1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 23及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y +p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)。B.y=Cy 2 (x)。C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。D.y=Cy 1 (x)一 y 2 (x)。3.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x
2、)的三个特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e x 。B.y=C 1 x 2 +C 2 e x +x。C.y=C 1 (x一 x 2 )+C 2 (x一 e x )+x。D.y=C 1 (x一 x 2 )+C 2 (x 2 一 e x )。4.函数 y=C 1 e x +C 2 e 2x +xe x 满足的一个微分方程是( )（分数：2.00）A.y 一 y 一 2y=3xe x 。B.y 一 y 一 2y=3e x 。C.y +y 一 2y=3xe x 。D.y +y 一 2y=3e x 。5.微分方程 y +y=x 2 +1+sinx的特解形
3、式可设为( )（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)。B.y * =x(ax 2 +bx+c+Asinx+Bcosx)。C.y * =ax 2 +bx+c+Asinx。D.y * =ax 2 +bx+c+Acosx。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.微分方程 xy =yln （分数：2.00）填空项 1:_7.微分方程 3e x tanydx+(1一 e x )sec 2 ydy=0的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 xy +2y=xlnx满足 y(1)= （分数：2.
4、00）填空项 1:_10.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=e x (asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y +2y +5y=0的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.二阶常系数非齐次线性方程 y 一 4y +3y=2e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.三阶常系数线性齐次微分方程 y 一 2y +y 一 2y=0的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：20.00)15.解答题解
5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.求微分方程 y 一 a(y ) 2 =0(a0)满足初始条件 y x=0 =0，y x=0 =一 1的特解。（分数：2.00）_已知函数 f(x)满足方程 f (x)+f (x)一 2f(x)=0及 f (x)+f(x)=2e x 。（分数：4.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：2.00）_(2).求曲线 y=f(x 2 0 x f(t 2 )dt的拐点。（分数：2.00）_17.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x 2 )y 一 xy +y=0，并求其满足 y x=0 =1，y x=0 的特解。（分数：2.00）_1
6、8.设 f(，)具有连续偏导数，且满足 f (，)+f (，)=。求 y(x)=e 2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_在 xOy坐标平面上，连续曲线 L过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP的斜率之差等于 ax(常数 a0)。（分数：4.00）(1).求 L的方程；（分数：2.00）_(2).当 L与直线 y=ax所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_19.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x相切于原点，记 为曲线 l在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：2.00）_20.设 y
7、=f(x)是第一象限内连接点 A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为 M在 x轴上的投影，O 为坐标原点。若梯形 OCMA的面积与曲边三角形 CBM的面积之和为 （分数：2.00）_21.设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0。已知曲线 yf(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程。（分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）模拟试卷 23答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00
8、)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y +p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)。B.y=Cy 2 (x)。C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。D.y=Cy 1 (x)一 y 2 (x)。 解析：解析：由于 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y +p(x)y=0的两个不同的特解，则 y 1 (x)一 y 2 (x)为该方程的一个非零解，则 y=y 1 (x)一 y 2 (x)为该方程的解。3.已知，y 1 =x
9、，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e x 。B.y=C 1 x 2 +C 2 e x +x。C.y=C 1 (x一 x 2 )+C 2 (x一 e x )+x。 D.y=C 1 (x一 x 2 )+C 2 (x 2 一 e x )。解析：解析：方程 y +P(x)y +g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x 一 x 2 )和(x 一 e x )为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C 1 (x一 x 2 )+C 2 (
10、x一 e x )+x，故选 C。4.函数 y=C 1 e x +C 2 e 2x +xe x 满足的一个微分方程是( )（分数：2.00）A.y 一 y 一 2y=3xe x 。B.y 一 y 一 2y=3e x 。C.y +y 一 2y=3xe x 。D.y +y 一 2y=3e x 。 解析：解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 1 =1， 2 =一2。 因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2 + 一 2=0， 故对应的齐次微分方程为 y +y 一2y=0。 又因为 y * =xe x 为原微分方程的一个特解，而 =1 为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程
11、右端的非齐次项形式为 f(x)=Ce x (C为常数)。 比较四个选项，应选 D。5.微分方程 y +y=x 2 +1+sinx的特解形式可设为( )（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)。 B.y * =x(ax 2 +bx+c+Asinx+Bcosx)。C.y * =ax 2 +bx+c+Asinx。D.y * =ax 2 +bx+c+Acosx。解析：解析：对应齐次方程 y +y=0的特征方程为 2 +1=0， 特征根为 =i， 对于方程 y +y=x 2 +1=e 0 (x 2 +1)，0 不是特征根，从而其特解形式可设为 y 1 * =ax
12、 2 +bx+c， 对于方程 y +y=sinx，i 为特征根，从而其特解形式可设为 y 2 * =x(Asinx+Bcosx)， 因此 y +y=x 2 +1+sinx的特解形式可设为 y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Beosx)。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.微分方程 xy =yln （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=xe Cx1 ）解析：解析：令 y=x，代入原方程，则有 x +=ln,即 7.微分方程 3e x tanydx+(1一 e x )sec 2 ydy=0的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
13、答案：tany=C(e x 一 1) 3）解析：解析：两边同乘以 ，方程分离变量为 8.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y= ）解析：解析：令 = ，则原方程变为 ，分离变量得 即 ，将 y x=1 =1代入上式得 C=e。 故满足条件的方程的特解为 e x = 9.微分方程 xy +2y=xlnx满足 y(1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*）解析：解析：原方程可等价为 y + y=lnx， 于是通解为 10.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2 +y）解析：解析：将 x看作未知函数，
14、则 =y。 上式为 x对 y的一阶线性方程，又因 y=10，则 x= 11.设 y=e x (asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 一 2y +2y=0）解析：解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是 1 ， 2 =1i，因此特征方程为 ( 1 )( 一 2 )= 2 一( 1 + 2 )+ 1 2 = 2 一 2+2=0， 故所求微分方程为 y 一 2y +2y=0。12.微分方程 y +2y +5y=0的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
15、案：y=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)）解析：解析：由题干可知，方程 y +2y +5y=0的特征方程为 2 +2+5=0。解得 1，2 = 13.二阶常系数非齐次线性方程 y 一 4y +3y=2e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e X +C 2 e 3x 一 2e 2x）解析：解析：特征方程为 2 一 4+3=0，解得 1 =1， 2 =3。 则对应齐次线性微分方程 y 一4y +3y=0的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 。 设非齐次线性微分方程 y 一 4y +3y=2e 2x 的特解为
16、y * =ke 2x ，代入非齐次方程可得 k=一 2。 故通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 2e 2x 。14.三阶常系数线性齐次微分方程 y 一 2y +y 一 2y=0的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx）解析：解析：微分方程对应的特征方程为 3 一 2 2 + 一 2=0。 解上述方程可得其特征值为2，i，于是其中一组特解为 e 2x ，cosx，sinx。 因此通解为 y=C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx。三、解答题(总题数：9，分数：20.00)15.解
17、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.求微分方程 y 一 a(y ) 2 =0(a0)满足初始条件 y x=0 =0，y x=0 =一 1的特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y =p，则 y = ，将之代入原方程，得 一 ap 2 =0， 分离变量并积分 =adx，由此得 =ax+C 1 ，由 x=0，y =0，y =p=一 1，得 C 1 =1，即 由x=0，y=0，得 C 2 =0，所以 y= )解析：已知函数 f(x)满足方程 f (x)+f (x)一 2f(x)=0及 f (x)+f(x)=2e x 。（分数：4.00）(1).求 f(x)的表达式
18、；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次微分方程 f (x)+f (x)一 2f(x)=0的特征方程为 2 + 一 2=0，特征根为 1 =1， 2 =一 2，因此该齐次微分方程的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x 。 再由 f (x)+f(x)=2e x 得 2C 1 e x 一 3C 2 e 2x =2e x ，因此可知 C 1 =1，C 2 =0。 所以 f(x)的表达式为 f(x)=e x 。)解析：(2).求曲线 y=f(x 2 0 x f(t 2 )dt的拐点。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线方程为 y=e x2 0 x e t2 dt，则
19、y =1+2xe x2 0 x e t2 ， y =2x+2(1+2x 2 )e x2 0 x e t2 dt， 令 y =0得 x=0。 下面证明 x=0是 y =0唯一的解，当 x0时， 2x0，2(1+2x 2 )e x2 0 x e t2 dt0， 可知 y 0； 当 x0 时， 2x0，2(1+2x 2 )e x2 0 x e t2 dt0， 可知 y 0。可知 x=0是 y =0唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线 y=f(x 2 ) 0 x f(t 2 )dt在 x=0左、右两边的凹凸性相反，因此(0，0)点是曲线 y=f(x 2 ) 0 x (一 t 2 )dt唯一的拐点。)解
20、析：17.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x 2 )y 一 xy +y=0，并求其满足 y x=0 =1，y x=0 的特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入原方程，得 +y=0。 解此微分方程，得 y=C 1 cost+C 2 sint=C 1 x+C 2 ， 将 y x=0 =1，y x=0 =2代入，得 C 1 =2，C 2 =1。 故满足条件的特解为 y=2x+ )解析：18.设 f(，)具有连续偏导数，且满足 f (，)+f (，)=。求 y(x)=e 2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
21、由 y(x)=e 2x f(x，x)，两边对 x求导有， y =一 2e 2x f(x，x)+e 2x f 1 (x，x)+e 2x f 2 (x，x) =一 2e 2x f(x，x)+e 2x f 1 (x，x)+f 2 (x，x) =一 2y+e 2x f 1 (x，x)+f 2 (x，x)。 已知 f (，)+f (，)=，即 f 1 (，)+f 2 (，)=，则 f 1 (x，x)+f 2 (x，x)=x 2 。 因此，y(x)满足一阶微分方程 y +2y=x 2 e 2x 。由一阶线性微分方程的通解公式得 y=e 2dx (x 2 e 2x e 2dx dx+C)=e 2x (x 2
22、 dx+C)=e 2x ( )解析：在 xOy坐标平面上，连续曲线 L过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP的斜率之差等于 ax(常数 a0)。（分数：4.00）(1).求 L的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 L的方程为 y=f(x)，则由题设可得 y 一 =ax， 这是一阶线性微分方程，其中 P(x)= ，Q(x)=ax， 代入通解公式得 y= )解析：(2).当 L与直线 y=ax所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L 与直线 y=ax(a0)所围成的平面图形如图 152所示。 所以 D= 0 2
23、ax一(ax 2 一 ax)dx =a 0 2 (2x一 x 2 )dx= )解析：19.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x相切于原点，记 为曲线 l在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =tan，两边对 x求导得 sec 2 =y ， 即(1+y 2 )y =y ，因此可知 令 y =p，y = =p(1+p 2 )，分离变量得 由 y(0)=0，且再次积分可得 y(x)= )解析：20.设 y=f(x)是第一象限内连接点 A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为 M在 x轴上的
24、投影，O 为坐标原点。若梯形 OCMA的面积与曲边三角形 CBM的面积之和为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 S OCMA = X1+f(x)，S CBM = x 1 f(t)dt， 即有 1+f(x)+xf (x)一 2f(x)=x 2 。 当 x0 时，化简得 f (x)一 ，即 。 此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 )解析：21.设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0。已知曲线 yf(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程。（分数
25、：2.00）_正确答案：(正确答案：根据旋转体的体积公式， V= 1 t f 2 (x)dx= 1 t f 2 (x)dx， 而曲边梯形的面积为 s= 1 t f(x)dx，则由题意可知 V=ts 可以得到 V= 1 T f 2 (x)dx=t 1 t f(x)dx， 因此可得 1 t f 2 (x)dx=t 1 t f(x)dx。 上式两边同时对 t求导可得 f 2 (t)= 1 t f(x)dx+tf(t)，即 f 2 (t)一 tf(t)= 1 t f(x)dx。 继续求导可得 2f(t)f (t)f(t)一 tf (t)=f(t)， 化简2f(t)一tf (t)=2f(t)， 亦即 =1， 解这个微分方程得 t= 。 在 f 2 (t)一 tf(t)= 1 t f(x)dx中令 t=1，则 f 2 (1)一 f(1)=0，又 f(t)0，即 f(1)=1，将其代入 。 因此该曲线方程为 2y+ )解析：
