1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 48 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同3.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.A=0B.A0C.A0D.以上都不对二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 -2A=O
2、，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ，A 线性无关； (2)若 A 2 +A-6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.00）_7.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_8.设 A，B 为三
3、阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA： (2)存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_9.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_10.设 A= （分数：2.00）_11.设方程组 ，有无穷多个解， 1 = ， 2 = 3 = （分数：2.00）_12.设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T (1
4、)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A（分数：2.00）_13.设 A= （分数：2.00）_14.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_15.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n-1 = n ，A n =0 (1)证明： 1 ， 2 ， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_16.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 k 1 +k 2 ，设 = （分数：2.00）_17.A=
5、（分数：2.00）_18.设 A= （分数：2.00）_19.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_20.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_21.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_22.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_23.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 -2y 3 2 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 = （分数：2
6、.00）_24.设二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_25.设齐次线性方程组 有非零解，且 A= 为正定矩阵，求 a，并求当X= （分数：2.00）_26.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_27.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_考研数学二（
7、线性代数）模拟试卷 48 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解析：显然 A，B 都是实对称矩阵，由E-A=0，得 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =9，由E-B=0，得 B 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =3，因为 A，b 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选(C)3.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三
8、维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.A=0 B.A0C.A0D.以上都不对解析：解析：设二次型 f=X T AX 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + 3 y 3 2 ，其中 Q 为正交矩阵取 Y= 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 -2A=O，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 +y 2 2）解析：解析：A 2 -2A=O r(A)+r(2E-A)=4 三、解答题(总题数：23，分数：46.00)5.解答题
9、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ，A 线性无关； (2)若 A 2 +A-6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 +k 2 A=0，可设 k 2 0，所以 A= )解析：7.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)判断矩阵
10、A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 + 2 + 3 0，由 A( 1 + 2 + 3 )=2( 1 + 2 + 3 )，得 A 的一个特征值为 1 =2； 又由 A( 1 - 2 )=-( 1 - 2 )，A( 2 - 3 )=-( 2 - 3 )，得 A 的另一个特征值为 2 =-1 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 - 2 与 2 - 3 也线性无关，所以 2 =-1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，-1，-1 (2)因为 1 - 2 ， 2 - 3 为属于二重特征值-1 的两个线性无关的
11、特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：8.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA： (2)存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 AB=A-B 得 A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E，即 E-B 与 E+A 互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)，故 AB=BA (2)因为 A 有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，所以 A 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3
12、 ，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，BA( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，AB( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i = i B i ，i=1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 B i = i i ； 若 B i =0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P=(
13、 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 AP，P -1 BP 同为对角阵)解析：9.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且A=B 因为AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，而 A * =AA -1 ，B * =BB -1 ， 于是由 P -1 AP=B，得(P -1 AP) -1 =B -1 ，即 P -1 A -1 P=B -1 ，故 P -1 AA -1 P=AB -1 或 P -1 A * P=
14、B * ，于是 A * B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P -1 AP=B，即 AP=PB. 于是 AP=PBPP -1 =P(BP)P -1 ，故 APBP.)解析：10.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =0，得 1 = 2 =1， 3 =2 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(E-A)=1， 即 a=1，故 由 =1 时，由(E-A)X=0，得 1 = ， 2 = 由 =2 时，由(2E-A)X=0，得 3 = 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= ，则 P -1 AP= ，两边 n 次幂得 P -1
15、 A n P= 从而 A n =P P -1 )解析：11.设方程组 ，有无穷多个解， 1 = ， 2 = 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以 D= =a 2 -2a+1=0，解得 a=1 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= ，则 P -1 AP= 从而 (2)A=2，A * 对应的特征值为 )解析：12.设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A
16、 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有特征值 2 =5，对应的特征向量为 又因为 Ax=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 ，根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为 (2)令 P= ，P -1 = ，由 P -1 AP= ，得 )解析：13.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，A=B，即 解得 a=1，b=0，则 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1 =1， 2 =0， 3 =6 当 =1 时，由(E-A)X=0，得 1 = 当 =0 时，
17、由(0E-A)X=0，得 2 = 当 =6 时，由(6E-A)X=0，得 3 = 令 再令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：14.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值，A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解； B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解，因为 r(A)+r(B)n，所以方程组 )解析：15.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n
18、 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n-1 = n ，A n =0 (1)证明： 1 ， 2 ， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，则 x 1 A 1 +x 2 A 2 +x n A n =0 x 1 2 +x 2 3 +x n-1 n =0 x 1 A 2 +x 2 A 3 +x n-1 A n =0 x 1 3 +x 2 4 +x n-2 n =0 x 1 n =0 因为 n 0，所以 x 1 =0，反推可得 x 2 =x n =0，所以 1 ，
19、2 ， n 线性无关 (2)A( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n ) ，令 P=( 1 ， 2 ， n )，则 P -1 AP= =B，则 A 与 B 相似，由E-B=0 )解析：16.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 k 1 +k 2 ，设 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有一个特征值为 1 =5，其对应的特征向量为 1 = ，A 1 =5 1 又 AX=0 的通解为 k 1 +k 2 ，则 r(A)=1 2 = 3 =0，其对应的特征向量为 2 = ， 3 = ，A 2 =0，A
20、 3 =0 令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，解得 x 1 =8，x 2 =-1，x 3 =-2，则 A=8A 1 -A 2 -2A 3 =8A 1 = )解析：17.A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-B=0，得 1 =-1， 2 =1， 3 =2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1 =-1， 2 =1， 3 =2 由 tr(A)= 1 + 2 + 3 ，得 a=1，再由A=b= 1 2 3 =-2，得 b=-2，即 由(-E-A)X=0，得 1 =(1，1，0) T ； 由(E-A)X=0，得 2 =(-2，1，1) T ； 由(2E-A)X=0，得 3
21、=(-2，1，0) T ， 令 P 1 = ，则 P 1 -1 AP 1 = 由(-E-B)X=0，得 1 =(-1，0，1) T ； 由(E-B)X=0，得 2 =(1，0，0) T ； 由(2E-B)X=0，得 3 =(8，3，4) T ， 令 P 2 = ，则 P 2 BP 2 = 由 P 1 -1 AP 1 =P 2 -1 BP 2 ，得(P 1 P 2 -1 ) -1 AP 1 P 2 -1 =B， 令P=P 1 P 2 -1 = )解析：18.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E-A= =(+a-1)(-a)(-a-1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1 =1-a，
22、 2 =a， 3 =1+a (1)当 1-aa，1-a1+a，a1+a，即 a0 且 a 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1 =1-a 时，由(1-a)E-AX=0 得 1 = ； 2 =a时，由(aE-A)X=0 得 2 = ； 3 =1+a 时，由(1+a)E-AX=0 得 3 = P= ，P -1 AP= (2)当 a=0 时， 1 = 3 =1，因为 r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3)当 a= 时， 1 = 2 = ，因为 =2，所以方程组 )解析：19.设 A 为 mn
23、阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的 X0，X T (A T A)X=(AX) T (AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以(AX) T (AX)= T = 2 0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型，A T A 为正定矩阵，所以 A T A 的特征值全大于零)解析：20.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T =A，因为(P T AP) T =
24、P T A T (P T ) T =P T AP，所以 P T AP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T (P T AP)X=(PX) T A(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为A 为正定矩阵，所以 T A0，即 X T (P T AP)X0，故 X T (P T AP)X 为正定二次型，于是 P T AP为正定矩阵)解析：21.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 A T =A，对任意的 X0，X T AX=(PX) T (PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以PX0，于是 X T AX=(PX) T
25、(PX)=PX 2 0，即 X T AX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵)解析：22.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 正定，所以 A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即 A+B 为对称矩阵 对任意的 X0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 X T AX0，X T BX0，因此 X T (A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵)解析：23.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 -2y 3 2 ，且 A
26、* +2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f=X T AX 经过正交变换后的标准形为 f=y 1 2 +y 2 2 -2y 3 2 ，所以矩阵 A的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-2由A= 1 2 3 =-2 得 A * 的特征值为 1 = 2 =-2， 3 =1，从而 A * +2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A * +2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为A 的属于特征值 3 =-2 的特征向量 令 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 = ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1 T =0，即 x 1 +
27、x 3 =0 故矩阵 A 的属于 1 = 2 =1 的特征向量为 2 = ， 3 = 令 P=( 2 ， 3 ， 1 )= ，由 P -1 AP= ，得 A=P P -1 = ，所求的二次型为 f=X T AX= x 1 2 +x 2 2 - )解析：24.设二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f=2x 1 +2x 2 +ax 3 +2x 1 x 2
28、+2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 的矩阵形式为 f=X T AX 其中 A= ，因为 Q T AQ=B= ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A的特征值为 1，1，4 而E-A= 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)=(-1) 2 (-4)，解得 a=2，b=1当 1 = 2 =1 时，由(E-A)X=0 得 1 = ， 2 = 由 3 =4 时，由(4E-A)X=0 得 3 = 显然 1 ， 2 ， 3 两两正交，单位化为 )解析
29、：25.设齐次线性方程组 有非零解，且 A= 为正定矩阵，求 a，并求当X= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a-3)=0，即 a=-1 或 a=0 或 a=3因为A 是正定矩阵，所以 a ij 0(i=1，2，3)，所以 a=3当 a=3 时，由 E-A= =(-1)(-4)(-10)=0 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 f=X T AX =y 1 2 +4y 2 2 +10y 3 2 10(y 2 2 +y 2 2 +y 3 2 ) 而当X= 时 y 1 2 +y 2 2 +y 3 2
30、=T T Y=Y T Q T QY=(QY) T (QY)=X T X=X 2 =2 所以当X= 时，X T AX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y 1 =y 2 =0，y 3 = )解析：26.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 所对应的二次型为 f=X T AX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=X T AX )解析：27.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(B T AB) T =B T A T (B) T =B T AB，所以 B T AB 为对称矩阵，设 B T AB 是正定矩阵，则对任意的 X0，X T B T ABX=(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 反之，设 r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0，因为 A 为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)0，所以 B T AB 为正定矩阵)解析：
