1、考研数学二（线性方程组）-试卷 1 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.要使 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 （分数：2.00）A. 4 ， 5 B. 2 ， 3 C. 2 ， 4 D. 1 ， 3 4.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.如 mn，则 Ab 有无穷多解B.如 A0 只有零解，则 Ab 有唯一解C.如 A 有 n 阶子式不为零，则 A0 只有零解D.Ab 有
2、唯一解的充要条件是 r(A)n5.非齐次线性方程组 Ab 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则正确命题是（分数：2.00）A.rm 时，方程组 Ab 有解B.rn 时，方程组 Ab 有唯一解C.mn 时，方程组 Ab 有唯一解D.rn 时，方程组 Ab 有无穷多解6.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 A0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 B. 1 ， 2 ， 3 4 ， 3 4 C. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等价向量组D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等秩的向
3、量组7.设 A 是 54 矩阵，A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 (1，1，2，1) T ， 2 (0，1，0，1) T 是 A0 的基础解系则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 2 ， 4C. 2 ， 3D. 1 ， 28.AX0 和 BX0 都是 n 元方程组，下列断言正确的是( )（分数：2.00）A.AX0 和 BX0 同解B.AX0 的解都是 BX0 的解C.AX0 的解都是 BX0 的解D.r(A)r(B)9.设 A 是 mn 矩阵，r(A)r则方程组 AX（分数：2.00）A.在 rm 时有解B.在 mn 时有唯一解C.在
4、rn 时有无穷多解D.f二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.四元方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.四元方程组 Ab 的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 (1，1，1，1) T ， 2 3 (2，3，4，5) T ，如 r(A)3，则方程组 Ab 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.求齐次方程组 （分数：2.00）_16.求线性方程组 （分
5、数：2.00）_17.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_18.设线性方程组 （分数：2.00）_19.已知 a，b，c 不全为零，证明方程组 （分数：2.00）_20.设 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ab 对任何 b 都有解的充分必要条件是A0（分数：2.00）_21.证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系（分数：2.00）_22.已知(1，0，2) T ，(1，4，b) T 构成齐次线性方程组 （分数：2.00）_23.求此齐次方程组的一个基础解系和通解 （分数：2.00）_24.讨论 p，t 为何值时，方程组 （分数：2.00）_25.已知线性方程组 AX
6、存在两个不同的解求 ，a求 AX 的通解 （分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.已知齐次方程组为 其中 （分数：2.00）_28.设 n1，n 元齐次方程组 AX0 的系数矩阵为 A （分数：2.00）_29.已知线性方程组 （分数：2.00）_30.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_31.已知 (0，1，0) T 是方程组 （分数：2.00）_32.设线性方程组为 （分数：2.00）_33.设非齐次方程组 AX 有解 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 (1，2，3，4) T ， 2 3 (0，1，2，3) T ，r(a)3求通解（分数：2.00）_考研数学二（线性方程
7、组）-试卷 1 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.要使 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于 A已有 2 个线性无关的解，故 nr(A)2，即 r(A)1所以选项 B、D 的秩不符合题目要求 1 不是选项 C 中方程的解，因而 1 不是选项 C 的解用排除法应选 A3.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 （分数：2.00）A. 4 ， 5 B. 2 ， 3 C. 2 ， 4 D. 1 ， 3 解析：解析：自由未知量选择的
8、原则是：其他未知量可用它们唯一确定如果选择 4 ， 5 ，对应齐次方程组写作 4.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.如 mn，则 Ab 有无穷多解B.如 A0 只有零解，则 Ab 有唯一解C.如 A 有 n 阶子式不为零，则 A0 只有零解 D.Ab 有唯一解的充要条件是 r(A)n解析：5.非齐次线性方程组 Ab 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则正确命题是（分数：2.00）A.rm 时，方程组 Ab 有解 B.rn 时，方程组 Ab 有唯一解C.mn 时，方程组 Ab 有唯一解D.rn 时，方程组 Ab 有无穷多解解析：6.已知
9、 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 A0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 B. 1 ， 2 ， 3 4 ， 3 4 C. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等价向量组D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等秩的向量组解析：解析：向量组(A)线性相关，选项 A 不正确 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 2 ，与 1 ， 2 ， 3 ， 4 等价但前者线性相关，故选项 C 不正确 等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故选项 D 不正确 因此本题选 B7.设 A 是 54 矩阵，A( 1 ，
10、 2 ， 3 ， 4 )，若 1 (1，1，2，1) T ， 2 (0，1，0，1) T 是 A0 的基础解系则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 2 ， 4C. 2 ， 3 D. 1 ， 2解析：解析：由 A0，知 1 2 2 3 4 0 由 A 2 0，知 2 4 0 因为 nr(A)2，故必有 r(A)2所以可排除选项 D 由知， 2 ， 4 线性相关故应排除选项 B 把代入得 1 2 3 0，即 1 ， 3 线性相关，排除选项 A 如果 2 ， 3 线性相关，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )r(2 3 ， 2 ， 3 ， 2 )r(
11、2 ， 3 )1 与 r(A)2 相矛盾所以选 C8.AX0 和 BX0 都是 n 元方程组，下列断言正确的是( )（分数：2.00）A.AX0 和 BX0 同解B.AX0 的解都是 BX0 的解C.AX0 的解都是 BX0 的解 D.r(A)r(B)解析：解析：AX0 和 BX0 同解 r(A)r(B)，但 r(A)r(B)推不出 AX0 和 BX0 同解，排除 A项 AX0 的解都是 BX0 的解，则 AX0 的解集合 0 的解集合，于是 nr(A)nr(B)，即 r(A)r(B)选项 C 对，选项 B 不对 nr(A)nr(B)推不出 AX0 的解集合9.设 A 是 mn 矩阵，r(A)
12、r则方程组 AX（分数：2.00）A.在 rm 时有解 B.在 mn 时有唯一解C.在 rn 时有无穷多解D.f解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：对增广矩阵作初等行变换，有 当 a5 时，r(A)r(11.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 且 *）解析：12.四元方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0，1，0) T ，(1，1，0，1) T ）解析：解析：nr(A)422取 3 ， 4 为自由变量： 令 3 1， 4 0
13、得 2 0， 1 0；令 3 0， 4 1 得 2 1， 1 1，所以基础解系是(0，0，1，0) T ，(1，1，0，1) T 13.四元方程组 Ab 的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 (1，1，1，1) T ， 2 3 (2，3，4，5) T ，如 r(A)3，则方程组 Ab 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1，1) T k(0，1，2，3) T ）解析：解析：由( 2 3 )2 1 ( 2 1 )( 3 1 )(2，3，4，5) T 2(1，1，1，1) T (0，1，2，3) T ，知(0，1，2，3) T 是 A0 的解 又秩
14、r(A)3，nr(A)1，所以 Ab 的通解是(1，1，1，1) T k(0，1，三、解答题(总题数：20，分数：40.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.求齐次方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对系数矩阵作初等变换，有 )解析：16.求线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 )解析：17.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 ()当 a0，且 b3 时，方程组有唯一解 ()当 a0 时， b 方程组均无解 ()当 a0，
15、b3 时，方程组有无穷多解( )解析：18.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(1，1，1，1) T 代入方程组得 现在方程组已有了一个解，只用再求导出组的基础解系对系数矩阵作初等行变换，有 ()当 时，A 因 r(A)24，所以方程组有无穷多解 (1，1，1，1) T k 1 (1，3，1，0) T k 2 (1，2，0，2) T ()当 时，A )解析：19.已知 a，b，c 不全为零，证明方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为系数行列式 )解析：20.设 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ab 对任何 b 都有解的充分必要条件是A0（分数：2.00）
16、_正确答案：(正确答案：必要性对矩阵 A 按列分块 A( 1 ， 2 ， n )，则 b，Ab 有解 1 ， 2 ， n 可表示任何 n 维向量 b 1 ， 2 ， n 可表示 e 1 (1，0，0，0) T ，e 2 (0，1，0，0) T ， ，e n (0，0，0，1) T ( 1 ， 2 ， n )r(e 1 ，e 2 ，e e )n r(A)n 所以A0 充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 )解析：21.证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A0 的基础解系是 1 ， 2 ， t 若 1 ， 2 ， s 线
17、性无关， 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， t 等价 由于 j (j1，2，s)可以由 1 ， 2 ， t 线性表示，而 i (i1，t)是 A0 的解，所以 j (j1，2，s)是 A0 的解 因为 1 ， 2 ， t 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， t )t，又 1 ， 2 ， t 与 1 ， 2 ， s 等价，所以 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， t )t又因 1 ， 2 ， s 线性无关，故 st 因此 1 ， 2 ， t 是 A0 的基础解系)解析：22.已知(1，0，2) T ，(1，4，b) T 构成齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确
18、答案：此齐次线性方程组的基础解系包含 2 个解，未知数有 3 个，则系数矩阵 的秩为 1，立刻得到 s2，t1于是方程组为 )解析：23.求此齐次方程组的一个基础解系和通解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵 则系数矩阵的秩为 2，小于未知数个数 5，此齐次方程组有非零解 进一步把阶梯形矩阵化简单阶梯形矩阵： 选定自由未知量 2 ， 4 ， 5 ，用它们表示出待定未知量，得到同解方程组： )解析：24.讨论 p，t 为何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵 于是，当 t2 时，有r(A)r(A)
19、，此时方程组无解 当 t2 时(p 任意)，r(A)r(A)34，此时有无穷多解 当 t2，P8 时， 得同解方程组 令 3 4 0，得一特解(1，1，0，0) T 导出组有同解方程组 对 3 ， 4 赋值得基础解系(4，2，1，0) T ，(1，2，0，1) T 此时全部解为(1，1，0，0) T c 1 (4，2，1，0) T c 2 (1，2，0，1) T ，其中 c 1 ，c 2 可取任何数 当 t2，P8 时， 得同解方程组 令 4 0，得一特解(1，1，0，0) T 导出组有同解方程组 )解析：25.已知线性方程组 AX 存在两个不同的解求 ，a求 AX 的通解 （分数：2.00）
20、_正确答案：(正确答案：AX 存在两个不同的解(即有无穷多个解) (A)r(A)3用矩阵消元法： 则 1a10，而 10(否则第二个方程为 01，无解)得1，a2 (B) 得 AX 的同解方程组 )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把增广矩阵用第 3 类初等行变换化阶梯形 AB1a 4 AXB 有无穷多解的条件是 1a 4 aa 2 0，即 a1 此时(B) )解析：27.已知齐次方程组为 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)用矩阵消元法设系数矩阵为 A，A 第 1 至(n1)行各减去第 n 行： 如果 b0，则 r(A)1，此时有非零解 当 b0 时
21、，继续对 B 作初等行变换：1 至 n1 行都除以 b，再把第 i 行的a i 倍加到第 n 行上(1in1)， 则当 b a i 时，r(A)n1，此时也有非零解 如果 b0 且 b a i ，则 r(A)n，此时只有零解 (2)在 b0 时求 AX0 的基础解系：此时 AX0 与方程 a 1 1 a 2 2 a 3 3 a n n 0，同解由于 a i 0，a 1 ，a 2 ，a n 不全为 0 不妨设 a n 0，规定 1 (a n ，0，0，a 1 ) T ， 2 (0，a n ，0，a 2 ) T ， n-1 (0，0，a n ，a n-1 ) T ， 则 1 ， 2 ， n-1 是
22、 n1 个线性无关的解，构成 AX0 的基础解系 在 b a i 时， C )解析：28.设 n1，n 元齐次方程组 AX0 的系数矩阵为 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)用矩阵消元法，把第 n 行除以 n 移到第一行，其他行往下顺移，再第 i 行减第一行的 i 倍(i1) a0 时 r(A)1，有非零解 下面设 a0，对右边的矩阵继续进行行变换：把第 2 至 n 各行都除以 a，然后把第 1 行减下面各行后换到最下面，得 )解析：29.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1，1，1，1) T 代入方程组，可得到 ，但是不能求得它们的值 (1)此方程
23、组已有了特解(1，1，1，1) T ，只用再求出导出组的基础解系就可写出通解对系数矩阵作初等行变换： A B 如果 210，则 B (1，3，1，0) T 和(12，1，0，1) T 为导出组的基础解系，通解为 (1，1，1，1) T c 1 (1，3，1，0) T c 2 (12，1，0，1) T ，c 1 ，c 2 任意 如果 210，则用 21 除 B 的第三行： )解析：30.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 1 ， 2 ， 3 是 AX 的 3 个线性无关的解，则， 2 1 ， 3 1 是 AX0 的 2 个线性无关的解于是 AX0 的解集合的
24、秩不小于 2，即 4r(A)2，r(A)2， 又因为 A 的行向量是两两线性无关的，所以 r(A)2 两个不等式说明了 r(A)2 (2)(A) 由 r(A)2，得出 a2，b3 代入后继续作初等行变换化简单阶梯形矩阵： 得同解方程组 )解析：31.已知 (0，1，0) T 是方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 (0，1，0) T 代入方程组可求得 b1，d3，但是 a 和 c 不能确定于是要对它们的取值对解的影响进行讨论 记系数矩阵为 A看 r(A)，一定有 r(A)2(因为 1，2 两行无关) A 则当 ac3 时 r(A)3，则方程组唯一解 则当 ac3 时 r(A)2
25、，有方程组有无穷多解，并且它的导出组有同解方程组 )解析：32.设线性方程组为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于 (a 2 a 1 )(a 3 a 1 )(a 4 a 1 )(a 3 a 2 )(a 4 a 2 )(a 4 a 3 ) 于是，当 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 两两不同时，增广矩阵的行列式不为 0，秩为 4，而系数矩阵的秩为 3因此，方程组无解 如果 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 不是两两不同，则相同参数对应一样的方程于是只要看有几个不同，就只留下几个方程 如果有 3 个不同，不妨设 a 1 ，a 2 ，
26、a 3 两两不同，a 4 等于其中之一，则可去掉第 4 个方程，得原方程组的同解方程组 它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a 2 a 1 )(a 3 a 1 )(a 3 a 2 )0，因此方程组唯一解 如果不同的少于有 3 个，则只用留下 2 个或 1 个方程，此时方程组无穷多解 (2)此时第 3，4 两个方程分别就是第 1，2 方程，可抛弃，得 (1，1，1) T 和(1，1，1) T 都是解，它们的差(2，0，2) T 是导出组的一个非零解本题未知数个数为 3，而系数矩阵 )解析：33.设非齐次方程组 AX 有解 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 (1，2，3，4) T ， 2 3 (0，1，2，3) T ，r(a)3求通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 是 AX 的一个特解，只用再找 AX0 的基础解系从解是 4 维向量知，AX 的未知数个数 n4r(A)3，于是，它的 AX0 的基础解系由 1 个非零解构成 由解的性质，2 1 ( 2 3 )(2，3，4，5) T 是 AX0 的解于是，AX 的通解为 (1，2，3，4) T c(2，3，4，5) T ，c 可取任何常数)解析：
