1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 43 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不为零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示D. 1 ， 2 ， s 中有一部分向量线性无关3.设矩阵 A mn ,r(A)=mn,E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )（
2、分数：2.00）A.A 通过初等行变换必可化为E m ，O的形式B.A 的任意 m 阶子式不等于零C.A 的任意 m 个列向量必线性无关D.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多解4.设 （分数：2.00）A.3B.5C.3 或一 5D.5 或-35.设 都是线性方程组 AX=0 的解向量，只要系数矩阵 A 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 （分数：2.00）A.(一 1，1，一 1) TB.(1，2，0) TC.(0，1，1) TD.(2，4，一 1) T7.下列矩阵中，不能相似对角化的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若
3、 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式9.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.设三阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_11.设向量组 （分数：2.00）填空项 1:_12.若线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.若矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_14.设三阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式|2A|=-48，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:
4、_15.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 （分数：2.00）填空项 1:_17.若 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_18.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设线性方程组 （分数：2.00）_21.设四元齐次线性方程组(I)为 （分数：2.00）_22.已知 0 是 （分数：2.00）_23.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，2，3，若 A 与 B 相似，求|B*+E|（分数：2.00）_24.已知二次型 f=2x 1 2 +3x 2
5、2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)，通过正交变换化成标准形 f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 求参数 a 及所用的正交变换矩阵（分数：2.00）_25.设 a 是整数，若矩阵 （分数：2.00）_26.n 阶矩阵 A 满足 A 2 一 2A 一 3E=O，证明 A 能相似对角化（分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.已知 （分数：2.00）_29.考虑二次型 f=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2 一 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 ，问 取何值时，f 为正定二次型?（分数：2.00）_30.设 A 为三阶实对称矩
6、阵，且满足条件 A 2 +2A=O已知 r(A)=2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵（分数：2.00）_31.求二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩，正负惯性指数p，q（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）模拟试卷 43 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.向量组 1
7、， 2 ， s 线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不为零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示 D. 1 ， 2 ， s 中有一部分向量线性无关解析：解析：若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 1 ， 2 ， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示；反之，若 1 ， 2 ， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 线性无关，应选(C)3.设矩阵 A mn ,r(A)=mn,E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )（分数：2
8、.00）A.A 通过初等行变换必可化为E m ，O的形式B.A 的任意 m 阶子式不等于零C.A 的任意 m 个列向量必线性无关D.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多解 解析：4.设 （分数：2.00）A.3B.5C.3 或一 5 D.5 或-3解析：解析：因为 AX=0 的任一非零解都可由 线性表示，所以 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，从而 r(A)=25.设 都是线性方程组 AX=0 的解向量，只要系数矩阵 A 为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 1 ， 2 线性无关，所以 AX=0 的基础解系至少含两个线性无关的解向量，从而r(A)1，
9、6.设 （分数：2.00）A.(一 1，1，一 1) T B.(1，2，0) TC.(0，1，1) TD.(2，4，一 1) T解析：解析：7.下列矩阵中，不能相似对角化的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：8.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩 C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式解析：解析：因为 A 与 B 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T AP=B，从而 r(A)=r(B)，应选(B)9.设 （分数：2.00）A.合同且相似 B
10、.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析：解析：因为 A，B 都是实对称矩阵，且特征值相同，所以 A、B 既相似又合同，应选(A)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.设三阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：因为 A 与 线性相关，所以 A 与 成比例，11.设向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：abc0）解析：解析：由12.若线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 4 一 a 1 +a 2 一 a 3）解析：解析： 13.若矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_
11、（正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 AB=O 得 r(A)+r(B)3， 因为 r(B)1，所以 r(A)2， 又因为矩阵 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=214.设三阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式|2A|=-48，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：|A|=6，由|2A|=8|A|=一 48 得|A|=一 6，解得 =一 115.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由|EA|= 16.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 10）解析：解
12、析：由|EA|= =( 一 1)( 一 2) 2 =0 得 1 =1， 2 = 3 =2， 因为 A 可对角化，所以 r(2EA)=1， 17.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=一 17）填空项 1:_ （正确答案：y=一 12）解析：解析：18.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 = 2 = 3 =2，a=一 5）解析：解析：|EA|= =(-2) 3 =0， 特征值为 1 = 2 = 3 =2， 因为 1 = 2 = 3 =2 只有两个线性无关的特征向量， 所以 r(2EA)=1， 三、解答题(总题数：13，分数：26.00
13、)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设四元齐次线性方程组(I)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.已知 0 是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 为 A 的特征值，所以 解得 a=1 由|EA|= =( 一 2) 2 =0 得 1 =0， 2 = 3 =2 1 =0 代入(EA)X=0， 2 = 3 =2 代入(2EA)X=0， 2 = 3 =2 对应的线性无关的特征向量为 )解析：23.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，2，3
14、，若 A 与 B 相似，求|B*+E|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 B 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3， )解析：24.已知二次型 f=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)，通过正交变换化成标准形 f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 求参数 a 及所用的正交变换矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =5， 由|A|=2(9 一 a 2 )=10 得a=2， 1 =1 代入(EA)X=0， 2 =2 代入(2EA)X=0， 2 =2 对应的线性无关
15、的特征向量为 3 =5 代入(EA)X=0， )解析：25.设 a 是整数，若矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|A*|=4(一 14)(一 14)=28 2 ，由|A*|=|A| 2 得|A|=28 或|A|=一 28 1 =一 7 代入(EA)X=0， 2 = 3 =2 代入(EA)X=0， )解析：26.n 阶矩阵 A 满足 A 2 一 2A 一 3E=O，证明 A 能相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 一 2A 一 3E=0 得(E+A)(3EA)=0，则 r(E+A)+r(3EA)n； 由 r(E+A)+r(3EA)r(4E)=n 得 r(E
16、+A)+r(3EA)=n (1)当 r(E+A)=n 时，A=3E 为对角阵； (2)当 r(3EA)=n时，为对角矩阵； (3)r(E+A)n，r(3EA)n，则|E+A|=0，|3EA|=0， A 的特征值 1 =一 1， 2 =3 1 =一 1 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(一 EA)=n 一 r(E+A)； 2 =3 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(3EA) 因为 n 一 r(E+A)+n 一 r(3EA)=n，所以 A 可相似对角化)解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 = 2 =2 及 1 + 2 + 3 =tr(A)=10 得
17、 3 =6 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA)=1， 1 = 2 =2 代入(EA)X=0， )解析：28.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 得 t0，当 t0 时，因为 A 的顺序主子式都大于零，所以 A 为正定矩阵 因为 A 与 B 等价，所以 r(A)=r(B)=23，故 t=0 (3)C 的特征值为 1 =1， 2 =3， 3 =5， 由|EA|= =( 一 1)( 一 3)(t)=0 得 A 的特征值为 1 =1， 2 =3， 3 =t，故t=5 )解析：29.考虑二次型 f=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2
18、 一 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 ，问 取何值时，f 为正定二次型?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 A 正定，所以 )解析：30.设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 +2A=O已知 r(A)=2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 AX=X， 由 A 2 +2A=O 的( 2 +2)X=0，注意到 X0，则 2 +2=0， 解得 =0 或 =一 2 由 r(A)=2 得 1 =0， 2 = 3 =一 2 (2)A+kE 的特征值为 k，k一 2，k 一 2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵)解析：31.求二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩，正负惯性指数p，q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +2x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 ， )解析：
