1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 41 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 ， 3 是 AX0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 的一个等价向量组B. 1 ， 2 ， 3 的一个等秩向量组C. 1 ， 1 2 ， 1 2 3D. 1 2 ， 2 3 ， 3 13.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不为零向量B. 1
2、 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表示D. 1 ， 2 ， s 中有一部分向量线性无关4.设矩阵 A mn ，r(A)mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )（分数：2.00）A.A 通过初等行变换必可化为E m ，O的形式B.A 的任意 m 阶子式不等于零C.A 的任意 m 个列向量必线性无关D.非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多解5.设 A （分数：2.00）A.3B.5C.3 或5D.5 或36.设 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A （分数：2.00）A.(1，1，1
3、) TB.(1，2，0) TC.(0，1，1) TD.(2，4，1) T8.下列矩阵中，不能相似对角化的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式10.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设向量组 （分数：2.00）填空项 1:_12.若线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.若矩阵
4、A （分数：2.00）填空项 1:_14.设三阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式2A48，则 1（分数：2.00）填空项 1:_15.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_17.若 与 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_18.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设四元齐次线性方程组()为 （分数：2.00）_21.已知 0 是 A （分数：2.00）_22.设 A 是三阶矩阵，其特征值
5、是 1，2，3，若 A 与 B 相似，求B * E（分数：2.00）_23.已知二次型 f2 1 2 3 2 2 3 3 2 2a 2 3 (a0)，通过正交变换化成标准形 fy 1 2 2y 2 2 5y 3 2 求参数 a 及所用的正交变换矩阵（分数：2.00）_24.设 a 是整数，若矩阵 A （分数：2.00）_25.n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A3EO，证明 A 能相似对用化（分数：2.00）_26.设 A （分数：2.00）_27.已知 （分数：2.00）_28.考虑二次型 f 1 2 4 2 2 4 3 2 2 1 2 2 1 3 4 2 3 ，问 取何值时，f 为正定二次型
6、?（分数：2.00）_29.设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 2AO已知 r(A)2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k为何值时，矩阵 AkE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵（分数：2.00）_30.求二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 的秩，正负惯性指数 p，q（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）模拟试卷 41 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1
7、 ， 2 ， 3 是 AX0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 的一个等价向量组 B. 1 ， 2 ， 3 的一个等秩向量组C. 1 ， 1 2 ， 1 2 3D. 1 2 ， 2 3 ， 3 1解析：解析：选项 B 显然不对，因为与 1 ， 2 ， 3 等秩的向量组不一定是方程组的解； 因为 1 ( 1 2 )( 1 2 3 )0，所以 1 ， 1 2 ， 1 2 3 线性相关，不选 C； 由( 1 2 )( 2 3 )( 3 1 )0，所以 1 2 ， 2 3 ， 3 1 线性相关，不选 D， 故应选 A3.向量组 1 ， 2 ，
8、s 线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不为零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表示 D. 1 ， 2 ， s 中有一部分向量线性无关解析：解析：若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 ， 2 ， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示；反之，若 1 ， 2 ， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 线性无关，应选 C4.设矩阵 A mn ，r(A)mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )（分数：2.00）A.
9、A 通过初等行变换必可化为E m ，O的形式B.A 的任意 m 阶子式不等于零C.A 的任意 m 个列向量必线性无关D.非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多解 解析：解析：显然 r( )r(A)m， 因为 为 m(n1)矩阵，所以 r( )m， 于是 r(5.设 A （分数：2.00）A.3B.5C.3 或5 D.5 或3解析：解析：因为 AX0 的任一非零解都可由 线性表示，所以 AX0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，从而 r(A)26.设 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 1 ， 2 线性无关，所以 AX0 的基础解系至少含两个线性无关的解向量，从而r(A)1，
10、 再由题意得 7.设 A （分数：2.00）A.(1，1，1) T B.(1，2，0) TC.(0，1，1) TD.(2，4，1) T解析：解析：由 得8.下列矩阵中，不能相似对角化的是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：9.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩 C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式解析：解析：因为 A 与 B 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T APB，从而 r(A)r(B)，应选 B10.设 （分数：2.00）A.合同且相
11、似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析：解析：因为 A，B 都是实对称矩阵，且特征值相同，所以 A、B 既相似又合同，应选 A二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：abc0）解析：解析：由12.若线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 4 a 1 a 2 a 3）解析：解析： 13.若矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 ABO 得 r 因为 r(B)1，所以 r(A)2， 又因为矩阵 A 有两行不成比例，所以 r(A)
12、2，于是 r(A)214.设三阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式2A48，则 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：A6，由2A8A48 得A6，解得 115.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由XEA 16.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：由EA (1)(2) 2 0 得 1 1， 2 3 2， 因为 A可对角化，所以 r(2EA)1， 由 2EA 17.若 与 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：17）填空项 1:_ （正确答案：12
13、）解析：解析：设18.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析：EA (2) 3 0， 特征值为 1 2 3 2， 因为 1 2 3 2 只有两个线性无关的特征向量， 所以 r(2EA)1， 由 2EA 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设四元齐次线性方程组()为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 方程组()的基础解系为 1 (2)()的通解为 代日()得 因为两个方程组有公共的非零解，所以 l 1 ，l 2
14、 不全为零， 从而 )解析：21.已知 0 是 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 为 A 的特征值，所以A 0，解得 a1 由EA (2) 2 0 得 1 0， 2 3 2 1 0 代入(EA)X0， 由 0EA 得 1 0 对应的线性无关的特征向量为 1 2 3 代入(2EA)X0， 由2EA 得 2 3 2 对应的线性无关的特征向量为 )解析：22.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，2，3，若 A 与 B 相似，求B * E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB所以 B 的特征值为 1 1， 2 2， 3 3， B * 的特征值为 )解析：23.已知二
15、次型 f2 1 2 3 2 2 3 3 2 2a 2 3 (a0)，通过正交变换化成标准形 fy 1 2 2y 2 2 5y 3 2 求参数 a 及所用的正交变换矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ， 则 fX T AX A 的特征值为 1 1， 2 2， 3 5， 由A2(9a 2 )10 得 a2，A 1 1 代入(EA)X0， 由 EA 得 1 1 对应的线性无关的特征向量为 1 2 2 代入(EA)X0， 由 2EA 得 2 2 对应的线性无关的特征向量为 2 3 5 代入(EA)X0， 由 5EA 得 3 5 对应的线性无关的特征向量为 则 X T AX )解析：24.
16、设 a 是整数，若矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A4(14)(14)28 2 ，由A * A 2 得A28或A28 若6a4028，则 a ，不合题意，舍去； 若6a4028，则a2，从而 A 的特征值为 2 1 7 代入(EA)X0 由7EA 得 1 7 对应的线性无关的特征向量为 1 ； 2 3 2 代入(EA)X0， 由 2EA 得 2 对应的线性无关的特征向量为 所求的正交矩阵为 且 Q T AQ )解析：25.n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A3EO，证明 A 能相似对用化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 2A3E0 得(EA)(3EA)0，
17、则 r(EA)r(3EA)n； 由r(EA)r(3EA)r(4E)n 得 r(EA)r(3EA)n (1)当 r(EA)n 时，A3E 为对角阵； (2)当r(3EA)n 时，为对角矩阵； (3)r(EA)n，r(3EA)n，则EA0，3EA0， A 的特征值 1 1， 2 3 1 1 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(EA)nr(EA)； 2 3 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(3EA) 因为 nr(EA)nr(3EA)n，所以 A可相似对角化)解析：26.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 2 2 及 1 2 3 tr(A)10 得 3 6 因为矩阵阵 A
18、有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA)1， 由 2EA 得 a2，b2 1 2 2 代入(XEA)X0， 由 得 1 2 2 对应的线性无关的特征向量为 3 6 代入(EA)X0， 由 6EA 得 3 6 对应的线性无 关的特征向量为 则 P 可逆，且 P 1 AP )解析：27.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 得 t0，当 t0 时，因为 A 的顺序主子式都大于零，所以 A 为正定矩阵 (2)由 得 r(B)2， 因为 A 与 B 等价，所以 r(A)r(B)23，故 t0 (3)C 的特征值为 1 1， 2 3， 3 5， 由EA (1)(3)(t)0 得
19、A 的特征值为 1 1， 2 3， 3 t，故 t5 (4)由ED 0 得 1 20， 2 1 0， 3 1 )解析：28.考虑二次型 f 1 2 4 2 2 4 3 2 2 1 2 2 1 3 4 2 3 ，问 取何值时，f 为正定二次型?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 因为 A 正定，所以 )解析：29.设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 2AO已知 r(A)2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k为何值时，矩阵 AkE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 AXX， 由 A 2 2AO 的( 2 2)X0，注意到 X0，则 2 20， 解得 0 或 2 由 r(A)2 得 1 0， 2 3 2 (2)AkE 的特征值为 k，k2，k2，当 k2 时，AkE 为正定矩阵)解析：30.求二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 的秩，正负惯性指数 p，q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f( 1 ， 2 ， 3 )2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 ， 二次型的矩阵为 A EEA )解析：
