1、考研数学二（线性代数）-试卷 25 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.齐次线性方程组的系数矩阵 A 45 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 （分数：2.00）A. 1 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表出B. 2 不能由 1 ， 3 ， 5 线性表出C. 3 不能由 1 ， 2 ， 5 线性表出D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出3.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件
2、是 ( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关4.设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组(I)aX=0 和()A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解5.已知 1 ， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )（分数：2
3、.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 - 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ 6.设 A 是 mn 矩阵，线性非齐次方程组为 AX=b 对应的线性齐次方程组为 AX=0 则 ( )（分数：2.00）A.有无穷多解仅有零解B.有无穷多解有无穷多解C.仅有零解有唯一解D.有非零解有无穷多解7.设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.m=n，且|A|0B.AX=0 有唯一零解C.A 的列向量组 1 ， 2 ， n 和 1
4、， 2 ， n ，b 是等价向量组D.r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出8.设矩阵 Amn 的秩，r(A)=r(A|b)=mn，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AX=0 必有无穷多解B.AX=b 必无解C.AX=b 必有无穷多解D.存在可逆阵 P，使 Ap=E m O9.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.A T AX=0 必有无穷多解C.对任意的 b，A T X=b 有唯一解D.对任意的 b，AX=b 有无穷多解10.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程
5、组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=sC.r(B)=sD.r(B)=n11.设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 （分数：2.00）A.r(A)=r(A|b)，r(B)任意B.AX=b 有解，BY=0 有非零解C.|A|0，b 可由 B 的列向量线性表出D.|B|0，b 可由 A 的列向量线性表出二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.已知一 2 是 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1
6、:_14.设 A 是三阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则|A+4E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是三阶矩阵，|A|=3，且满足|A 2 +2A|=0，|2A 2 +A|=0，则 A*的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1 1 1 T 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设三阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_18.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_19
7、.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.已知 =1，k，1 T 是 A -1 的特征向量，其中 （分数：2.00）_22.设矩阵 （分数：2.00）_23.已知 =1，1，一 1 T 是矩阵 （分数：2.00）_24.设矩阵 （分数：2.00）_25.设 A 是三阶实对称阵， 1 =一 1， 2 = 3 =1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1 =0，1，
8、1 T ，求 A（分数：2.00）_26.设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，证明：A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_27.设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式|A 一 3E|的值（分数：2.00）_28.设矩阵 （分数：2.00）_29.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 (1)证明：，A，A 2 线性无关； (2)若 A 3 =A，求秩 r(AE)及行列式|A+2E|（分数：2.00）_30.设 （分数：
9、2.00）_31.设三阶实对称阵 A 的特征值为 1，2，3，A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1 =一 1，一 1，1 T ， 2 =1，一 2，一 1 T ，求 A（分数：2.00）_32.证明：AB，其中 （分数：2.00）_33.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)，证明： （分数：2.00）_34.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA，证明：B 相似于对角阵（分数：2.00）_35.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P -1 AP=A（分数：2.00）_36.设
10、A=E+ T ，其中 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =2 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=A（分数：2.00）_37.设向量 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T ，求： (1)A 2 ； (2)A 的特征值和特征向量； (3)A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_38.设 a 0 ，a 1 ，,a n-1 是 n 个实数，方阵 （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 25 答案
11、解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.齐次线性方程组的系数矩阵 A 45 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 （分数：2.00）A. 1 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表出B. 2 不能由 1 ， 3 ， 5 线性表出C. 3 不能由 1 ， 2 ， 5 线性表出D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 解析：解析： i 能否由其他向量线性表出，只须将 i 视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有
12、关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出3.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关 B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关解析：解析：A 的列向量线性无关 AX=0 唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件4.设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组(I)aX=0 和()A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解
13、C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：解析：方程 AX=0 和 A T AX=0 是同解方程组5.已知 1 ， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 - 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ 解析：解析：(A)，(C)中没有非齐次特解，(D)中两个齐次解 1
14、 与 1 一 2 是否线性无关未知，而(B)中因 1 ， 2 是基础解系，故 1 ， 1 一 2 仍是基础解系， 6.设 A 是 mn 矩阵，线性非齐次方程组为 AX=b 对应的线性齐次方程组为 AX=0 则 ( )（分数：2.00）A.有无穷多解仅有零解B.有无穷多解有无穷多解 C.仅有零解有唯一解D.有非零解有无穷多解解析：解析：(C)，(D)中均有可能无解有无穷多解，记为 k 1 1 +k n-r n-r +，则有解 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r ，故(A)不正确，故选(B)7.设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（分数：2.00
15、）A.m=n，且|A|0B.AX=0 有唯一零解C.A 的列向量组 1 ， 2 ， n 和 1 ， 2 ， n ，b 是等价向量组D.r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出 解析：解析：r(A)=n，b 可由 A 的列向量组线性表出，即为 r(A)=r(A|b)=n，AX=b 有唯一解(A)是充分条件，但非必要条件，(B)是必要条件，但非允分条件(可能无解)，(C)是必要条件，但非充分条件(b 由 1 ， 2 ， n 表出，可能不唯一)8.设矩阵 Amn 的秩，r(A)=r(A|b)=mn，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AX=0 必有无穷多解B.AX=b 必无解 C.A
16、X=b 必有无穷多解D.存在可逆阵 P，使 Ap=E m O解析：解析：因 r(A)=r(A|b)=mnAX=b 必有解9.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.A T AX=0 必有无穷多解C.对任意的 b，A T X=b 有唯一解 D.对任意的 b，AX=b 有无穷多解解析：解析：r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 A T X=b，对任意的 b若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(A T )=r(A)=4r(A T |b)=5，而使方程组无解 其余(A)，(B)，(D)正确，自证10
17、.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=s C.r(B)=sD.r(B)=n解析：解析：显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有 BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选(B)，其余的均可举例说明11.设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 （分数：2.00）A.r(A)=r(A|b)，r
18、(B)任意 B.AX=b 有解，BY=0 有非零解C.|A|0，b 可由 B 的列向量线性表出D.|B|0，b 可由 A 的列向量线性表出解析：解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.已知一 2 是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：由|EA|=|一 2EA|=0，可求得 x=一 413.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0(n 一 1 重根)，n(单根)）解析：解析：14.设 A 是三阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则
19、|A+4E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0，知 A 有特征值=一 1，一 2，一 3，A+4E 有 =3，2，1，故|A+4E|=615.设 A 是三阶矩阵，|A|=3，且满足|A 2 +2A|=0，|2A 2 +A|=0，则 A*的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：|A|A+2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故 A 有特征值 1 =一 2 因|A|=3= 1 2 3 ，故 3 =3 故 A*有特征值 16.设 A 是 n 阶实对称阵， 1
20、， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1 1 1 T 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0， 2 ， 3 ， n）解析：解析：因 A 是实对称阵， 1 ， 2 ， n 互不相同，对应的特征向量 1 ， 2 ， n 相互正交，故 B i =(A 1 1 1 T ) i = 17.设三阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：18.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：=4）解析：解析：因 得 =4或有 AX=4X，即1
21、9.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1kr）解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.已知 =1，k，1 T 是 A -1 的特征向量，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 A -1 =， 是 A -1 的对应于 的特征值，两边左乘 A，得=A，A -1 可逆， 0， ，即 对应分量相等，得 得 2+2k=k(3+k)，k 2 +k 一2=0，得 k
22、=1 或 k=-2 当 k=1 时，=1，1，1 T ，=4， 当 k=-2 时，=1，一 2，1 T ，=1， )解析：22.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 有三个线性无关的特征向量，=2 是二重特征值，故特征矩阵 2E-A 的秩应为1 解得 x=2，y=-2，故 )解析：23.已知 =1，1，一 1 T 是矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即 解得 =一 1，a=-3，b=0 (2)当 a=-3，b=0 时，由 知 =一 1 是 A 的三重特征值，但 )解析：24.设矩阵 （分数：2.00）_正确
23、答案：(正确答案：A*= 0 ，左乘 A，得 AA*=|A|=一 = 0 A即 由，解得 0 =1，代入，得 b=一 3，a=c 由|A|=一 1，a=c，有 )解析：25.设 A 是三阶实对称阵， 1 =一 1， 2 = 3 =1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1 =0，1，1 T ，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 = 3 =1 有两个线性无关特征向量 2 ， 3 ，它们都与 1 正交，故可取 2 =1，0，0 T ， 3 =0，1，一 1 T ，且取正交矩阵 )解析：26.设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，证明：A+E 的行列式大于 1
24、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 为 n 阶正定矩阵，则 A 的特征值 1 0， 2 0， n 0因而 A+E的特征值分别为 1 +11， 2 +11， n +11，则|A+E|=( 1 +1)( 2 +1)( n +1)1)解析：27.设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式|A 一 3E|的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 为 A 的特征值，则 一 3 为 A 一 3E 的特征值所以 A 一 3E 的特征值为一1，1，3，2n 一 3，故|A 一 3E|=(一 1)13(2n 一 3)=一(2n 一 3)!)解
25、析：28.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)|A 一 E|=( 一 1)(+1) 2 一(2+y)+(2y 一 1)=0 y=2 (2)A为对称矩阵，要使(AP) T (AP)=P T A 2 P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A 2 对角化 由(1)得 A 的特征值 1 =一 1， 2,3 =1， 4 =3，故 A 2 的特征值 1,2,3 =1， 4 =9且 A 2 的属于特征值 1,2,3 =1 的正交单位化的特征向量为 A 2 的属于特征值 4 =9 的正交单位化的特征向量为 令 P=p 1 ，p 2 ，p 3 ，p 4 = )解析：29.设 A 为 3 阶矩阵，
26、1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 (1)证明：，A，A 2 线性无关； (2)若 A 3 =A，求秩 r(AE)及行列式|A+2E|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 k 1 +k 2 A+k 3 A 2 =o， 由题设 A i = i i (i=1，2，3)，于是 A=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ， A 2 = 1 2 1 + 2 2 2 + 3 2 3 ，代入式整理得 (k 1 +k 2 1 +k 3 1 2 ) 1 +(k 1 +k 2 2 +k 3 2 2
27、 ) 2 +(k 1 +k 2 3 +k 3 3 2 ) 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 其系数行列式 0，必有 k 1 =k 2 =k 3 =0，故 ，A，A 2 线性无关 (2)由 A 3 =A 有 A，A，A 2 =A，A 2 ，A 3 =A，A 2 ，A=，A，A 2 令 P=，A，A 2 ，则 P 可逆，且 从而有 r(AE)=r(BE)=r =2 |A+2E|=|B+2E|= )解析：30.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|E 一 A|= =( 一 9) 2 =0, 1 =0， 2 = 3 =9 )解析：31.设
28、三阶实对称阵 A 的特征值为 1，2，3，A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1 =一 1，一 1，1 T ， 2 =1，一 2，一 1 T ，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=3 对应的特征向量应与 1 ， 2 正交，设 3 =x 1 ，x 2 ，x 3 T ，则应有 解得 3 =1，0，1 T )解析：32.证明：AB，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B 由于 1 =1 时，( 1 E-A)X=0，有特征向量 1 =1，0，0 T ； 2 =2 时，( 2 E
29、-A)X=0，有特征向量 2 =0，1，0 T ； n =n 时，( n E-A)X=0，有特征向量 n =0，0，1 T 故有 A n =n n ，A n-1 =(n 一 1) n-1 ，A 1 = 1 ， 即 A n ， n-1 ， 1 =n n ，(n-1) n-1 ， 1 = n ， n-1 ， 1 故得可逆阵 )解析：33.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =A，A 的特征值的取值为 1，0，由 AA 2 =A(E-A)=0 知 r(A)+r(EA)n， r(A)+r(E 一 A)r(A+
30、E 一 A)=r(E)=n， 故 r(A)+r(EA)=n，r(A)=r，从而 r(E 一 A)=n 一 r 对=1，(E-A)X=0，因 r(E 一 A)=n 一 r，故有 r 个线性无关特征向量，设为 1 ， 2 ， r ； 对 =0，(0E-A)X=0，即 AX=0，因 r(A)=r，有 n-r 个线性无关特征向量，设为 r+1 ， r+2 ， n 故存在可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ， 使得 )解析：34.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA，证明：B 相似于对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 有 n 个互不相同的特征值，故存
31、在可逆阵 P，使得 P -1 AP=diag( 1 ， 2 ， n )=A 1 ，其中 i ，i=1，2，n 是 A 的特征值，且 i j (ij) 又 AB=BA，故P -1 APP -1 BP=P -1 BPP -1 AP，即 A 1 P -1 BP=P -1 BPA 1 设 P -1 BP=(c ij ) nn ，则 比较对应元素 i c ij = j c ij ，即( i 一 j )c ij =0， i j (ij)得 c ij =0，于是 )解析：35.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P -1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
32、(1)先求 A 的特征值 设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= T = 若 T =0，则 =0，0，故 =0； 若 T 0，式两端左乘 T ， T T =( T ) T =( T ) (2)再求 A 的对应于 的特征向量 当 =0 时 即解方程 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0， 得特征向量为(设 a 1 0) 1 =a 2 ，一 a 1 ，0，0 T ， 2 =a 3 ，0，一 a 1 ，0 T ， n-1 =a n ，0，0，一 a 1 T 由观察知 n =a 1 ，a 2 ，a n T (3)由 1 ， 2 ， n ，得可逆阵 P )解析：3
33、6.设 A=E+ T ，其中 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =2 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设(E+ T )= 左乘 T ， T (E+ T )=( T + T T )=(1+ T ) T = T ， 若 T 0，则 =1+ T =3； 若 T =0，则由式，=1 =1 时， (E-A)X=一 T X= b 1 ，b 2 ，b n X=0 即b 1 ，b 2 ，b n X=0，因 T =2，故 0，0，设 b 1 0，则 1 =b 2 ，一 b 1 ，0，0 T ， 2 =b 3 ，0，一 b 1 ，0 T ， n-1 =b n ，0，0，一 b 1 T ； =3 时， (3E-A)X=(BE- T )X=0， n =a 1 ,a 2 ，a n T (2)取 )解析：37.设向量 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T ，求： (1)A 2 ； (2)A 的特征值和特征向量； (3)A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_
