1、考研数学二（矩阵）-试卷 5 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rmD.rm3.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=44.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则( )（分数：2.00）A.r(B)=
2、nB.r(B)nC.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)D.A=05.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A= （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 17.设 A= （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 n 阶矩阵
3、 A 满足 A 2 +A=3E，则(A-3E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E- T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_14.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.P 1 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：18.00)1
4、8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求：（分数：4.00）(1).(A+2E) -1 ；（分数：2.00）_(2).(A+4E) -1 （分数：2.00）_19.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(E-A) -1（分数：2.00）_设 A，B 为 n 阶矩阵，P= （分数：4.00）(1).求 P.Q；（分数：2.00）_(2).证明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：2.00）_20.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =AE证明：A=A * （分数：2.00）_21.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E
5、0证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n（分数：2.00）_22.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_23.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=O（分数：2.00）_考研数学二（矩阵）-试卷 5 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rm D.rm解析：解析：显然 AB 为 m
6、 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)3.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析：解析：因为 r(A * )=1，所以 r(A)=4-1=3，选(C)4.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)D.A=0 解析：解析：因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A
7、)n，于是A=0，选(D)5.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A，B 都是可逆矩阵，因为6.设 A= （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 1 解析：解析：P 1 =E 12 ，P=E 23 (2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选(D)7.设 A= （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.D. 解
8、析：解析：显然 B=二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=10，因为 A * =AA -1 ，所以 A * =10A -1 ，故(A * ) -1 = 10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A-2E= 而(A-2E：E) 则(A-2E) -1 = 11.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E，则(A-3E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正
9、确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A 2 +A=3E，得 A 2 +A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E，(A-3E) 12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，因为A=2，所以 A * A=AE=2E，而 A * A=(A * 1 ，A * 2 ，A * 3 )，所以 A * 1 = 13.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E- T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：由 AB=(E- T ) T - T -2a T
10、 =E 且 T 0，得 14.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A -1 BA=6A+BA，得 A -1 B=6E+B，于是(A -1 -E)B=6E，B=6(A -1 -E) -1 =6 15.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为B=100，所以 r(AB)=r(A)=216.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)
11、3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=217.P 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P 1 = 三、解答题(总题数：8，分数：18.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求：（分数：4.00）(1).(A+2E) -1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A-3E=O 得 A(A+2E)=3E， A(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) -1 = )解析：(2)
12、A+4E) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A-3E=O 得(A+4E)(A-2E)+5E=O，则(A+4E) -1 = )解析：19.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(E-A) -1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E k -A k =(E-A)(E+A+A 2 +A k-1 )，又 E k -A k =E， 所以(E-A) -1 =E+A+A 2 +A k-1 )解析：设 A，B 为 n 阶矩阵，P= （分数：4.00）(1).求 P.Q；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PQ= )解析：(2).证明：当 P 可逆时，Q 也可
13、逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为P=AB，所以当 P 可逆时，AB0，而PQ=ABE，即 PQ=E，于是 Q 可逆且 Q -1 = )解析：20.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =AE证明：A=A * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AA * =AE，又已知 A 2 =AE，所以 AA * =A 2 ，而 A 可逆，故 A=A * )解析：21.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=0证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 -2A-8E=O 得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得
14、r(4E-A)+r(2E+A)n又 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4E-A)+r(2E+A)=n)解析：22.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(B-C)=O，故 r(A)+r(B-C)n，因为 A可逆，所以 r(A)=n，从而 r(B-C)=0，B-C=O，于是 B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的)解析：23.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=r(A T A)，而 A T A=O，所以 r(A)=0，于是 A=O)解析：
