1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 19及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y4y2 的通解为( )（分数：2.00）A.(C 1 C 2 )e 2 B.(C 1 C 2 )e -2 C.C 1 e -2 C 2 e 2 D.C 1 e -2 C 2 e 2 3.设 y()是微分方程 y(1)y 2 ye 满足初始条件 y(0)0，y(0)1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在4.二阶常系数非齐次线性微分方
2、程 y2y3y(21)e 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ab)e B. 2 e C. 2 (ab)e D.(ab)e 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.微分方程 y （分数：2.00）填空项 1:_6.设二阶常系数非齐次线性微分方程 yyqyQ()有特解 y3e -4 2 32，则 Q() 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_7.以 yC 1 e -2 C 2 e cos 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 y3yay5e - 的特解形式为 Ae - ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.
3、设 f()可导，且 0 1 f()(t)dt1，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 yy()满足y （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 yy()二阶可导，且 y0，(y)是 yy()的反函数 (1)将 (y)所满足的微分方程 0 变换为 yy()所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0，y(0) （分数：2.00）_13.设函数 f(，y)可微， f(，y)，f(0， )1，且 （分数：2.00）_14.设函数 f()(0)可
4、微，且 f()0将曲线 yf()，1，a(a1)及 轴所围成平面图形绕 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)f(1)若 f(1) （分数：2.00）_15.设函数 f()满足 f()2f()，且由曲线 yf()，1 及 轴(0)所围成的平面图形为 D若 D绕 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求： (1)曲线 yf()； (2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_16.位于上半平面的上凹曲线 yy()过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(，y)处的曲率与 及 1y 2 之积成反比，比例系数为 k （分数：2.00）_17.一条曲线经过点(
5、2，0)，且在切点与 y轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_18.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_19.用变量代换 sint 将方程(1 2 ) （分数：2.00）_20.用变量代换 lnt 将方程 （分数：2.00）_21.设 yy () 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(，y)处的曲率为 （分数：2.00）_22.飞机以匀速 v沿 y轴正向飞行，当飞机行至 O时被发现，随即从 轴上( 0 ，0)
6、处发射一枚导弹向飞机飞去( 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程（分数：2.00）_23.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24h内由 100增长到 400，求前 12h后的细菌总数（分数：2.00）_24.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A的污水量为 ，流入湖泊内不含 A的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999年底湖中 A的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000年初开始，限定排入湖中含 A污水的浓度不超过 （分数：2.00）_25.在 t0 时，两只桶内各装
7、10L的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_26.某人的食量是 2500卡天(1 卡41868 焦)，其中 1200卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_27.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长
8、18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_28.质量为 1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t10s时，速度等于 50cms外力为 392cms 2 ，问运动开始 1min后的速度是多少?（分数：2.00）_29.设非负函数 f()当 0 时连续可微，且 f(0)1由 yf()， 轴，y 轴及过点(，0)且垂直于 轴的直线围成的图形的面积与 yf()在0，上弧的长度相等，求 f()（分数：2.00）_30.设函数 f()二阶连续可导，f(0)1 且有 f()3 0 f(t)dt2 0 1 f(t)dte 0，求 f()（分数：2.00）_31.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2点扫雪 2km，到下午 4点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_
