1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 18及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是 mn阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX0 只有零解，则方程组 AXb 有唯一解B.若方程组 AX0 有非零解，则方程组 AXb 有无穷多个解C.若方程组 AXb 无解，则方程组 AX0 一定有非零解D.若方程组 AXb 有无穷多个解，则方程组 AX0 一定有非零解3.设 A是 mn阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若
2、mn，则方程组 AXb 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AXb 一定有唯一解C.若 r(A)n，则方程组 AXb 一定有唯一解D.若 r(A)m，则方程组 AXb 一定有解4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX0 的通解为 Xk(0，1，3，0) T ，则 A * X0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4D. 3 ， 45.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A
3、. 1 2 ， 2 3 ， 3 1B. 1 2 ， 2 3 ， 1 2 2 3C. 1 2 2 ，2 2 3 3 ，3 3 1D. 1 2 3 ，2 1 3 2 22 3 ，3 1 5 2 5 36.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AXb 的两个不同解，则方程组 AXb 的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 1 k 2 ( 1 2 ) B.k 1 1 k 2 ( 1 2 ) C.k 1 1 k 2 ( 1 2 ) D.k 1 1 k 2 ( 1 2 ) 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 A （分数：2.00）填空项
4、1:_8.设 A为 n阶矩阵，A 的各行元素之和为 0且 r(A)n1，则方程组 AX0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A为，2 阶矩阵，且A0，A ki 0，则 AX0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AXb 的一组解，则 k 1 1 k s s 为方程组AXb 的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AXb 的三个解向量，r(A)3，且 1
5、2 ， 2 3 （分数：2.00）填空项 1:_13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.求方程组 （分数：2.00）_17.参数 n取何值时，线性方程组 （分数：2.00）_18.设 为 （分数：2.00）_19.，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出 （分数：2.00）_20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 3 1 2 2 ，A( 1 ， 2 ， 3 )，求 A
6、X0 的一个基础解系（分数：2.00）_21.设 A是 34阶矩阵且 r(A)1，设(1，2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(1，2，0，1) T ，(2，4，3，a1) T 皆为 AX0 的解 (1)求常数 a； (2)求方程组 AX0 的通解（分数：2.00）_22.设 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 3 1 3 5 ， 4 2 1 3 6 5 ，求方程组 AX0 的通解（分数：2.00）_23.四元非齐次线性方程组 AXb 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)3，设 1 2 2 3 （分数：2.00）_24.
7、A nn ( 1 ， 2 ， n )，B nn ( 1 2 ， 2 3 ， n 1 )，当 r(A)n 时，方程组 BX0 是否有非零解?（分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.设 n阶矩阵 A( 1 ， 2 ， n )的前 n1 个列向量线性相关，后 n1 个列向量线性无关，且 1 2 2 (n1) n-1 0，b 1 2 n (1)证明方程组 AXb 有无穷多个解； (2)求方程组 AXb 的通解（分数：2.00）_27.设 A （分数：2.00）_28.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_29.设 （分数：2.00）_30.设向量组 1 ， 2 ， s
8、 为齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY0 只有零解，其中 B(， 1 ， s )（分数：2.00）_31.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）模拟试卷 18答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A是 mn阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX0 只有零解，则方程组 AXb 有唯一解B.若方程组 AX0 有非零解，则方程组 AXb 有无穷多个解C.
9、若方程组 AXb 无解，则方程组 AX0 一定有非零解D.若方程组 AXb 有无穷多个解，则方程组 AX0 一定有非零解 解析：解析：方程组 只有零解，而 无解，故 A项不对； 方程组 有非零解，而 无解，故 B项不对； 方程组 无解，但 0 只有零解，故 C项不对； 若 AXb 有无穷多个解，则 r(A)r(3.设 A是 mn阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 mn，则方程组 AXb 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AXb 一定有唯一解C.若 r(A)n，则方程组 AXb 一定有唯一解D.若 r(A)m，则方程组 AXb 一定有解 解析：解析：因为若 r(A)m
10、(即 A为行满秩矩阵)，则 r( )m，于是 r(A)r(4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX0 的通解为 Xk(0，1，3，0) T ，则 A * X0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4 D. 3 ， 4解析：解析：因为 AX0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)3，于是 r(A * )1 因为 A * AAEO，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A * X0 的一组解， 又因为 2 3 3 0，所以 2 ， 3 线性相关，从而 1 ，
11、2 ， 3 线性无关，即为 A * X0 的一个基础解系，应选 C5.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1B. 1 2 ， 2 3 ， 1 2 2 3C. 1 2 2 ，2 2 3 3 ，3 3 1 D. 1 2 3 ，2 1 3 2 22 3 ，3 1 5 2 5 3解析：解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX0 的解向量组，容易验证四组中只有选项 C组线性无关，所以选 C6.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX0 的基础解系， 1 ，
12、 2 为非齐次线性方程组 AXb 的两个不同解，则方程组 AXb 的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 1 k 2 ( 1 2 ) B.k 1 1 k 2 ( 1 2 ) C.k 1 1 k 2 ( 1 2 ) D.k 1 1 k 2 ( 1 2 ) 解析：解析：选 D，因为 1 ， 1 2 为方程组 AX0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：X ）解析：解析：因为 AX0 有非零解，所以A0， 而A (a4)(a6)且 a0，所以a4 因为 r(A)2，所以 r(A * )1
13、 因为 A * AAEO，所以 A的列向量组为 A * X0 的解， 故 A * X0 的通解为 X 8.设 A为 n阶矩阵，A 的各行元素之和为 0且 r(A)n1，则方程组 AX0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(其中 k为任意常数)）解析：解析：k(1，1，1) T ，其中 k为任意常数因为 A的各行元素之和为零，所以 0， 又因为 r(A)n1， 所以 为方程组 AX0 的基础解系，从而通解为 9.设 A为，2 阶矩阵，且A0，A ki 0，则 AX0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C(A k1 ，A k2
14、，A ki ，A kn ) T (C为任意常数)）解析：解析：因为A0，所以 r(A)n，又因为 A ki 0，所以 r(A * )1，从而 r(A)n1，AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA * AEO，所以 A * 的列向量为方程组 AX0 的解向量，故 AXO的通解为 C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C为任意常数)10.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AXb 的一组解，则 k 1 1 k s s 为方程组AXb 的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 k 2 k s 1）解析：解析：k 1 k
15、 2 k s 1显然 k 1 1 k 2 2 k s s 为方程组 AXb 的解的充分必要条件是 A(k 1 2 k 2 2 k s s )b，因为 A 1 A 2 A s b，所以(k 1 k 2 k s )bb，注意到 b0，所以 k 1 k 2 k s 1，即 k 1 1 k 2 2 k s s 为方程组 AXb 的解的充分必要条件是是 k 1 k 2 k s 111.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：令 A12.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX
16、b 的三个解向量，r(A)3，且 1 2 ， 2 3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 r(A)3，所以方程组 AXb 的通解为 k， 其中 3 1 ( 2 3 )( 1 2 ) ， 于是方程组的通解为 13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为方程组无解，所以 r(A)r( )3，于是 r(A)3，即A0由A32aa 2 0，得 a1 或 a3 当 a一 3时，因为 A r(A)r( )23，所以方程组有无穷多个解； 当 a1 时， 因为 r(A)r( 14.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:
17、_ （正确答案：正确答案：a 1 a 2 a 3 a 4 0）解析：解析： 因为原方程组有解，所以 r(A)r( 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.求方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 原方程组的同解方程组为 故原方程组的通解为 )解析：17.参数 n取何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 若 a1，则 原方程组的通解为 Xk(1，0，1) T (2，1，0)(志为任意常数)； 若 a1，则 当 a2 时，方程组无解； 当 a2 时， )解析：18.设 为 （
18、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A ，因为 A有两行不成比例，所以，r(A)2，又原方程组至少有三个线性无关解，所以 4r(A)13，即 r(A)2，则 r(A)2，于是原方程组的通解为 k 1 ( 2 1 )k 2 ( 3 1 ) 1 )解析：19.，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 3 1 2 2 ，A( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)2 可知 AX0 的基础解
19、系含有一个线性无关的解向量，而 3 1 2 2 3 0， 因此 )解析：21.设 A是 34阶矩阵且 r(A)1，设(1，2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(1，2，0，1) T ，(2，4，3，a1) T 皆为 AX0 的解 (1)求常数 a； (2)求方程组 AX0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 r(A)1，所以方程组 AX0 的基础解系含有三个线性无关的解向量， 故(1，2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(1，2，0，1) T ，(2，4，3，a1) T 线性相关，即 )解析：22.设 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其
20、中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 3 1 3 5 ， 4 2 1 3 6 5 ，求方程组 AX0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 3 ， 5 线性无关，又 2 ， 4 可由 1 ， 3 ， 5 线性表示，所以 r(A)3，齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 3 1 3 5 ， 4 2 1 3 6 5 得方程组 AX0 的两个解为 1 (3，1，1，0，1) T ， 2 (2，0，1，1，6) T 故 AX0 的通解为 k 1 (3，1，1，0，1) T k 2 (2，0，1，1，6) T (k 1 ，k 2 为任意常数)解析
21、：23.四元非齐次线性方程组 AXb 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)3，设 1 2 2 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)3，所以方程组 AXb 的通解形式为 k，其中 为 AX0 的一个基础解系， 为方程组 AXb 的特解，根据方程组解的结构的性质， ( 2 3 )( 1 2 ) 3 1 所以方程组 Axb 的通解为 )解析：24.A nn ( 1 ， 2 ， n )，B nn ( 1 2 ， 2 3 ， n 1 )，当 r(A)n 时，方程组 BX0 是否有非零解?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B( 1 2 ， 2 3 ， n 1 )(
22、 1 ， 2 ， n ) 由 r(A)n 可知A0， 而BA )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 1 1 2 2 3 3 4 4 (*) (1)当a1，b0 时，因为 r(A)2r( )解析：26.设 n阶矩阵 A( 1 ， 2 ， n )的前 n1 个列向量线性相关，后 n1 个列向量线性无关，且 1 2 2 (n1) n-1 0，b 1 2 n (1)证明方程组 AXb 有无穷多个解； (2)求方程组 AXb 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 r(A)n1，又 b 1 2 n ，所以 r( )n1， 即，r(A)r( )解析：27.设
23、A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 r(A)2，所以 t1，方程组的通解为 X )解析：28.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D a(ab) (1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 1 1 ， 2 ， 3 0； (2)当 a0 时， 因为 r(A)r( )，所以方程组无解； (3)当 ab0 时， 方程组有无穷多个解，通解为 X )解析：29.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)DA T (a 4 a 1 )(a 4 a 2 )(a 4 a 3 )(a 3 a 1 )(a 3 a 2 )(a 2 a 1
24、 )， 若 a i a j (ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D 1 D 2 D 3 0，D 4 D，所以方程 组的唯一解为 X(0，0，0，1) T ； (2)当 a 1 A 3 A0，a 2 a 4 a 时， )解析：30.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY0 只有零解，其中 B(， 1 ， s )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， s 线性无关，因为 AB0，所以 ， 1 ， s 线性无关，故方程组 BY0 只有零解)解析：31.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 a一 1且 a6 时，方程组有唯一解； (2)当 a6 时， 因为r(A)r(A)34，所以方程组有无数个解； (3)当 a1 时， 当 a1，b36 时，方程组无解； 当 a1，b36 时，方程组有无数个解， )解析：
