1、考研数学二（线性代数）-试卷 27 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=43.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关B. 1 ， 2 ， 3
2、，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 ，线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关4.设 A 是，n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)行C.Ax=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 E-AE-B5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规
3、范形不一定相同D.规范形和标准形都相同二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_10.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 x 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：30.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.计算行列式 （分数：2.00）_
4、13.设 A= （分数：2.00）_设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：4.00）(1).求 PQ；（分数：2.00）_(2).证明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：2.00）_14.设 1 ， n 为 n 个 m 维向量，且 m 1， n线性相关（分数：2.00）_15.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n-1 个列向量线性相关，后 n
5、-1 个列向量线性无关， 且 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，b= 1 + 2 ，+ n （分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_17.求矩阵 A= （分数：2.00）_设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：4.00）(1).求方程组 AX=0 的通解；（分数：2.00）_(2).求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_18.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =0证明：A 不可以对角化（分
6、数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 （分数：4.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 27 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3
7、 D.r(A)=4解析：解析：因为 r(A * )=1，所以 r(A)=4-1=3，选(C)3.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关 B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 ，线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关解析：解析：因为 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 k 1 + 2 一定
8、不可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关，选(A)4.设 A 是，n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)行C.Ax=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 E-AE-B 解析：解析：若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B， 于是 P -1 (E-A)P=E-P -1 AP=E-B，即E-AE-B； 反之，若 E-AE-B，即存在可逆矩阵 P，使得 P -1
9、(E-A)P=E-B， 整理得 E-P -1 AP=E=B，即 P -1 AP=B，即 AB，应选(D)5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析：因为 A 与 A -1 合同，所以 X T AX 与 X T A -1 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1（分数：
10、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：AB=BA）解析：解析：A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)=A 2 +BA-AB-B 2 的充分必要条件是 AB=BA7.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=10，因为 A * =AA -1 ，所以 A * =10A -1 ，故(A * ) -1 = 8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P 1 = =E 23 ，因为 E ij -1 =E ij ，所以 E ij 2 =E，于是 9.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
11、1 + 2 + 3 + 4 =0）解析：解析： 因为原方程组有解，所以 r(A)=r( 10.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 x 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型的秩为 2，所以A=0，解得 a=三、解答题(总题数：12，分数：30.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+
12、AE=A * +X 得(A-E)X=A * -AE=A * -AA * =(E-A)A * ， 因为E-A=-30，所以 E-A 可逆，于是 X=-A * ， 由A=6 得 X=-6A -1 ， )解析：设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：4.00）(1).求 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).证明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为P=AB，所以当 P 可逆时，AB0，而PQ=ABE，即 =E，于是 Q 可逆且 Q -1 = )解析：14.设 1 ， n 为 n 个 m 维向量，且 m 1， n线性相关（分数：2.00）
13、_正确答案：(正确答案：向量组 1 ， n 线性相关的充分必要条件是方程组 x 1 1 +x n n =0 有非零解，因为方程组 x 1 1 +x n n =0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且 m 1 1+xn n=0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组 1， n线性相关)解析：15.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 = 1 得(A-E) 1 =0； 由 A 2 = 1
14、 + 2 得(A-E) 2 = 1 ；由 A 3 = 2 + 3 得(A-E) 3 = 2 ， 令 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0，(1) (1)两边左乘 A-E得 k 2 1 +k 3 2 =0，(2) (2)两边左乘 A-E 得 k 3 1 =0，因为 1 0，所以 k 3 =0，代入(2)、(1)得 k 1 =0，k 2 =0，故 1 ， 2 ， 3 线性无关)解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线性无关解，所以 4-r(A)+1=3，即 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k 1 (
15、 2 - 1 )+k 2 ( 3 - 1 )+ 1 = )解析：设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关， 且 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，b= 1 + 2 ，+ n （分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=n-1，又 b= 1 + 2 + n ，所以 r( )=n-1，即 r(A)=r( )解析：(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，所以 1 +2
16、2 +(n-1) n-1 +0 n =0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n-1，0) T ， 又因为 b= 1 + 2 + n ，所以方程组 AX=b 有特解 =(1，1，1) T ， 故方程组 AX=b 的通解为 k+=k(1，2，n-1，0) T +(1，1，1) T (k 为任意常数)解析：17.求矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A=(-1) 2 (-4)=0 得 1 = 2 =1， 3 =4 当 =1 时，由(E-A)X=0 得属于特征值 =1 的线性无关的特征向量为 1 = ， 2 = ，全部特征向量为 k 1 1 +k 2 2 (k
17、 1 ，k 2 不同时为 0)； 当 =4 时，由(4E-A)X=0 得属于特征值 =4 的线性无关的特征向量为 3 = )解析：设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：4.00）(1).求方程组 AX=0 的通解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 )解析：(2).求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =kA，其中 k=(，)= )解析：18.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然
18、数 k，使得 A k =0证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 AX=X(X0)，则有 A k X= k X，因为 A k =O，所以 k X=0，注意到X0，故 k =0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0 因为 r(0E-A)=r(A)1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系至多含 n-1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化)解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 （分数：4.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB+B=O 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3， 因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =-1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 =-1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 = 2 =-1， 3 =5 由(E+A)B=O 得 B 的列组为(E+A)X=O 的解， 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 f=X T AX )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
