1、考研数学二（矩阵）-试卷 11 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1 。B.rr 1 。C.r=r 1 。D.r 与 r 1 的关系依 C 而定。3.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式AB0。B.当 mn，必有行列式AB=0。C.当 nm，必有行列式AB
2、0。D.当 nm，必有行列式AB=0。4.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.r(A)=m，r(B)=m。B.r(A)=m，r(B)=n。C.r(A)=n，r(B)=m。D.r(A)=n，r(n)=n。5.设 （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2。B.a=1 时，B 的秩必为 1。C.a1 时，B 的秩必为 1。D.a1 时，B 的秩必为 2。6.已知 （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.1 或 3。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设(2E 一 C 一 1 B)A T =C 一 1 ，其中 E 是四阶单
3、位矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_8.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 2A 一 8E=O，则 r(4E 一 A)+r(2E+A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解
4、答题(总题数：6，分数：16.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_(2).求 AB 一 1 。（分数：2.00）_18.设 A=( 1 , 2 , 3 )为三阶矩阵，且A=1。已知 B=( 2 ， 1 ，2 3 )，求 B * A。（分数：2.00）_设 （分数：6.00）(1).r(A)=1；（分数：2.00）_(2).r(A)=2；（分数：2.00）_(3).r(A)=3。（分数：2.00）_19.设 ， 为三维列向量，
5、矩阵 A= T + T ，其中 T , T 分别为 ， 的转置。证明：r(A)2。（分数：2.00）_20.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_考研数学二（矩阵）-试卷 11 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1 。B.rr 1 。C.r=r 1 。 D.r
6、与 r 1 的关系依 C 而定。解析：解析：因为 B=AC=EAC，其中层为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A)。所以应选 C。3.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式AB0。B.当 mn，必有行列式AB=0。 C.当 nm，必有行列式AB0。D.当 nm，必有行列式AB=0。解析：解析：因为 AB 是 m 阶方阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，从而AB=0，所以应选 B。4.设 A 为 mn 矩阵，B
7、为 nm 矩阵，若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.r(A)=m，r(B)=m。 B.r(A)=m，r(B)=n。C.r(A)=n，r(B)=m。D.r(A)=n，r(n)=n。解析：解析：因为 AB=E，所以 r(AB)=m。又 r(AB)=mminr(A)，r(B)，即 r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m，所以 r(A)=m，r(B)=m。故选 A。5.设 （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2。B.a=1 时，B 的秩必为 1。C.a1 时，B 的秩必为 1。 D.a1 时，B 的秩必为 2。解析：解析：当 a=1 时，易见 r(A)=1；当 a1 时
8、，则6.已知 （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.1 或 3。 解析：解析：伴随矩阵秩的公式为 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设(2E 一 C 一 1 B)A T =C 一 1 ，其中 E 是四阶单位矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在等式(2EC 一 1 B)A T =C 一 1 两边同时左乘 C 得(2CB)A T =E。对上式两端同时取转置得 A(2C T B T )=E，则 8.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：依矩阵乘法直接计算得 9.设 （分数：2.00）填空项
9、1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：对 A 作初等行变换，则有10.已知 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 2 一 A=A(AE)，且矩阵 11.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为12.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB+2A=A(B+2E)，且 是可逆矩阵，所以 r(AB+2A)=r(A)。对 A 作初等行变换，则13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
10、确答案：0）解析：解析：根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A * 也是可逆的，因此 r(AXA * )=r(x)=2=r(B)，因此可得B=0，则 14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AB=O，则有 r(A)+r(B)3，又已知矩阵 BO，因此 r(B)1，那么 r(A)3，则行列式A=0.而 所以15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 BA T =0 可知，r(B)+r(A T )3，即 r(A)+r(B)3.又因为 B0，因此 r(B)1，从而有 r(A)3，即A=0，因此 于是可得 16.
11、设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 2A 一 8E=O，则 r(4E 一 A)+r(2E+A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：已知 A 2 一 2A 一 8E=O，可得(4EA)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知 r(4E 一 A)+r(2E+A)n， 同时 r(4EA)+r(2E+A)r(4E 一 A)+(2E+A)=r(6E)=n， 因此 r(4EA)+r(2E+A)=n。三、解答题(总题数：6，分数：16.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对
12、换后得到的矩阵记为 B。（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 E(i，j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有B=E(i，j)A，因此有B=E(i，j)A=一A0，所以矩阵 B 可逆。)解析：(2).求 AB 一 1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB -1 =AE(i,j)A -1 =AA -1 E -1 (i，j)=E -1 (i，j)=E(i，j)。)解析：18.设 A=( 1 , 2 , 3 )为三阶矩阵，且A=1。已知 B=( 2 ， 1 ，2 3 )，求 B * A。（分数：2.00）
13、_正确答案：(正确答案：根据题意可知 )解析：设 （分数：6.00）(1).r(A)=1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 作初等变换，即 )解析：(2).r(A)=2；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 k=一 2 时，r(A)=2；)解析：(3).r(A)=3。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 k1 且 k一 2 时，r(A)=3。)解析：19.设 ， 为三维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T , T 分别为 ， 的转置。证明：r(A)2。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )r()+
14、r()2。)解析：20.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 r(A)=n 时，A0，则有A * =A n-1 0，从而 A * 可逆，即 r(A * )=n。 当 r(A)=111 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，即 A * 中至少有一个元素不为零，故 r(A * )1。 又因 r(A)=n 一 1 时，有A=0，且由 AA * =AE 知 AA * =O。根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A * )n， 把 r(A)=n 一 1 代入上式，得 r(A * )1。 综上所述，有 r(A * )=1。 当 r(A)n 一 2 时，A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，也就是 A * 的任一元素均为零，即 A * =O，从而 r(A * )=0。)解析：
