1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 25及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 （分数：2.00）A.x 4 ，x 5 B.x 2 ，x 3 C.x 2 ，x 4 D.x 1 ，x 3 3.设 A是 mn矩阵，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.如 mn，则 Ax=b有无穷多解B.如 Ax=0只有零解，则 Ax=b有唯一解C.如 A有 n阶子式不为零，则 Ax=0只有零解D.Ax=b有唯一解的充要条件是 r(
2、A)=n4.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 B. 1 ， 2 ， 3 + 4 ， 3 - 4 C. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等价向量组D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等秩的向量组5.设 A是 54矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 =(1，1，-2，1) T ， 2 =(0，1，0，1) T 是 Ax=0的基础解系，则 A的列向量组的极大线性无关组可以是（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 2 ， 4 C.
3、2 ， 3 D. 1 ， 2 ， 4 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)6.已知齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_7.构造非齐次方程组 1，使得其通解为(1，0，0，1) T +c 1 (1，1，0，-1) T +c 2 (0，2，1，1) T ，c 1 ，c 2 任意（分数：2.00）填空项 1:_8.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_9.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_10.四元方程组 （分数：2.00）填空项 1:_11.四元方程组 Ax=b的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5)
4、 T ，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A为三阶非零矩阵，B= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 1 ， 2 ， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b的解，如果 c 1 1 +c 2 2 +c t t 仍是 Ax=b的解，则 c 1 +c 2 +c t = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 1 =(-3，2，0) T ， 2 =(-1，0，-2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分
5、数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.已知齐次方程组 （分数：2.00）_19.设齐次方程组() 有一个基础解系 1 =(b 11 ，b 12 ，b 12n ) T ， 2 =(b 21 ，b 22 ，b 22n ) T ， n =(b n1 ，b n2 ，b n2n ) T 证明 A的行向量组是齐次方程组() （分数：2.00）_20.构造齐次方程组，使得 1 =(1，1，0，-1) T ， 2 =(0，2，1，1) T 构成它的基础解系（分数：2.00）_21.设 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关，其中 1 ， 2
6、 ， s 是齐次方程组 AX=0的基础解系证明 A 1 ，A 2 ，A t 线性无关（分数：2.00）_22.设 1 ， 2 ， 3 为 3个 n维向量，已知 n元齐次方程组 AX=0的每个解都可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，并且 r(A)=n-3，证明 1 ， 2 ， 3 为 AX=0的一个基础解系（分数：2.00）_23.n元非齐次线性方程组 AX= 如果有解，则解集合的秩为=n-r(A)+1（分数：2.00）_24.设 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，a+2，-3a) T ， 3 =(-1，-b-2a+2b) T =(1，3，-3)T试讨论当 a，b 为何值时， (1)
7、不能用 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2) 能用 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表示，求表示式； (3) 能用 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式（分数：2.00）_25.已知平面上三条直线的方程为 l 1 ：ax+2by+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0 l 3 ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_26.设 A= （分数：2.00）_27.设 A= （分数：2.00）_28.求齐次方程组 （分数：2.00）_29.求线性方程组 （分数：2.00）_30.当 a，b 取何值时，方程组
8、（分数：2.00）_31.已知 a，b，c 不全为零，证明方程组 （分数：2.00）_32.设 A是 n阶矩阵，证明方程组 Ax=b对任何 b都有解的充分必要条件是A0（分数：2.00）_33.证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系（分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）模拟试卷 25答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 （分数：2.00）A.x 4 ，x 5 B.x 2 ，x 3 C.x
9、 2 ，x 4 D.x 1 ，x 3 解析：解析：自由未知量选择的原则是：其他未知量可用它们唯一确定如果选择 x 4 ，x 5 ，对应齐次方程组写作 3.设 A是 mn矩阵，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.如 mn，则 Ax=b有无穷多解B.如 Ax=0只有零解，则 Ax=b有唯一解 C.如 A有 n阶子式不为零，则 Ax=0只有零解D.Ax=b有唯一解的充要条件是 r(A)=n解析：解析：如 mn，齐次方程组 Ax=0有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例 如 Ax=0只有零解，则 r(A)=n，但由 r(A)=n推断不出 r(Ab)=n，因此 Ax=b可以无解
10、 例如4.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 B. 1 ， 2 ， 3 + 4 ， 3 - 4 C. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等价向量组D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等秩的向量组解析：解析：向量组(A)线性相关，(A)不正确 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 + 2 与 1 ， 2 ， 3 ， 4 等价但前者线性相关，故(C)不正确 等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确选(B)5.设 A是 54
11、矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 =(1，1，-2，1) T ， 2 =(0，1，0，1) T 是 Ax=0的基础解系，则 A的列向量组的极大线性无关组可以是（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 2 ， 4 C. 2 ， 3 D. 1 ， 2 ， 4 解析：解析：由 A 1 =0，知 1 + 2 -2 3 + 4 =0 由 A 2 =0，知 2 + 4 =0 因为 n-r(A)=2，故必有 r(A)=2所以可排除(D) 由知， 2 ， 4 线性相关故应排除(B) 把代入得 1 -2 3 =0，即 1 ， 3 线性相关，排除(A) 如果 2 ， 3 线性相关，则 r( 1
12、 ， 2 ， 3 ， 4 )=r(-2 3 ， 2 ， 3 ，- 2 )=r( 2 ， 3 )=1与 r(A)=2相矛盾所以选(C)二、填空题(总题数：11，分数：22.00)6.已知齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1；2；c 1 (1，-1，1，0) T +c 2 (-1，0，0，1) T ，c 1 ，c 2 任意）解析：7.构造非齐次方程组 1，使得其通解为(1，0，0，1) T +c 1 (1，1，0，-1) T +c 2 (0，2，1，1) T ，c 1 ，c 2 任意（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：8.已知方程组
13、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-5）解析：解析：对增广矩阵作初等行变换，有 当 a=-5时，r(A)=9.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 且 *）解析：解析：对任意 b，b，b，方程组有解 r(A)=3 A0而由 =(5+4)(-1)0， 可知 1 且 10.四元方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0，1，0) T ，(-1，1，0，1) T）解析：解析：n-r(A)=4-2=2取 x 4 ，x 5 为自由变量： 令 x 3 =1，x 4 =0得 x 2 =0， x 1 =0；令 x 3 =0，
14、x 4 =1得 x 2 =1，x 1 =-1， 所以基础解系是(0，0，1，0) T ，(-1，1，0，1) T 11.四元方程组 Ax=b的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T）解析：解析：由( 2 + 3 )-2 1 =( 2 - 1 )+( 3 - 1 )=(2，3，4，5) T -2(1，1，1，1) T =(0，1，2，3) T ，知(0，1，2，3) T
15、是 Ax=0的解 又秩 r(a)=3，n-r(A)=1，所以 Ax=b的通解是(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T 12.设 A为三阶非零矩阵，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：c 1 (1，4，3) T +c 2 (-2，3，1) T ，c 1 ，c 2 任意）解析：解析：由 AB=0得 r(A)+r(B)3显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)=1，n-r(A)=2又 AB=0说明B的每个到向量都是 AX=0的解，取它的 1，3 两列作为基础解系，得 AX=0 的通解 c 1 (1，4，3) T +c 2 (-2，3，1) T ，c 1 ，c
16、 2 任意13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T）解析：解析：因为秩 r(A)=2，所以行列式A=0，并且 r(A * )=1那么 A * A=AE=0，所以 A的列向量是 A * x=0的解 又因 r(A * )=1，故 A * x=0的通解是 k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T 14.已知 1 ， 2 ， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b的解，如果 c 1 1 +c 2 2 +c t t 仍是 Ax=b的解，则 c 1 +c 2 +c t = 1（分数：2.00）填空项 1:_
17、 （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 i 是 Ax=b的解，所以，A i =b 若 c 1 1 +c 2 2 +c t t 是 Ax=b的解，则 A(c 1 1 +c 2 2 +c t t )=c 1 A 1 +c 2 A 2 +c t A t =(c 1 +c 2 +c t )b=b 故 c 1 +c 2 +c t =115.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因(1，2，-1，0) T 是 Ax=b的解，则将其代入第 2个方程可求出 b=1因(-1，2，-1，1) T 是 Ax=0的解，则将其代入第 1个方程可求出 a=316.已知
18、1 =(-3，2，0) T ， 2 =(-1，0，-2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(-3，2，0) T +k(-1，1，1) T）解析：解析：由于矩阵 A中有 2阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1 - 2 是 Ax=0的非零解，知 r(A)3 故必有 r(A)=2于是 n-r(A)=1 所以方程组通解是：(-3，2，0) T +k(-1，1，1) T 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知齐次方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可以
19、用上例的方法，先求出其中一个方程组的解，代入另一个方程组求参数但是由于两个方程组都有参数，先求一个方程组的解时，参数会使得计算复杂可先从概念上着眼，两个方程组同解可推得它们的系数矩阵的秩相等左边方程组系数矩阵的秩不会小于 2，右边方程组系数矩阵的秩不会大于 2，于是它们的系数矩阵的秩为 2这样参数口可先求得，再求左边方程组的解，代入右边方程组求 b，c(计算过程略) 下面我们用一个更加简单的方法这两个方程组同解，则它们的联立方程组也和它们同解，系数矩阵的秩也为 2由此可直接通过计算联立方程组系数矩阵的秩来求a，b，c )解析：19.设齐次方程组() 有一个基础解系 1 =(b 11 ，b 12
20、 ，b 12n ) T ， 2 =(b 21 ，b 22 ，b 22n ) T ， n =(b n1 ，b n2 ，b n2n ) T 证明 A的行向量组是齐次方程组() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别记 A和 B为()和()的系数矩阵 ()的未知量有 2n个，它的基础解系含有 n个解，则 r(A)=n，即 A的行向量组 1 ， 2 ， n 线性无关 由于 1 ， n 都是()的解，有 AB T =(A 1 ，A 2 ，A n )=0，转置得 BA T =0，即 B i T =0，i=1，n于是， 1 ， 2 ， n 是()的 n个线性无关的解又因为 r(B)=n，()也有 2
21、n个未知量，2n-r(B)=n所以 1 ， 2 ， n 是()的一个基础解系从而()的通解为 c 1 1 +c 2 2 +c n n ，c 1 ，c 2 ，c n 可取任意数)解析：20.构造齐次方程组，使得 1 =(1，1，0，-1) T ， 2 =(0，2，1，1) T 构成它的基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求 AX=0要满足：4 维向量 是 AX=0的解 可用 1 ， 2 线性表示 设 =(c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 3 ) T ，( 1 ， 1 )= 于是 可用 1 ， 2 线性表示 c 2 -c 1 -2c 3 =0且 c 4 +c 1 -c 3 =0 是
22、齐次方程组 )解析：21.设 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关，其中 1 ， 2 ， s 是齐次方程组 AX=0的基础解系证明 A 1 ，A 2 ，A t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用定义法证 设 c 1 A 1 +c 2 A 2 +c t A t =0则 A(c 1 1 +c 2 2 +c t t )=0即 c 1 1 +c 2 2 +c T T 是 AX=0的一个解于是它可以用 1 ， 2 ， s 线性表示： c 1 1 +c 2 2 +c t t =x 1 1 +t 2 2 +t s s ，再由 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性
23、无关，得所有系数都为 0)解析：22.设 1 ， 2 ， 3 为 3个 n维向量，已知 n元齐次方程组 AX=0的每个解都可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，并且 r(A)=n-3，证明 1 ， 2 ， 3 为 AX=0的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=n-3，所以 AX=0的基础解系包含 3个解设 1 ， 2 ， 3 是AX=0的一个基础解系，则条件说明 1 ， 2 ， 3 可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示于是有下面的关于秩的关系式： 3=r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 ； 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )
24、3，从而 r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ； 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )，这说明 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 ， 3 等价，从而 1 ， 2 ， 3 也都是 AX=0的解；又 r( 1 ， 2 ， 3 )=3，即 1 ， 2 ， 3 线性无关，因此是 AX=0的一个基础解系)解析：23.n元非齐次线性方程组 AX= 如果有解，则解集合的秩为=n-r(A)+1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 s=n-r(A)，则本题要说明两点(1)存在 AX= 的 s+1个线性无关的解(2)AX= 的 s+2个解一定线性相关 (1)设 为()
25、的一个解， 1 ， 2 ， s 为导出组的基础解系，则 不能用 1 ， 2 ， s 线性表示，因此 ， 1 ， 2 ， s 线性无关，+ 1 ，+ 2 ，+ s 是()的 s+1个解，并且它们等价于 ， 1 ， 2 ， s 于是 r(，+ 1 ，+ 2 ，+ s )=r(， 1 ， 2 ， s )=s+1， 因此 ，+ 1 ，+ 2 ，+ s 是(I)的 s+1个线性无关的解 (2)AX= 的任何 s+2个解都可用 ， 1 ， 2 ， s 这 s+1向量线性表示，因此一定线性相关)解析：24.设 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，a+2，-3a) T ， 3 =(-1，-b-2a+2b
26、) T =(1，3，-3)T试讨论当 a，b 为何值时， (1) 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2) 能用 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表示，求表示式； (3) 能用 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=( 1 ， 2 ， 3 )，则问题化归线性方程组 AX= 解的情形的讨论及求解问题了 (1)a=0(b任意)时 方程组 AX= 无解， 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表示 (2)当 a0，ab 时，r(A)=r(A)=3，方程组 AX= 唯一解，即 可用 1 ， 2 ， 3 唯一表示 AX= 的解为
27、(3)当 a=b0 时 r(A)=r(A)=2，AX= 有无穷多解，即 可用 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示式不唯一 AX= 有特解 ，而(0，1，1) T 构成AX=0的基础解系，AX= 的通解为 +c(0，1，1) T ，c 任意， 即 = )解析：25.已知平面上三条直线的方程为 l 1 ：ax+2by+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0 l 3 ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：l 1 ，l 2 ，l 3 交于一点即方程组 有唯一解，即系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=2 记 则方程组系数
28、矩阵的秩=r(A)，增广矩阵的秩=r(B)，于是 l 1 ，l 2 ，l 3 交于一点 r(A)=r(B)=2 必要性 由于 r(B)=2，则B=0计算出 B=-(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ac-ac-bc) = )解析：26.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 一定是 2阶矩阵 设 X= AX= ，XA= AX-XA=B即 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 是线性方程组： 的解 得 a=-3，b=-2 把 a=-3，b=-2 代入右边的矩阵，并继续作行变换化得简单阶梯形矩阵 解得通解为(-3，-2，0，0) T +c 1 (1，1，1，0) T +c
29、 2 (1，0，0，1) T ，c 1 ，c 2 任意 则满足 AX-CX=B的矩阵 X的一般形式为 )解析：27.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 AX=B的增广矩阵(AB)作初等行变换化阶梯形矩阵： 得到 AX=0的同解方程组： 求得基础解系：(-2，1，1，0) T ，(1，0，0，1) T (2)AX=B 有解 r(AB)=r(A)=2，得 a=6，b=-3，c=3 (3)建立 3个线性方程组，它们的系数矩阵都是 A，常数列依次为 B的各列则 X的各列依次是它们的解它们的导出组都是 AX=0，已经有了基础解系(-2，1，1，0) T ，(1，0，0，1) T ，只
30、用再各求一个特解就可得到通解可以一起用矩阵消元法求它们的特解： 于是(32，32，0，0) T ，(-32，32，0，0) T ，(0，1，0，0) T 依次是这 3个方程组的特解AX=B 的通解为： 其中 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 ，c 5 ，c 6 任意 或者表示为： )解析：28.求齐次方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对系数矩阵作初等变换，有 )解析：29.求线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 )解析：30.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 ()当
31、 a0，且 b3 时，方程组有唯一解 ()当 a=0时， 方程组均无解 ()当 n0，b=3 时，方程组有无穷多解 )解析：31.已知 a，b，c 不全为零，证明方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为系数行列式 )解析：32.设 A是 n阶矩阵，证明方程组 Ax=b对任何 b都有解的充分必要条件是A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性对矩阵 A按列分块 A=( 1 ， 2 ， n )，则 ，Ax=b 有解 1 ， 2 ， n 可表示任何 n维向量 b 1 ， 2 ， n 可表 示 e 1 =(1，0，0，0) T ，e 2 =(0，1，0，0) T ，e n =(
32、0，0，0，1) T r( 1 ， 2 ， n )r(e 1 ，e 2 ，e n )=n r(A)=n 所以A0 充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 )解析：33.证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Ax=0的基础解系是 1 ， 2 ， t 若 1 ， 2 ， s 线性无关， 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， t 等价 由于 j (j=1，2，s)可以由 1 ， 2 ， t 线性表示，而 i (i=1，t)是 Ax=0的解，所以 j (j=1，2，s)是Ax=0的解 因为 1 ， 2 ， t 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， t )=t，又 1 ， 2 ， t 与 1 ， 2 ， s 等价，所以 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， t )=t又因 1 ， 2 ， s 线性无关，故 s=t 因此 1 ， 2 ， t 是Ax=0的基础解系)解析：
