1、考研数学二（线性代数）-试卷 26 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵B.设 A，B 可逆，则 A -1 +B -1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵3.设 （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 14.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性
2、无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示5.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，Ax=0 的通解为 X=k(0，-1，3，
3、0) T ，则 A*X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B.2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4D. 3 ， 47.设 A 为三阶矩阵，方程组 Ax=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =-2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 + 3B.3 3 - 1C. 1 +2 2 +3 3D.2 1 -3 28.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同二、填空题(总题数
4、：4，分数：8.00)9.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：28.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 D= （分数：4.00）(1).计算 D；（分数：2.00）_(2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：2.00）_14.设 B= （
5、分数：2.00）_15.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_16.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立（分数：2.00）_设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_17.设 A= （分数：2.00）_18.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3
6、 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 （分数：2.00）_19.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 1 = ，属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 2 = （分数：2.00）_设 AB， （分数：4.00）(1).求 a，b；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 p -1 AP=B（分数：2.00）_设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：（分数：4.00）(1).二次型 X T AX 的标准形；（分数：2.00）_(2).E+A+A 2 +A n 的值（
7、分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 26 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A -1 +B -1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵解析：解析：由(A+B) T =A T +B T =A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1 +B -1 ) T =(A -1 ) T +(B -1 ) T =A
8、 -1 +B -1 ，得 A -1 +B -1 为对称矩阵；由(kA) T =kA T =kA，得 kA 为对称矩阵，选(A)3.设 （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 1 解析：解析：P 1 =E 12 ，P 2 =E 23 (2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选(D)4.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示 B.
9、 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示解析：解析：因为 2 ， 3 ， 4 线性无关，所以 2 ， 3 线性无关，又因为 1 ， 2 ，a3线性相关，所以 1 可由 2 ， 3 线性表示，选(A)5.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示 D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关解析：解析：若向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则
10、其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 一定线性无关，因为若 1 ， 2 ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，Ax=0 的通解为 X=k(0，-1，3，0) T ，则 A*X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B.2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4 D. 3 ， 4解析：解析：因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)=
11、3，于是 r(A * )=1 因为 A * A=AE=O，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A*X=0 的一组解， 又因为- 2 +3 3 =0，所以 2 ， 3 线性相关，从而 1 ， 2 ， 4 线性无关，即为 A * X=0 的一个基础解系，应选(C)7.设 A 为三阶矩阵，方程组 Ax=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =-2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 + 3B.3 3 - 1C. 1 +2 2 +3 3D.2 1 -3 2 解析：解析：因为 Ax=0 有非零解，所以 r(A) 1， 2为特征
12、值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若 1+ 3为属于特征值 A。的特征向量，则有 A( 1+ 3)= 0( 1+ 3)，注意到 A( 1+ 3)=0 1-2 3=-2 3，故-2 3= 0( 1+ 3)或 0 1+( 0+2) 3=0，因为 1， 3线性无关，所以有 0=0， 0+2=0，矛盾，故 1+ 3不是特征向量，同理可证 3 3- 1及 1+2 2+3 3也不是特征向量，显然 2 1-3 2为特征值 0 对应的特征向量，选(D)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=
13、BC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析：因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B 合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 J6I 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
14、）解析：解析：令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，因为A=2，所以 A * A=AE=2E，而 A * A=(A * 1 ，A * 2 ，A * 3 )，所以 A * 1 = ，A * 2 = ，A * 3 = 于是 11.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数)）解析：解析：因为A=0，所以 r(A) ki0，所以 r(A*)1，从而 r(A)=n-1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA*=AE=0，所以 A
15、*的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为C(Ak1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)12.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：因为 AB，所以三、解答题(总题数：11，分数：28.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 D= （分数：4.00）(1).计算 D；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：M 31 +M 33 +M 34 =1A 3
16、1 +0A 32 +1A 33 +(-1)A 34 )解析：14.设 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(B-C)=O，故 r(A)+r(B-C)n，因为 A可逆，所以 r(A)=n，从而 r(B-C)=O，B-C=O，于是 B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的)解析：16.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 1 +k n
17、 n =0，由 1 ， n 两两正交及( 1 ，k 1 1 +k n n )=0，得 k 1 ( 1 1 )=0，而( 1 1 )= 1 2 0，于是 k 1 =0，同理可证 k 2 =k n =0， 故 1 ， n 线性无关令 1 = ， 2 = )解析：设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量， 故(1
18、，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 线性相关，即 )解析：(2).求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通 解为 X=k 1 (1，-2，1，2) T +k 2 (1，0，5，2) T +k 3 (-1，2，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数)解析：17.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 得 1 =7， 2 = 3 =1，A * 对应的特
19、征值为 )解析：18.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，解得 x 1 =2，x 2 =-2，x 3 =1，则 A n =2A n 1 -2A n 2 +A n 3 = )解析：19.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 1 = ，属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正
20、交，所以有 1 T 2 =-1+k=0 k=1 1 =8 对应的特征向量为 1 = 令 2 = 3 =2 对应的另一个特征向量为 3 = ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 x 1 +x 2 +x 3 =0 )解析：设 AB， （分数：4.00）(1).求 a，b；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1 - 2 =2，因为 A 相似于对角阵，所以 r(2E-A)=1，而 2E-A= )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 p -1 AP=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 由(
21、6E-A)X=0 得 =6对应的线性无关的特征向量为 3 = 令 P= )解析：设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：（分数：4.00）(1).二次型 X T AX 的标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =A，所以AE-A=0，即 A 的特征值为 0 或者 1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n-r 重)，则二次型 X T AX 的标准形为 y 1 2 +2y 2 x 2 +y r 2)解析：(2).E+A+A 2 +A n 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=E+A+A 2 +A n ，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n-r 重)，故E+A+A 2 +A n B=(n+1) r )解析：
