1、考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷 3及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A、B、A+B、A -1 +B -1 均为 n阶可逆方阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于（分数：2.00）A.A -1 +B -1B.A-BC.A(A+B) -1 BD.(A+B) -13.设 n维行向量 = （分数：2.00）A.0B.-IC.ID.I+ T 4.设 n阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，则成立（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=E
2、C.BAC=ED.BCA=E5.设 n阶方阵 A的伴随矩阵为 A * ，且A=a0，则A * =（分数：2.00）A.aB.C.a n-1D.a n6.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 3 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B7.设三阶矩阵 A= （分数：2.00）A.a=b或 a+2b=0B.a=b或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0D.ab 且 a+2b08.已知矩阵 A相似于矩阵 B= （分数：2.00）A.2B.3C.4D.59.设矩阵 A=(a ij ) 33 满足 A * =A T ，若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三
3、个相等的正数，则 a 11 等于 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A=(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 =1。b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 1 ， 2 均为 2维向量，矩阵 A=2 1 + 2 ， 1 - 2 ，= 1 ， 2 ，若行列式A=6，则B= 1.（分数：2.00）填空项 1:_13.设 4阶方阵 A=， 2 ， 3 ， 4 ，B=， 2 ， 3 ， 4 ，其中 ， 2 ， 3 ， 4 都是 4维
4、列向量，且A=4，B=1，则A+B= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 =(1，2，3)，= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 B是元素全为 1的行阶方阵(n2)，证明：(E-B) -1 =E- （分数：2.00）_17.设 A、B 都是 n阶方阵，且 A 2 =E，B 2 =E，A+B=0，证明：A+B=0（分数：2.00）_18.设 A为 n阶方阵且 AA T =E，A0求A+E（分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.设 AP=PB，其中
5、（分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_22.设 n阶非零实方阵 A的伴随矩阵为 A * ，且 A * =A T 证明A0（分数：2.00）_23.将 n阶可逆方阵 A的第 i行与第 j行对换后的矩阵记作 B，(1)证明：B 可逆；(2)求 AB -1 （分数：2.00）_24.设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.设实方阵 A=(a ij ) 44 满足：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，3，4，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式)；(2)a 11 0，求A（分数：2.00）_27.设 A * 为 3阶方阵 A的伴随矩阵，
6、A= （分数：2.00）_28.设 3阶矩阵 A可逆，且 A -1 = （分数：2.00）_29.设 是 n维非零列向量，矩阵 A=E- T 证明：(1)A 2 =A的充要条件是 T =1；(2)当 T =1 时，A 不可逆（分数：2.00）_30.已知矩阵 A=(a ij ) 33 的第 1行元素分别为 a 11 =1，a 12 =2，a 13 =-1又知(A * ) T = （分数：2.00）_31.已知三阶方阵 A的行列式A2，矩阵 B= （分数：2.00）_32.设矩阵 A= （分数：2.00）_考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷 3答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一
7、、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A、B、A+B、A -1 +B -1 均为 n阶可逆方阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于（分数：2.00）A.A -1 +B -1B.A-BC.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1解析：解析：因(A -1 +B -1 )EA(A+B) -1 B=(E+B -1 A)(A+B) -1 B=B -1 (B+A)(A+B) -1 B=B -1 B=E，故(A -1 +B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B3.设 n维行向量 = （分数：2.0
8、0）A.0B.-IC.I D.I+ T 解析：解析： T =( ) 2 +( ) 2 = 4.设 n阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，则成立（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E 解析：解析：当同阶方阵 P、Q 满足 PQ=E时，有 QP=E故 E=ABC=A(BC)=(BC)A=BCA5.设 n阶方阵 A的伴随矩阵为 A * ，且A=a0，则A * =（分数：2.00）A.aB.C.a n-1 D.a n解析：解析：由 AA * =AE 两端取行列式，得AA * =A n-1 ， 6.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 3 =BB.AP 2
9、P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：B 可看作 A作下列初等行变换得到的：先将 A的第 1行加到第 3行对应初等矩阵为 P 2 ，再将所得矩阵的 1、2 两行互换一一对应初等矩阵为 P 1 ，于是由初等变换与初等矩阵的关系，得 B=P 1 P 2 A7.设三阶矩阵 A= （分数：2.00）A.a=b或 a+2b=0B.a=b或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0 D.ab 且 a+2b0解析：解析：由条件知 0=A * =A 2 ， 0=A=(a+2b)(a-b) 2 ， 8.已知矩阵 A相似于矩阵 B= （分数：2.00）A.2B.3C.4 D.5
10、解析：解析：由条件知存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B， P -1 (A-2E)P=P -1 AP-2E=B-2E，即 A-2E与 B-2E相似，故有 r(A-2E)=r(B-2E)= 9.设矩阵 A=(a ij ) 33 满足 A * =A T ，若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 等于 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由已知的 A * =A T ，即 ，得 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为A中元素a ij 的代数余子式于是由行列式按行展开法则得A= a 1j A 1j = a 1i 2 =3a 11 2
11、 0，再由 A * =A T 两端取行列式，得A=A 2 ， A=1，故得 3a 11 2 =1， a 11 = 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A 2 = ，2A 2 = ，A 4 =(A 2 ) 2 =E，A 2004 =(A 4 ) 501 =E 501 =E，故 B 2004 -2A 2 =P -1 A 2004 P-2A 2 =E-2A 2 = 11.设 A=(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 =1。b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b的解是 1（分数：2
12、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 A= ，又 A -1 =A T ，故方程组 Ax=b的解为 x=A -1 b=A T b= 12.已知 1 ， 2 均为 2维向量，矩阵 A=2 1 + 2 ， 1 - 2 ，= 1 ， 2 ，若行列式A=6，则B= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：A=2 1 + 2 ， 1 - 2 = 1 ， 2 13.设 4阶方阵 A=， 2 ， 3 ， 4 ，B=， 2 ， 3 ， 4 ，其中 ， 2 ， 3 ， 4 都是 4维列向量，且A=4，
13、B=1，则A+B= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：40）解析：解析：A+B=+，2 2 ，2 3 ，2 4 =8+， 2 ， 3 ， 4 =8(， 2 ， 3 ， 4 +， 2 ， 3 ， 4 )=8(4+1)=4014.设 =(1，2，3)，= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 n-1 ）解析：解析：A n =( T )( T )( T )( T )= T ( T )( T )= T 3 n-1 =3 n-1 T =3 n-1 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.0
14、0）_解析：16.设 B是元素全为 1的行阶方阵(n2)，证明：(E-B) -1 =E- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(E-B) (E-B) -1 =E- )解析：17.设 A、B 都是 n阶方阵，且 A 2 =E，B 2 =E，A+B=0，证明：A+B=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件得A 2 =1，B 2 =1 A=1，B=1，又A=-B AB=-1，故A+B=A+EB=AB 2 +A 2 B=A(B+A)B=AB+AB=-A+B )解析：18.设 A为 n阶方阵且 AA T =E，A0求A+E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+E=A+AA T
15、 =A(E+A T )=A(E+A T ) T =AE+A=AA+E (1-A)A+E=0，又 1-A0 )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=(A-2E) -1 A= )解析：20.设 AP=PB，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P 可逆 A=PBP -1 = )解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A(C-B) T =E，A=(C-B) T -1 = )解析：22.设 n阶非零实方阵 A的伴随矩阵为 A * ，且 A * =A T 证明A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA T =AA * =AE，若A0，则得 AA
16、 T =O，其(i，i)元素为 a ik 2 =0= a ij =0(i，k=1，2，n) )解析：23.将 n阶可逆方阵 A的第 i行与第 j行对换后的矩阵记作 B，(1)证明：B 可逆；(2)求 AB -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)B=-A0 )解析：24.设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由A * =A n-1 ，有A 3 =8得A=2用 A右乘题设等式两端，用A * 左乘两端并利用 A * A=AE=2E，得 2B=A * B+6E B=6(2E-A * ) -1 = )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1
17、)A 2 =4E A 2m =(A 2 ) m =4 m E，A 2m+1 =A 2m A=4 m A(m=1，2，) (2)A -1 = A，AB=E+A-A 2 ，两端左乘 A -1 ，得 B=A -1 +E-A= A+E-A=E- A= )解析：26.设实方阵 A=(a ij ) 44 满足：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，3，4，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式)；(2)a 11 0，求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a ij =A ij (i，j=1，2，3，4) A T =A * A T =A * ，即A=A 3 ， A(1-A T )=0， A
18、取值范围为 0，1，-1，又A= a 1j A 1j = a 1j 2 0 )解析：27.设 A * 为 3阶方阵 A的伴随矩阵，A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D= A -1 -2AA -1 = A -1 -A -1 = A -1 =( ) 3 A -1 = )解析：28.设 3阶矩阵 A可逆，且 A -1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) -1 = A=A -1 (A -1 ) -1 = )解析：29.设 是 n维非零列向量，矩阵 A=E- T 证明：(1)A 2 =A的充要条件是 T =1；(2)当 T =1 时，A 不可逆（分数：2.00）_正
19、确答案：(正确答案：(1)A 2 =A (E- T )(E- T )=E- T E-2 T +( T ) T =E- T ( T -1) T =0(注意 T 0) )解析：30.已知矩阵 A=(a ij ) 33 的第 1行元素分别为 a 11 =1，a 12 =2，a 13 =-1又知(A * ) T = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(A * ) T =(A ij )知 A 11 =-7，A 12 =5，A 13 =4， A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 =-1，又 AA * =AE=-E， A=-(A * ) -1 = )解析：31.已知三阶方阵 A的行列式A2，矩阵 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 B可看成是由 A * 互换 1、3 两列所得到的，故有 B=A * AB=AA * )解析：32.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) -1 = A=A，给题设方程两端右乘(A * ) -1 =A，得 AB=B+8A 2 ， (A-E)B=8A 2 ， B=8(A-E) -1 A 2 = )解析：
