1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 40 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )（分数：2.00）A.0B.a 2C.a 2D.na 23.行列式A非零的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 中所有元素非零B.A 中至少有 n 个元素非零C.A 的任意两行元素之间不成比例D.以A为系数行列式的线性方程组有唯一解4.假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)rn，那么在 A 的 n 个
2、行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示5.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )（分数：2.00）A.ABB.ABC.若A0，则一定有B0D.若A0，则一定有B06.设向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， r 线性无关，则 rsB.若 1 ， 2 ， r 线性相关，则 rsC.若 1 ， 2 ， s 线性无
3、关，则 rsD.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 rs7.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 ABE，则( )（分数：2.00）A.B 的行向量组线性无关B.B 的列向量组线性无关C.A -1 BD.ABAB8.非齐次线性方程组 AXb 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.rm 时，方程组 AXb 有解B.rn 时，方程组 AXb 有唯一解C.mn 时，方程组 AXb 有唯一解D.rn 时，方程组 AXb 有无穷多解9.设 A 为 mn 矩阵且 r(A)n(nm)，则下列结论中正确的是( )（分数：
4、2.00）A.若 ABAC，则 ACB.若 BACA，则 BCC.A 的任意 n 个行向量线性无关D.A 的任意 n 个行向量线性相关二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.设 n 阶矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 均为 n 阶方阵A2，B3，则A -1 B * A * B -1 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设三阶方阵 AA 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式A2，则行列式A 1 2A 2 ，2A 2 3A 3 ，3A 3 2A 1 1（分数：2.00
5、）填空项 1:_14.设 A 是三阶方阵，且AEA2E2A3E0，则2A * 3E 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 为四阶可逆方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵 B，则 B -1 A 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 为 43 矩阵，且 r(A)2，而 B （分数：2.00）填空项 1:_17.向量组 1 0，4，2k， 2 2，3k，1， 3 1k，2，3线性相关，则实数 k 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设三阶矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)19.解答题解答应写出文
6、字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设 A （分数：2.00）_21.设 A 为三阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，A13，求4A(3A * ) -1 （分数：2.00）_22.A 是三阶矩阵，三维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，满足 A 1 2 3 ，A 2 1 3 ，A 3 1 2 ，求A（分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.设 A，B 为三阶矩阵，满足 ABEA 2 B，E 为三阶单位矩阵，又知 A （分数：2.00）_25.已知 （分数：2.00）_26.设矩阵 （分数：2.00）_27.解方程 （分数：2.00）_28.设向量组()： 1
7、， 2 ， 3 ；()： 1 ， 2 ， 4 的秩分别为()2，秩()3证明向量组 1 ， 2 ， 3 4 的秩等于 3（分数：2.00）_29.已知线性方程组 （分数：2.00）_30.设向量组 （分数：2.00）_31.设线性方程组 （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）模拟试卷 40 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )（分数：2.00）A.0 B.a 2C.a
8、 2D.na 2解析：解析：不妨设第一列元素及余子式都是 a，则 Da 11 A 11 a 21 A 21 a 2n ,A 2n,1 a 2 a 2 a 2 0，应选 A3.行列式A非零的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 中所有元素非零B.A 中至少有 n 个元素非零C.A 的任意两行元素之间不成比例D.以A为系数行列式的线性方程组有唯一解 解析：解析：A0 的充要条件是 r(A)n，r(A)n 的充要条件是 AXb 有唯一解，应选 D4.假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)rn，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向
9、量线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示解析：解析：因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由 r(A)r 得 A 一定有 r 个行向量线性无关，应选 A5.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )（分数：2.00）A.ABB.ABC.若A0，则一定有B0 D.若A0，则一定有B0解析：解析：因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若A0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B0，应选 C6.设向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )
10、（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， r 线性无关，则 rs B.若 1 ， 2 ， r 线性相关，则 rsC.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 rsD.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 rs解析：解析：因为()可由()，所以()的秩()的秩， 所以若 a 1 ，a 2 ，a r 线性无关，即()的秩r，则 r()的秩s，应选 A7.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 ABE，则( )（分数：2.00）A.B 的行向量组线性无关B.B 的列向量组线性无关 C.A -1 BD.ABAB解析：解析：由 ABE 得 r(AB)n，从而 r(A)n，r(
11、B)n， 又 r(A)n，r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n， 故 B 的列向量组线性无关，应选 B8.非齐次线性方程组 AXb 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.rm 时，方程组 AXb 有解 B.rn 时，方程组 AXb 有唯一解C.mn 时，方程组 AXb 有唯一解D.rn 时，方程组 AXb 有无穷多解解析：解析：t(A)r(A)， 当 rm 时，r(A)r(A)m； 又 r(A)m，所以 r(A)r(A)m，故 AXb有解，应选 A9.设 A 为 mn 矩阵且 r(A)n(nm)，则下列结论中正确的是( )（分数：2.0
12、0）A.若 ABAC，则 ACB.若 BACA，则 BC C.A 的任意 n 个行向量线性无关D.A 的任意 n 个行向量线性相关解析：解析：由 BACA 得(BC)AO，则 r(A)r(BC)n， 由 r(A)n 得 r(BC)0，故 BC，应选 B二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.设 n 阶矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(n1)(1) n-1）解析：解析：11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： (a)A 12 bA 13 aM 12 bM 13 12.设 A，B 均为 n 阶方阵A2，B3，则A
13、 -1 B * A * B -1 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A * AA -1 2A -1 ，B * BB -1 3B -1 ，则 A -1 B * A * B -1 3A -1 B -1 2A -1 B -1 (5) N A -1 .B -1 13.设三阶方阵 AA 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式A2，则行列式A 1 2A 2 ，2A 2 3A 3 ，3A 3 2A 1 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：由(A 1 2A 2 ，2A 2 3A 3
14、，3A 3 2A 1 ) (A 1 ，A 2 ，A 3 ) 得A 1 2A 2 ，2A 2 3A 3 ，3A 3 2A 1 A 1 ，A 2 ，A 3 . 14.设 A 是三阶方阵，且AEA2E2A3E0，则2A * 3E 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：126）解析：解析：由AEA2E2A3E0 得 EA0，2EA0， EA0， 矩阵 A 的特征值为 1 1， 2 2， 3 ， A3，A * 的特征值为 15.设 A 为四阶可逆方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵 B，则 B -1 A 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
15、确答案：*）解析：解析：由 B AE 3 (3)E 13 得 B -1 AE 13 -1 E 3 -1 (3)A -1 AE 13 E 3 ( ) 16.设 A 为 43 矩阵，且 r(A)2，而 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为B17.向量组 1 0，4，2k， 2 2，3k，1， 3 1k，2，3线性相关，则实数 k 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由18.设三阶矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 与 线性相关，所以 A 与 成比例， 令 Ak，
16、即 ， 从而三、解答题(总题数：13，分数：26.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：2A 11 A 12 A 13 2A 11 A 12 A 13 0A 14 0； )解析：21.设 A 为三阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，A13，求4A(3A * ) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * AA -1 )解析：22.A 是三阶矩阵，三维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，满足 A 1 2 3 ，A 2 1 3 ，A 3 1 2 ，求A（分数：2.00）_正确答
17、案：(正确答案：令 B( 1 ， 2 ， 3 )，由 A 1 2 3 ，A 2 1 3 ，A 3 1 2 得 AB ，两边取行列式得 A.BB. )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由初等变换的性质得 BAP 1 P 2 ，则 B -1 P 2 -1 P 1 -1 A -1 P 2 P 1 A -1 )解析：24.设 A，B 为三阶矩阵，满足 ABEA 2 B，E 为三阶单位矩阵，又知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ABEA 2 B 得 (AE)BA 2 E， AE ，因为AE0，所以 AE 可逆， 从而 BAE )解析：25.已知 （分数：2.00）
18、_正确答案：(正确答案：由 APPB 得 APBP -1 ， )解析：26.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A -1 (EBB T A -1 ) -1 C -1 E 得 C(EBB T A -1 )AE，即 C(ABB T )E，解得 C(ABB T ) -1 )解析：27.解方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X(X 1 ，X 2 )， )解析：28.设向量组()： 1 ， 2 ， 3 ；()： 1 ， 2 ， 4 的秩分别为()2，秩()3证明向量组 1 ， 2 ， 3 4 的秩等于 3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由向量组()的秩为 3
19、得 1 ， 2 ， 4 线性无关，从而 1 ， 2 线性无关， 由向量组()的秩为 2 得 1 ， 2 ， 3 线性相关， 从而 3 可由 1 ， 2 线性表示，令 3 k 1 1 k 2 2 ( 1 ， 2 ， 3 4 )( 1 ， 2 ，k 1 1 k 2 2 4 ) ( 1 ， 2 ， 4 ) 由 10 得矩阵 )解析：29.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 k 1 2 时，方程组有唯一解； (2)当 k 1 2 时， 情形一：k 2 1 时，方程组无解； 情形二：k 2 1 时，方程组有无数个解， 原方程组通解为 X )解析：30.设向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (a4) (1)当 a4 时， 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示 当 a4 时， (2)当 c3b10 时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示方法不唯一， 则 ( )解析：31.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
