1、考研数学二（线性方程组）-试卷 10 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解3.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（
2、分数：2.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 Xk(0，-1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4D. 3 ， 45.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 A
3、X=0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1D. 1 + 2 + 3 ，2 1 -3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 -5 36.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 为 n 阶矩阵，A
4、 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1，则方程组 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki 0，则 Ax=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则志 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 +
5、2 = （分数：2.00）填空项 1:_13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.求方程组 （分数：2.00）_17.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出 （分数：2.00）_20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 Ax=0 的一个基础解系
6、（分数：2.00）_设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_21.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_22.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(
7、A)=3，设 1 + 2 = 2 + 3 = （分数：2.00）_23.A nn ( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解?（分数：2.00）_设 1 = （分数：4.00）(1).a，b 为何值时， 不能表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：2.00）_(2).a，b 为何值时， 可唯一表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：2.00）_设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1 +2
8、 2 +(n-1) n-1 =0，b= 1 + 2 + n（分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_24.设 A= （分数：2.00）_25.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_设 A= （分数：4.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T X=b 的解；（分数：2.00）_(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a，求 A T X=b 的通解（分数：2.00）_26.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证
9、明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s )（分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）-试卷 10 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无
10、穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解 解析：解析：方程组 无解，故(A)不对； 方程组 无解，故(B)不对； 方程组 只有零解，故(C)不对； 若 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)=3.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解 解析：解析：因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵)，则4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ，
11、 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 Xk(0，-1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4 D. 3 ， 4解析：解析：因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)3，于是 r(A * )1 因为 A * A=AE=O，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A * X=0 的一组解， 又因为- 2 +3 3 =0，所以 2 ， 3 线性相关，从而 1 ， 2 ， 4 线性无关，即为 A * X=0 的一个基础解系，应选(C)5.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程
12、组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 -3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 -5 3解析：解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)6.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解
13、，则方程组 AX=b 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选(D)，因为 1 ， 1 + 2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AX=0 有非零解，所以A=0， 而A= =-(a+4)(a-b)且 a0，所以 a=-4 因为 r(A)=2，所以 r(A * )=1 因为 A * A=AE=O，所以 A 的列向量组为 A * X=0 的解， 故 A * X=0的通解为 X=C 1 8.设 A 为 n 阶矩阵，A 的
14、各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1，则方程组 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：k(1，1，1) T ，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 A =0，又因为 r(A)=n-1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 k 9.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki 0，则 Ax=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T）解析：解析：因为A=0，所以 r(A)n，又因为 A ki 0，所以 r(A * )1，从而
15、 r(A)=n-1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA * =AE=O，所以 A * 的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为 C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数)10.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则志 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 +k 2 +k s =1）解析：解析：k 1 +k 2 +k s =1显然 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是
16、 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=b，因为 A 1 =A 2 =A s =b，所以(k 1 +k 2 +k s )b=b，注意到 b0，所以 k 1 +k 2 +k s =1，即 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是 k 1 +k 2 +k s =111.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：令 A=12.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = （分数
17、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 = 3 - 1 =( 2 + 3 )-( 1 + 2 )= 13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：因为方程组无解，所以 r(A) 3，于是 r(A)3，即A=0由A=3+2a-a 2 =0，得 a=-1 或 a=3当 a=3 时，因为 =23，所以方程组有无穷多个解； 当 a=-1 时， 14.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =0）解析：解析：
18、 因为原方程组有解，所以 r(A)= 三、解答题(总题数：16，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.求方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 方法一 原方程组的同解方程组为 故原方程组的通解为 (其中x 3 ，x 4 ，x 5 为任意常数) 方法二 原方程组的基础解系为 1 = )解析：17.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 若 a=1，则 A ，原方程组的通解为 X=k(-1，0，1) T +(2，-1，0)(k 为任意常数)； 若 a1，则 A 当 a=2 时，方程组无解； 当 a=-2
19、时，A )解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组至少有三个线性无关解，所以 4-r(A)+13，即 r(A)2，则 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k 1 ( 2 - 1 )+k 2 ( 3 - 1 )+ 1 =k 1 )解析：19.，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 Ax=0 的一个基础解系（分数：2
20、.00）_正确答案：(正确答案：方法一 AX=0 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0，由 3 =3 1 +2 2 可得(x 1 +3x 3 ) 1 +(x 2 +2x 3 ) 2 =0， 因为 1 ， 2 线性无关，因此 方法二 由 r(A)=2可知 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 3 1 +2 2 - 3 =0， 因此 = )解析：设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_正
21、确答案：(正确答案：因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 线性相关，即 )解析：(2).求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k 1 (1，-2，1，2) T +k 2 (1，0，5，2) T +k 3 (-1，2，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数)解析：21.设
22、 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 3 ， 5 线性无关，又 2 ， 4 可由 1 ， 3 ， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 得方程组 AX=0 的两个解为 1 =(3，-1，-1，0，-1)1 T ， 2 =(2，0，1，-1，6) T 故 AX=0 的通解
23、为 k 1 (3，-1，-1，0，-1) T +k 2 (2，0，1，-1，6) T (k 1 ，k 2 为任意常数)解析：22.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 1 + 2 = 2 + 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 为 AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质， =( 2 + 3 )-( 1 + 2 )= 3 - 1 = 所以方程组 AX=b 的通解为 k )解析：23.A nn ( 1 ， 2 ， n )，B
24、nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 B=( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )=( 1 ， 2 ， n ) 由 r(A)=n 可知A0，而B=A =A1+(-1) n+1 ， 当 n 为奇数时，B0，方程组 BX=0 只有零解； 当 n 为偶数时，B=0，方程组 BX=0 有非零解 方法二 BX=0 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x n ( n + 1 )=0 (x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x n-
25、1 +x n ) n =0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关， 所以 )解析：设 1 = （分数：4.00）(1).a，b 为何值时， 不能表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = (*) 当 a=-1，b0 时，因为 r(A)=2 )解析：(2).a，b 为何值时， 可唯一表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a-1 时， 可唯一表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合)解析：设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n
26、 )的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，b= 1 + 2 + n（分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=n-1，又 b- 1 + 2 + n ，所以 =n-1，即 r(A)= )解析：(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，所以 1 +2 2 +(n-1) n-1 +0 n =0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n-1，0) T ， 又因为
27、b= 1 + 2 + n ，所以方程组 AX=b 有特解 =(1，1，1) T ， 故方程组 AX=b 的通解为 k+=k(1，2，n-1，0) T +(1，1，1) T (k 为任意常数)解析：24.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 因为 r(A)=2，所以 t=1，方程组的通解为 X=k 1 )解析：25.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D= =a(A-b) (1)当 A0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 (2)当 A=0 时， 因为 r(A) ，所以方程组无解； (3)当 a-b0 时， 方程组有无穷多个解，通解为
28、X=k )解析：设 A= （分数：4.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T X=b 的解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D=A T =(a 4 -a 1 )(a 4 -a 2 ) (a 4 -a 3 )(a 3 -a 1 )(a 3 -a 2 )(a 2 -a 1 )， 若 a i a j (ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D 1 =D 2 =D 3 =0，D 4 =D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T .)解析：(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a，求 A T X=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a 时， )解析：26.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1 ，+ s 线性无关，故方程组 BY=0 只有零解)解析：
