1、考研数学二（行列式）模拟试卷 10 及答案解析(总分：42.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.=( ) （分数：2.00）A.22。B.23。C.24。D.25。3.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0。B.a 2 。C.一 a 2 。D.na 2 。4.设 f(x)= （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。5. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 1 )
2、，B=( 3 ， 1 ， 2 ， 2 )，且A=1，B=2，则A+B=( )（分数：2.00）A.9。B.6。C.3。D.1。6.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( n ， 1 ， n1 )，若A=1，则AB=( )（分数：2.00）A.0。B.2。C.1+(一 1) n1 。D.1+(一 1) n 。7.设 A 为三阶矩阵，A= （分数：2.00）A.。B.3。C.6。D.9。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.计算行列式 （分数：2.00）填空项 1:_9.在 xOy 平面上，平面曲线方程 y= （分数：2.00）填空项 1:_10.设行列式 D= （分数：2
3、.00）填空项 1:_11.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ，)，B=( 2 ， 3 ， 1 ，)，A=a，B=b，则A+B= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=AB，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 为奇数阶矩阵，且 AA T =A T A=E。若A0，则AE= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A 为三阶方阵，A 2 一 A 一 2E=O，且 0A5，则A+2E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A，B 为三阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，行列式B=2，则行列式 （分
4、数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：6，分数：12.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.D n = （分数：2.00）_18.计算行列式 D n = （分数：2.00）_19.证明： （分数：2.00）_20.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_21.计算 D n = （分数：2.00）_考研数学二（行列式）模拟试卷 10 答案解析(总分：42.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.=( ) （分数：2.00
5、）A.22。B.23。C.24。 D.25。解析：解析：第一行加到第二行，然后第二行加到第三行，最后第三行再加到第四行，得到上对角线行列式3.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0。 B.a 2 。C.一 a 2 。D.na 2 。解析：解析：按这一列展开，D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 2nj A 2nj =aA 1j +aA 2j +aA 2nj ，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为一 a，从而行列式的值为零，所以应选 A。4.设 f(x)= （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。 D
6、.3。解析：解析：按行列式展开得 f(x)=5( 5. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 1 )，B=( 3 ， 1 ， 2 ， 2 )，且A=1，B=2，则A+B=( )（分数：2.00）A.9。B.6。 C.3。D.1。解析：解析：由矩阵加法公式，得 A+B=( 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 )，结合行列式的性质有 A+B= 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2( 1 + 2 + 3 )， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ， 2 + 1 ， 3
7、+ 2 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ，一 3 ，一 1 ， 1 + 2 =2 2 ，一 3 ，一 1 ， 1 + 2 =2 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 =2(A+B)=6。6.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( n ， 1 ， n1 )，若A=1，则AB=( )（分数：2.00）A.0。 B.2。C.1+(一 1) n1 。D.1+(一 1) n 。解析：解析：对于行列式A 一 B，将第 2n 列都加到第一列上，即 A 一 B= 1 一 n ， 2 一 1 ， n 一 n1 =0， 2 一 1 ， n 一 n1 =0。7.设 A 为三阶矩阵，A= （分
8、数：2.00）A.。B.3。C.6。D.9。 解析：解析：4A 一(3A * ) 1 =4A 一(3AA 1 ) 1 =4AA=3A=9。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.计算行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(a 1 c 2 a 2 c 1 )(b 1 d 2 b 2 d 1 )）解析：解析：根据行列式按行(列)展开法则，按照第一行展开， 9.在 xOy 平面上，平面曲线方程 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2，0)，(3，0)）解析：解析：曲线 y= 与 x 轴(即 y=0)的交点为方程组 的解，行列式 为范德蒙德行
9、列式，即有 y=10.设行列式 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：第四行余子式之和 M 41 +M 42 +M 43 +M 44 =一 A 41 +A 42 一 A 43 +A 44 = 11.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ，)，B=( 2 ， 3 ， 1 ，)，A=a，B=b，则A+B= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(a+b)）解析：解析：由题意 A+B=( 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 ，+)， 即有 A+B= 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 ，+。 将该行列式的第一列的一 1 倍加到
10、第二列得 A+B= 1 + 2 ， 3 一 1 ， 3 + 1 ，+。 再将新的行列式的第二列加到第三列可得 A+B= 1 + 2 ， 3 一 1 ，2 3 ，+ =2 1 + 2 ，一 1 ， 3 ，+ =一 2 1 + 2 ， 1 ， 3 ，+ =一 2 2 ， 1 ， 3 ，+ =一2( 2 ， 1 ， 3 ，+ 2 ， 1 ， 3 ，)， 其中 2 ， 1 ， 3 ，=一A=一 a， 2 ， 1 ， 3 ，=一B=一 b， 故A+B=2(ab)。12.设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=AB，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，A
11、B=AB，则(A+E)(EB)=E，因此 A+E=13.设 A 为奇数阶矩阵，且 AA T =A T A=E。若A0，则AE= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：AE=AAA T =A(EA T )=AE 一 A T =AEA。 由 AA T =A T A=E，可知A 2 =1，因为A0，所以A=1，即AE=E 一 A。 又 A 为奇数阶矩阵，所以EA=一(AE)=一AE=一EA，故AE=0。14.已知 A 为三阶方阵，A 2 一 A 一 2E=O，且 0A5，则A+2E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设
12、 A 的特征值 i 对应的特征向量是 x i (x i 0，i=1，2，3)，则 Ax i =x i 。 由 A 2 一 A 一 2E=O 可知，特征向量 x i 满足(A 2 一 A 一 2E)x i =0，从而有 i 2 一 i 一 2=0，解得 i =一 1 或 i =2。再根据A= 1 2 3 及 0A5 可得， 1 = 2 =一 1， 3 =2。 由 Ax i =x i 可得(A+2E)x i =( i +2)x i ，即 A+2E 的特征值 i (i=1，2，3)满足 i = i +2，所以 1 = 2 =1， 3 =4，故A+2E=114=4。15.已知 A，B 为三阶相似矩阵，
13、 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，行列式B=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 3 为 A 的另一特征值。由 A 与 B 相似知，A=B=2，且 1 2 3 =A=2，则有 3 =1，从而 A，B 有相同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =1。 于是有 A+E=( 1 +1)( 2 +1)( 3 +1)=12，(A+E) 1 = ， (2B) * =2 2 B * =4 3 B * =4 3 B 2 =256。 故 =A+E 1 (2B) * = 三、解答题(总题数：6，分数：12.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明
14、过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第二行的一 1 倍分别加至其余各行，再把第一行的 2 倍加至第二行，得 D n = )解析：18.计算行列式 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用行列式的性质，得 D n = =nD n1 +a n =nD n1 +a n =nD n1 +(n 一 1)！a n 2 。 同理可得 D n1 =(n 一 1)D n2 +(n 一 2)！a n1 2 ，所以 D n =n(n 一 1)D n2 +(n 一 2)！a n1 2 +(n 一 1)！a n 2 =n(n 一 1)
15、D n2 + ， 依次递推可得 )解析：19.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可利用递推法证明。 记 D n = ，则 左边=xD n +(一 1) n2 a 0 )解析：20.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D n = ，则将该行列式按第一行展开得 D n =(+)D n1 一 ， 再将上式中后面的 n 一 1 阶行列式按照第一列展开得 D n =(+)D n1 一 D n2 ，则 D n 一 D n1 =(D n1 一 D n2 )= 2 (D n2 一 D n3 )= n2 (D 2 一 D 1 ) = n2 ( 2 + 2 )一 (+) = n ， 即 D n 一 D n1 = n ， (1) 类似地，有 D n 一 D n1 = n ， (2) (1) 一(2) 可得( 一 )D n = n1 一 n1 ，所以 D n = )解析：21.计算 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第 1 行的(一 x)倍分别加到第 2，3，n 行，得 D n = 。 当 x0 时，再把第 j(j=2，3，n)列的 倍加到第 1 列，D n 化成了上三角行列式 D n = )解析：
