1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 7 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y4ye 2 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2 bcB.a 2 e 2 bcC.ae 2 b 2 cD.ae 2 bc3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 e ，y 2 2e ，y 3 3e ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.yyyy0B.yyyy0C.yyy2y0D.yyy2y04.设 1 ()， 2 ()为一阶非齐次线性微分方程yP(
2、)yQ()的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 () 2 ()B.C 1 () 2 ()C.C 1 () 2 () 2 ()D. 1 () 2 ()C 2 ()二、填空题(总题数：12，分数：24.00)5.设 yy()满足yy0()且 y(0)1，则 y() 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 y 1 ()，y 2 ()为 yP()yQ()的特解，又 py 1 ()2qy 2 ()为 yP()y0 的解，py 1 ()qy 2 ()为 yP()yQ()的解，则 P 1，q 2（分数：2.00）填空项 1:_7.设 yy()满足(1 2 )yy 且 y
3、0)1，则 y() 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 y2e e sin 为 ypyqyry0 的特解，则该方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f()连续，且 f()2 0 f(t)dte ，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 yytancos 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f()在0，)上非负连续，且 f() 0 f(t)dt2 3 ，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_12.连续函数 f()满足 f()3 0 f(t)dt2，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 yy()可导，y(0)2，令
4、yy()y()，且y （分数：2.00）填空项 1:_14.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 yyln(y)10 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 y 2 d( 2 y)dy0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.求微分方程 （分数：2.00）_19.求微分方程 yyln （分数：2.00）_20.求微分方程 y2ye 的通解（分数：2.00）_21.设 0 时，f()可导，且满足：f()1 （分数：2.00）_
5、22.求微分方程(y （分数：2.00）_23.求微分方程(y 3 )d2dy0 的通解（分数：2.00）_24.求微分方程 y 2 d(2yy 2 )dy0 的通解（分数：2.00）_25.求微分方程 cosy （分数：2.00）_26.求微分方程 y （分数：2.00）_27.求微分方程 2 yyy 2 满足初始条件 y(1)1 的特解（分数：2.00）_28.求微分方程 （分数：2.00）_29.求微分方程 （分数：2.00）_30.设 ye 为微分方程 yP()y 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)0 的特解（分数：2.00）_31.设 f()e 0 (t)f(t)dt，其中
6、 f()连续，求 f()（分数：2.00）_32.求微分方程 y3y0 的通解（分数：2.00）_33.设当 0 时，f()满足 1 f(t)dtf()，求 f()（分数：2.00）_34.求满足初始条件 y2(y) 2 0，y(0)1，y(0)1 的特解（分数：2.00）_35.求微分方程 yyy 2 满足初始条件 y(O)y(0)1 的特解（分数：2.00）_36.求微分方程 yy6y0 的通解（分数：2.00）_考研数学二（微分方程）模拟试卷 7 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
7、题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y4ye 2 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2 bcB.a 2 e 2 bcC.ae 2 b 2 cD.ae 2 bc 解析：解析：y4y0 的特征方程为 2 40，特征值为 1 2， 2 2 y4ye 2 的特解形式为 y 1 ae 2 ， y4y 的特解形式为 y 2 bC，故原方程特解形式为 ae 2 bc，选 D3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 e ，y 2 2e ，y 3 3e ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.yyyy0 B.yyyy0C.yyy2y0D.yyy2y0解析：解析：由 y 1 e
8、 ，y 2 2e ，y 3 3e 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 2 1， 3 1，其特征方程为(1) 2 (1)0，即 3 2 10，所求的微分方程为 yyyy0，选 A4.设 1 ()， 2 ()为一阶非齐次线性微分方程yP()yQ()的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 () 2 ()B.C 1 () 2 ()C.C 1 () 2 () 2 () D. 1 () 2 ()C 2 ()解析：解析：因为 1 ()， 2 ()为方程 yP()yQ()的两个线性无关解，所以 1 () 2 ()为方程 yP()y0 的一个解，于是方程 yP
9、()yQ()的通解为 C 1 () 2 () 2 ()，选 C二、填空题(总题数：12，分数：24.00)5.设 yy()满足yy0()且 y(0)1，则 y() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e ）解析：解析：由yyo()得 y 或 6.设 y 1 ()，y 2 ()为 yP()yQ()的特解，又 py 1 ()2qy 2 ()为 yP()y0 的解，py 1 ()qy 2 ()为 yP()yQ()的解，则 P 1，q 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由一阶线性微分方程解的结构性质得 解得 p ，q7.设 yy()满足(1
10、 2 )yy 且 y0)1，则 y() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将原方程变量分离得 ，积分得 lny lnC 1 ，即 yC ， 再由y(0)1 得 y 8.设 y2e e sin 为 ypyqyry0 的特解，则该方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yy2y0）解析：解析：三阶常系数齐次线性微分方程的特征值为 1 1， 23 1i， 特征方程为(1)(1i)(1i)0，整理得 3 2 20， 所求方程为 yy2y09.设 f()连续，且 f()2 0 f(t)dte ，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：正确答案：2e 2 e ）解析：解析：由 0 (t)dt 10.微分方程 yytancos 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y(C)cos）解析：11.设 f()在0，)上非负连续，且 f() 0 f(t)dt2 3 ，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 0 f(t)dt 0 f(u)(du) 0 f(u)du， 令 F() 0 f(u)du，由 f() 0 f(t)dt2 3 ，得 f() 0 f(u)du2 3 ， 即 12.连续函数 f()满足 f()3 0 f(t)dt2，则 f()
12、 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3 ）解析：解析：由 0 (t)dt 13.设 yy()可导，y(0)2，令yy()y()，且y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：14.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：15.微分方程 yyln(y)10 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln(y)C）解析：解析：令 yu，yy ，代入原方程得 0， 分离变量得16.微分方程 y 2 d( 2 y)dy0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
13、确答案：yC*）解析：解析：令 u，则 ， 代入原方程得 ， 两边积分得 ulnulnlnC0，解得yC三、解答题(总题数：20，分数：40.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1yy 得 (1)(1y)，分离变量得 (1)d， 两边积分得 ln1y )解析：19.求微分方程 yyln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：yyln 可写为 ，令 u ，原方程化为 u ulnu， 变量分离得 )解析：20.求微分方程 y2ye 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y2
14、ye 两边乘以 得 2 y2ye ，即( 2 y)e ， 积分得 2 y(1)e C 1 ，即 y ， 再积分得原方程通解为 y )解析：21.设 0 时，f()可导，且满足：f()1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()1 f(t)dt 得 f() 1 f(t)dt， 两边对 求导得 f()f()1f()，解得 f() )解析：22.求微分方程(y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(y )ddy0，得 令 u ，则原方程化为 ，积分得 ln(u )lnlnC， 即 u C，将初始条件 y(1)0 代入得 C1 由 即满足初始条件的特解为 y )解析：23.求微分方
15、程(y 3 )d2dy0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(y 3 )d2dy0，得 ，则 即原方程的通解为 y )解析：24.求微分方程 y 2 d(2yy 2 )dy0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 2 d(2yy 2 )dy0 得 ， 令 u ，则 ，解得 u 2 (u3) )解析：25.求微分方程 cosy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 cosy cossin 2 ysiny 得 cossin 2 ysiny， 令usiny，则 ucos.u 2 ，令 u -1 z，则 zcos， 解得 z(cos)e d dCe d e c
16、odCe e sincosCe Ce (sincos) 则 )解析：26.求微分方程 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 2 y 2 ，得 ， 令 u，得 u )解析：27.求微分方程 2 yyy 2 满足初始条件 y(1)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2 yyy 2 得 ， 令 u ，则有 ， 两边积分得 ，即 C 2 ， 因为 y(1)1，所以 C1,再把 u 代入 C 2 得原方程的特解为 y )解析：28.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yu，则
17、1，于是有 变量分离得 )解析：30.设 ye 为微分方程 yP()y 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 ye 代入微分方程 yP()y，得 P()e ，原方程化为 y(e 1)y1，则 将 y(ln2)0 代入 yC e 中得 C ，故特解为 y )解析：31.设 f()e 0 (t)f(t)dt，其中 f()连续，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()e 0 (t)f(t)dt，得 f()e 0 f(t)dt 0 tf(t)dt， 两边对 求导，得 f()e 0 f(t)dt，两边再对 求导得 f()
18、f()e ，其通解为 f()C 1 cosC 2 sin e 在 f()e 0 (t)f(t)dt 中，令 0 得 f(0)1，在 f()e 0 f(t)df 中，令 0 得 f(0)1，于是有 C 1 ，C 2 ， 故 f() (cossin) )解析：32.求微分方程 y3y0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yp，则 3p0 或 0， 解得 p ，即 y ，则 y )解析：33.设当 0 时，f()满足 1 f(t)dtf()，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 f(t)dtf()，两边求导得 f()f()1， 解得 f()Ce 1，而 f(1
19、)1，所以 f()12e 1 )解析：34.求满足初始条件 y2(y) 2 0，y(0)1，y(0)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yp，则 y ，代入方程得 2p 2 0，解得 2 C 1 ， 由 y(0)1 得 C 1 1，于是 y )解析：35.求微分方程 yyy 2 满足初始条件 y(O)y(0)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令yP，则 yp ，代入原方程得 yp p 2 或 p(y p)0当 p0 时，y1 为原方程的解； 当 p0 时，由 p0 得 0，解得 pC 1 C 1 y， 由 y(0)y(0)1 得 C 1 1，于是 )解析：36.求微分方程 yy6y0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 60，特征值为 1 2， 2 3，则原方程的通解为 yC 1 e 2 C 2 e 3 )解析：
