1、考研数学二（线性代数）-试卷 7 及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足以 a ih =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中： 若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可
2、逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，则必有 ( )（分数：2.00）A.|AB|=0B.|BA|=0C.|AB|=|BA|D.|BA|BA|=|BA|BA|5.已知 （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1D.t6 时 P 的秩必为 26.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.|A|0，则|B|0B.如果 A 可逆，则存在可逆
3、矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则|B|0D.存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B7.设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩 ( )（分数：2.00）A.必有一个等于零B.都小于 nC.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n8.设 （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3D.无法确定9.设 A 为 4 阶矩阵，其秩 r(A)=3，那么 r(A*)*)为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.310.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 2 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B11.设 （分
4、数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1D.P 2 A -1 P 112.设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 为 A T 的特征向量，那么 为 A 的特征向量B.若 为 A*的特征向量，那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量13.已知三阶矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，则 2A*的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12C.2，4，6D.8，16，24二、填空
5、题(总题数：8，分数：16.00)14.A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=-2，|B|=3，则|B|A -1 |= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 A 2 一 2A+E=O，则(A+E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 是 n 阶矩阵，|A|=5，则|(2A) * |= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_21.已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第
6、2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.证明：r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_24.设 A，B 是 n 阶矩阵，证明：AB 和 BA 的主对角元的和相等(方阵主对角元的和称为方阵的迹，记成trA，即 （分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0 的充分必要条件是 A=O（分数：2.00）_26.证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AA
7、 T =E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.00）_27.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵（分数：2.00）_28.证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是|A|=1，且若|A|=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若|A|=一 1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 1（分数：2.00）_29.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =0，A=E+ T ，试计算： (1)|A|； (2)A n
8、； (3)A -1 （分数：2.00）_30.设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵，B= （分数：2.00）_31.设 （分数：2.00）_32.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B 证明：AE 可逆，并求(AE) -1 （分数：2.00）_33.设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =O，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A -1 和(A+B) -1 （分数：2.00）_34.设 A，B 是 n 阶方阵，B 及 E+AB 可逆，证明：E+BA 也可逆，并求(E+BA) -1 （分数：2.00）_35.设 A=E- T ， 是非零
9、列向量，证明：(1)A 2 =A 的充要条件是 T =1；(2)当 T =1 时，A 不可逆（分数：2.00）_36.设 A，B 都是 n 阶对称阵，已知 E+AB 不可逆，证明：E+BA 也不可逆（分数：2.00）_37.已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O，证明：B 不可逆（分数：2.00）_38.设 A=(a ij ) nn ，且 （分数：2.00）_39.已知 n 阶矩阵 求|A|中元素的代数余子式之和 ，第 i 行元素的代数余子式之和 ，i=1，2，n 及主对角元的代数余子式之和 （分数：2.00）_40.设矩阵 A 的伴随阵 （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 7
10、 答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足以 a ih =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：由 a ij =A ij (i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A*=A T ，那么|A*|=|A T |，也即|A|
11、2 =|A|，即|A|(|A|一 1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a 11 0，则 |A|=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 =a 11 2 +a 12 2 +a 13 2 0，故|A|=1因此，A 可逆 并且 AA T =AA*=|A|E=E，可知 A 是正交矩阵可知、正确，错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)3.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中： 若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 ( )（分数：
12、2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由于(A-E)B=A，可知当 A 可逆时，|AE|B|0，故|B|0，因此 B 可逆，可知是正确的 当 A+B 可逆时，|AB|=|A|B|0，故|B|0，因此 B 可逆，可知是正确的 类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故|AB|=|A|B|0，因此 AB 可逆，故 A+B 也可逆，可知是正确的 最后，由 AB=A+B 可知(AE)BA=O，也即(AE)B 一(AE)=E，进一步有(AE)(BE)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的 综上，四个命题都是正确的，故选(D)4.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，则必有 ( )（分数
13、：2.00）A.|AB|=0 B.|BA|=0C.|AB|=|BA|D.|BA|BA|=|BA|BA|解析：解析：由于 mn，则有 r(AB)r(A)nm，可知矩阵 AB 不满秩，因此(A)正确由于 BA 是 n 阶矩阵，是否满秩无法确定，故不一定有|BA|=0，故(B)错误 由于 A，B 不为方阵，因此没有等式|AB|=|A|B|=|BA|事实上，由上面的讨论过程可知，当 BA 满秩时，有|AB|=0|BA|，故(C)不正确 |BA|BA|=|BA| n |BA|=|BA| n+1 ，可知，等式|BA|BA|=|BA|BA|也不一定成立，故(D)错误 综上，唯一正确的选项是(A)5.已知 （
14、分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1 D.t6 时 P 的秩必为 2解析：解析：“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： (1)A ms B sn =O r(A)+r(B)s； (2)A ms B sn =O 组成 B 的每一列都是 A ms X=0 的解向量对于本题， PQ=O;r(P)+r(Q)3;1r(P)3 一 r(Q) 当 t=6 时，r(Q)=1;1r(1P)2;r(P)=1 或 2，则(A)和(B)都错； 当 t6 时，r(Q)=2;1r(P)1;r(P)=16.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则
15、下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.|A|0，则|B|0 B.如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则|B|0D.存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B解析：解析：两矩阵等价的充要条件是秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有 r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B -1 B=E，可见(B)中命题成立AE 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故|B|0，可见(C)中命题也是成立的 矩阵 A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题
16、事实上，当|A|0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即|B|0，不一定有|B|0故选(A)7.设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩 ( )（分数：2.00）A.必有一个等于零B.都小于 n C.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n解析：解析：AB=O;r(A)+r(B)n；又 A0，BO;r(A)1，r(B)1，则 (A)n，r(B)n8.设 （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3 D.无法确定解析：解析：由 r(A*)=1 得 r(A)=3 则|A|=0，即9.设 A 为 4 阶矩阵，其秩 r(A)=3，那么 r(A*)*)为 ( )（分数：2.
17、00）A.0 B.1C.2D.3解析：解析：由于(A*)*=|A| n-2 A，由于 A 不满秩，故|A|=0于是(A*)*=O，r(A*)*)=0，故应选(A)10.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 2 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：B 由 A 第一行加到第 3 行(P 2 左乘 A)再将第一，二行对换(再 P 1 左乘 P 2 A)得到，故(C)成立11.设 （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1 D.P 2 A -1 P 1解析：解析：因 B=AP 2
18、P 1 ，B -1 =(AP 2 P 1 ) -1 =P 1 -1 P 2 -1 A -1 =P 1 P 2 A -1 12.设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 为 A T 的特征向量，那么 为 A 的特征向量B.若 为 A*的特征向量，那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量 解析：解析：(1)矩阵 A T 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误 (2)假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时 也为 A*的特征向量这是由于 A= A*
19、A=A* A*= -1 |A| 但反之， 为 A*的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n 一 1 时，A*=O，此时，任意 n 维非零列向量都是 A*的特征向量，故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B)错误 (3)假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A 2 的特征向量这是由于 A 2 =A(A)=A= 2 但反之，若 为 A 2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如：假设 A 1 = 1 ，A 2 =一 2 ，其中 1 ， 2 0此时有 A 2 ( 1 + 2 )=A 2 1 +A 2 2 = 1 + 2 ，可知 1 + 2 为 A 2 的
20、特征向量但 1 ， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1 + 2 不是 A 的特征向量故(C)错误 (4)若 为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 13.已知三阶矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，则 2A*的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12 C.2，4，6D.8，16，24解析：解析：2A*的特征值是 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)14.A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=-2，|B|=3，则|B|A -1 |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：|A|=一
21、 2，|B|=3，|B|A -1 |=|B| n |A -1 |= 15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则 B=A+E，B 2 =4B=4(A+E)=(A+E) 2 得 A 2 一 2A=A(A-2E)=3E， 16.已知 A 2 一 2A+E=O，则(A+E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A 2 一 2A+E=O，(A+E)(A 一 3E)=一 4E， 17.设 A 是 n 阶矩阵，|A|=5，则|(2A) * |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析
22、：解析：(2A)(2A)*=|2A|E，(2A)*=|2A|(2A) -1 ， 18.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(A -1 )(A -1 )*=|A -1 |E,(A -1 )*=|A -1 |A= 20.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E+B=E+(E+A) -1 (EA)=(E+A) -1 (E+A+E-A)=(E+A) -1 2E，故 21.已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第
23、2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.证明：r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，则 A+B= 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n ，由于 A+B 的列向量组 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n 都是由向量组 1 ， 2 ， n
24、 ， 1 ， 2 ， n 线性表出的，故 r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n )r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ) 又由于 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n )r( 1 ， 2 ， n )+r( 1 ， 2 ， n )， 故 r(A+B)=r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n ) r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ) r( 1 ， 2 ， n )+r( 1 ， 2 ， n ) =r(A)+r(B)解析：24.设 A，B 是 n 阶矩阵，证明：AB 和 BA 的主对角元的和相等(方阵主对角元的和称为方阵的迹，记成trA，
25、即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 且记 AB=C=(c ij ) nn ，BA=D=(d ij ) nn ，则 )解析：25.设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0 的充分必要条件是 A=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 A=O，显然 tr(AA T )=0 必要性 tr(AA T )=0，设 记 B=AA T ，则 )解析：26.证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AA T =E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，且 A 是正
26、交矩阵 (1)AA T =E，A，A T 互为逆矩阵，有 A T A=E，故 (2)AA T =E 即 )解析：27.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，a ij =A ij ，则 A*=A T ， AA*=AA T =|A|E 两边取行列式，得|A| 2 =|A| n ，得|A| 2 (|A| n-2 一 1)=0因 A 是非零阵，设 a ij 0，则|A|按第 i 行展开有 )解析：28.证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是|A|=1，且若|A|=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式
27、，若|A|=一 1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 A 是正交矩阵 AA T =E |A|=1 若|A|=1，则 AA*=|A|E=E，而已知 AA T =E，从而有 A T =A*，即 a ij =A ij ； 若|A|=-1，则 AA*=|A|E=-E，A(一 A*)=E，而已知 AA T =E，从而有一 A*=A T ，即 a ij =一 A ij 充分性 |A|=1 且 a ij =A ij ，则 A*=A T ，AA*=AA T =|A|E=E，A 是正交阵，|A|=一 1，且 a ij =一 A ij 时，一 A*=A T
28、 ，AA*=|A|E=一 E，即 AA T =E，A 是正交阵)解析：29.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =0，A=E+ T ，试计算： (1)|A|； (2)A n ； (3)A -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)|A|=|E+ T |= (2)A n =(E+ T ) n =E n +nE n-1 T + )解析：30.设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵，B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 因(E+AB) T =(E+AB)，故有 b=c=d=e=0 又 E+AB 不可逆
29、，有|E+AB|= =14f 2 =0，得 从而得 )解析：31.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换)且 B 4 =O，故 (E+B)(EB+B 2 一 B 3 )=E一 B 4 =E，故 A=E+B 可逆，且 A -1 =(E+B) -1 =EB+B 2 一 B 3 又 )解析：32.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B 证明：AE 可逆，并求(AE) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 AB=A+B，即 AB-AB=0，AB 一 AB+E=E，A(BE)一(B 一 E)=E，即 (AE)(BE)=E，故 AE 可逆，
30、且(AE) -1 =BE)解析：33.设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =O，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A -1 和(A+B) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设：A 2 +AB+B 2 =O，得 A(A+B)=-B 2 式右乘(一 B 2 ) -1 ，得A(A+B)(一 B 2 ) -1 =E，得 A 可逆，且 A -1 =(A+B)(一 B 2 ) -1 式左乘(一 B 2 ) -1 ，得(一 B 2 ) -1 A(A+B)=E，得 A+B 可逆，且 (A+B) -1 =(一 B 2 ) -1 A)解析：34.设 A，B
31、是 n 阶方阵，B 及 E+AB 可逆，证明：E+BA 也可逆，并求(E+BA) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E+BA)=B(B -1 +A)=B(E+AB)B -1 ，因 B，E+AB 可逆，故 E+BA 可逆，且 (E+BA) -1 =B(E+AB)B -1 -1 =B(E+AB) -1 B -1 )解析：35.设 A=E- T ， 是非零列向量，证明：(1)A 2 =A 的充要条件是 T =1；(2)当 T =1 时，A 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 =(E 一 T ) T =E 一 2 T +( T ) 2 =E-(2 一 T )
32、T =A,2 一 T =1，即 T =21=1 (2) T =1，A 2 -A=A(A-E)=0，AE，AX=0 有非零解,|A|=0)解析：36.设 A，B 都是 n 阶对称阵，已知 E+AB 不可逆，证明：E+BA 也不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|E+BA|=|(E+BA) T |=|E+A T B T |=|E+AB|=0，故 E+BA 也不可逆)解析：37.已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O，证明：B 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB=O，(AB) T =B T A T =O，AO，B T X=0 有非零解，故|B T |=0，即|B|=0
33、，从而有 B 不可逆)解析：38.设 A=(a ij ) nn ，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.已知 n 阶矩阵 求|A|中元素的代数余子式之和 ，第 i 行元素的代数余子式之和 ，i=1，2，n 及主对角元的代数余子式之和 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA*=|A|E=E， )解析：40.设矩阵 A 的伴随阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 (AE)BA -1 =3E (AE)B=3A, A -1 (A-E)B=3E (EA -1 )B=3E， 其中|A*|=8=|A| 3 ，|A|=2，从而得 (2EA*)B=6E，B=6(2EA*) -1 ， )解析：
