，cosx，sinx。因此通解为 y=C 1 e 2
27、x +C 2 cosx+C 3 sinx。三、解答题(总题数：18，分数：42.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设函数 y=y(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。（分数：4.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由反函数的求导公式知 ，于是有 )解析：(2).求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程(*)所对应的齐次方程 y“一 y=0 的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e -x 。 设方程(*)的特解为 y“=Ac
28、osx+Bsinx代入方程(*)，求得 因此 y“一 y=sinx 的通解是 由 得 C 1 =1，C 2 =一 1。故所求初值问题的特解为 )解析：22.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 f u “(u，v)+f v “(u，v)=sin(u+v)e u+v ，求 y(x)=e -2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y(x)=e -2x f(x，x)，有 y“(x)=一 2e -2x f(x，x)+e -2x f 1 “(x，x)+f 2 “(x，x)，由 f u “(u，v)+f v “(u，v)=sin(u+v)e u+v
29、可得 f 1 “(x，x)+f 2 “(x，x)=(sin2x)e 2x 。 于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y“(x)+2y(x)=sin2x，通解为 y(x)=e -2x f sin2x.e 2x dx+c， 由分部积分公式，可得 )解析：23.设 f(u，v)具有连续偏导数，且满足 f u “(u，v)+f v “(u，v)=uv。求 y(x)=e -2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y(x)=e 一 2x f(x，x)，两边对 x 求导有， y“=一 2e 一 2x f(x，x)+e 一 2x f 1 “(x，x)+e
30、 一 2x y 2 “(x，x) =一 2e 一 2x f(x，x)+e 一 2x f 1 “(x，x)+f 2 “(x，x) =一 2y+e 一 2x f 1 “(x，x)+f 2 “(x，x)。 已知 f u “(u，v)+f v “(u，v)=uv，即 f 1 “(u，v)+f 2 “(u，v)=uv，则 f 1 “(u，v)+f 2 “(x，x)=x 2 。 因此，y(x)满足一阶微分方程 y“+2y=x 2 e -2x 。由一阶线性微分方程的通解公式得 )解析：24.设 y=y(x)是区间(一 ，)内过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，当一 x0 时，法线均过原点，
31、所以有 ，得 y 2 =一 x 2 +C。又 ，代入 y 2 =一 x 2 +C 得 C= 2 ，从而有 x 2 +y 2 = 2 。 当 0x 时，y“+y+x=0，得其对应齐次微分方程 y“+y=0 的通解为 y * =C 1 cosx+C 2 sinx。 设其特解为 y 1 =Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得 A=一 1，B=0，故 y 1 =一 x 是方程的特 解，因此 y“+y+x=0 的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx 一 x。 因为 y=y(x)是(一 ，)内的光滑曲线，故 y 在 x=0 处连续且可导，所以由已知得 y x=0 =，y“ x=0 =0， 故得
32、 C 1 =，C 2 =1，所以 )解析：25.设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点 P(x，y)处的法线方程为 令 X=0，则它与 y 轴的交点为 由题意，此点与点 P(x，y)所连的线段被 x 轴平分，由中点公式得 ，即 2ydy+xdx=0上式两端积分得 代入初始条件 ，故曲线 y=f(x)的方程为 )解析：在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)。（分数：4.00）(1).求 L 的方程；（分数：2.00）_正
33、确答案：(正确答案：设曲线 L 的方程为 y=f(x)，则由题设可得 这是一阶线性微分方程，其中 代入通解公式得 )解析：(2).当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L 与直线 y=ax(a0)所围成的平面图形如图 152 所示。所以 故 a=2。)解析：设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 m(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 （分数：4.00）(1).试求曲线 L 的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y“(X 一 x)，
34、令 X=0，则 Y=一 xy“+y，即它在 y 轴上的截距为一 xy“+y。根据距离公式，点 P(x，y)到坐标原点的距离为 。 故由题设条件得 此为一阶齐次微分方程，令 y=ux，则 ，代入上式，方程变为 )解析：(2).求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形面积最小。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(I)知曲线的方程为 。则 y“=一 2x，点 ，所以在点 P 处的切线方程为 分别令 X=0，Y=0，解得在 y 轴，x 轴上的截距分别为 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为 S 0 ，于是
35、题中所求的面积为 求最值点时与 S 0 无关，而 根据极值存在的第一充分条件知 是 S(x)在 x0 时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为 )解析：26.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点，记 a 为曲线 l 在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，两边对 x 求导得 ，即(1+y “2 )y“=y“，因此可知 令 分离变量得 )解析：27.设 y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设及曲率公式，有 由题设，曲线上点(0，1)处
36、的切线方程为 y=x+1，可知 y(0)=1，y“(0)=1 (本题选择 是因为已知曲线在 x=0 处有值，且曲线是一条连续曲线，因此该解的范围应该包含 x=0 在内并且使 y(x)连续的一个区间。)对上式积分得 又由题设可知 y(0)=1，代入上式，得 ，于是所求的曲线方程为 由于 ，且 lnx 在定义域内是增函数，所以当且仅当 时，即 x= 时，y 取得最大值，由于 ，所以此时 y 取极大值，极大值为 ，显然 y在 )解析：28.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程。（分数：2.00）_
