1、考研数学二（行列式）模拟试卷 9 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A2，B6，则 （分数：2.00）A.24B.24C.48D.483.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且EA0，则2EA 2 为( )（分数：2.00）A.0B.54C.2D.244.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.ABABB.若AB0，则 AO 或 BOC.ABABD.ABAB5.设
2、 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A 1 ， 2 ， 3 ， 1 m，B 1 ， 2 ， 2 ， 3 n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 为( )（分数：2.00）A.mnB.mnC.(mn)D.nm二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_7.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为a1，a2，a1，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且Aa，Bb，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A( 1 ， 2 ， 3 )为
3、三阶矩阵，且A3，则 1 2 2 ， 2 3 3 ， 3 2 1 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设三阶矩阵 A(， 1 ， 2 )，B(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且A3，B4，则5A2B 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 D （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EAE2AE3A0，则B -1 2E 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶正交阵，且A0，BA4，则EAB T 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为 n 阶矩阵，且Aa0，则(kA) * 1（分数：2.00）填
4、空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.计算行列式 （分数：2.00）_17.计算 D （分数：2.00）_18.证明： （分数：2.00）_19.设 D （分数：2.00）_20.设 A 是正交矩阵，且A0证明：EA0（分数：2.00）_21.设 A(a ij ) nn 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_22.计算 D 2n （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.设 D （分数：2.00）_25.设 A，B 为三阶矩
5、阵，且 AB，且 1 1， 2 2 为 A 的两个特征值，B2，求 （分数：2.00）_考研数学二（行列式）模拟试卷 9 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A2，B6，则 （分数：2.00）A.24B.24C.48D.48 解析：解析：3.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且EA0，则2EA 2 为( )（分数：2.00）A.0B.54 C.2D.24解析：解析：因为 A 的每行元素之和为 4
6、所以 A 有特征值 4，又E0，所以 A 有特征值1，于是2EA 2 的特征值为 18，3，于是2EA 2 54，选 B4.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.ABABB.若AB0，则 AO 或 BOC.ABABD.ABAB 解析：解析：选项 A、C 显然不对，设5.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A 1 ， 2 ， 3 ， 1 m，B 1 ， 2 ， 2 ， 3 n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 为( )（分数：2.00）A.mnB.mnC.(mn)D.nm 解析：解析： 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 3 ， 2 ，
7、 1 ， 1 3 ， 2 ， 1 ， 2 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 3 ， 2 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 2 ， 3 nm， 故选 D二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23）解析：解析：按行列式的定义，f()的 3 次项和 2 次项都产生于(2)(23)(31)，且该项带正号，所以 项的系数为 237.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为a1，a2，a1，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解
8、析：由(a1)2(a2)3(a1)0 得 a18.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且Aa，Bb，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1) mn ab）解析：解析：将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去盲到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则 9.设 A( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且A3，则 1 2 2 ， 2 3 3 ， 3 2 1 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：33）解析：解析： 1 2 2 ， 2 3 3 ， 3 2 1 1 ， 2 3
9、3 ， 3 2 1 2 2 ， 2 3 3 ， 3 2 1 1 ， 2 3 3 ， 3 2 2 ，3 3 ， 3 2 1 1 ， 2 ， 3 6 2 ， 3 ， 3 2 1 1 ， 2 ， 3 6 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 3 12 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 3 12 1 ， 2 ， 3 3310.设三阶矩阵 A(， 1 ， 2 )，B(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且A3，B4，则5A2B 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：63）解析：解析：由 5A2B(5a，5 1 ，5 2 )(2，2 1 ，2 2 )(52，3 1
10、3 2 )，得 5A2B52，3 1 ，3 2 952， 1 ， 2 9(5， 1 ， 2 2， 1 ， 2 )6311.设 D （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 31 A 32 A 33 A 31 A 32 A 33 0A 34 0A 35 12.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EAE2AE3A0，则B -1 2E 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：因为EAE 一 2AE3A0，所以 A 的三个特征值为 ，1，又 AB，所以 B 的特征值为 13.设 A 为三阶正交阵，且A0，BA4，则EAB
11、T 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：A0 14.设 A 为 n 阶矩阵，且Aa0，则(kA) * 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k n(n-1) a n-1）解析：解析：因为(kA) * k n-1 A * ，且A * A n-1 ，所以 (kA) * k n-1 A * k n(n-1) A n-1 k n(n-1) a n-1 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17
12、计算 D （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 D （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)M 31 M 33 M 34 1A 31 0A 32 1A 33 (1)A 34 )解析：20.设 A 是正交矩阵，且A0证明：EA0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正交矩阵，所以 A T AE，两边取行列式得A 2 1，因为A0，所以A1 由EAA T AA(A T E)AAA T EA T E (AE) T EA 得EA0)解析：21.设 A(a ij ) nn 是非零矩阵，且
13、A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 Aa k1 A k1 a k2 A k2 a kn A kn a k1 2 a k2 2 a kn 2 0)解析：22.计算 D 2n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 D （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： A(1) n+1 n!， 得 A * AA -1 (1) n+1 n!A -1 ，所以 A k1 A k2 A kn )解析：25.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 1， 2 2 为 A 的两个特征值，B2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3 ，由B 1 2 3 2 得 3 1 AE 的特征值为 2，3，2，(AE) -1 的特征值为 ，则(AE) -1 因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B * 的特征值为 ，即为 2，1，2，于是B * 4，(2B) * 4B * 4 3 B * 256，故 )解析：
