1、考研数学（数学一）-试卷 36及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导3.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续4.设直线 L： （分数：2.00）A.平行于平面 B.在平面 上C.垂直于平面 D.与平面 斜交5.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的
2、是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在6.设三阶矩阵 A的特征值为 1 =-1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A不可逆B.矩阵 A的迹为零C.特征值-1，1 对应的特征值向量正交D.方程组 AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量7.设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似8.设随机变量 X服从正态分布
3、 N( 1 ， 1 2 )，随机变量 y服从正态分布 N( 2 ， 2 2 )，且PX- 1 ， 1 2 PY- 2 1，则必有( )（分数：2.00）A. 1 2B. 1 2C. 1 2D. 1 29.对于任意两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X和 Y独立D.X和 Y不独立二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设曲线 f(x)=x “ 在点(1，1)处的切线与 x轴的交点为( n ，0)，则 （分数：2.00）填空项
4、 1:_12.设 f(x，y，z)=e z yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则 f _ “ (0，1，-1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 R 3 中的向量 在基 a 1 =(1，-2，1) T ，a 2 =(0，1，1) T ，a 3 =(3，2，1) T 下的坐标为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，它在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T ，且 y 1 =x 1 -x 2 -x 3 ，y 2 =-x 1 +x 2 ，y 3 =x 1 +2x 3
5、 ，则由基 1 、 2 、 3 到基 a 1 、a 2 、a 3 的过渡矩阵P= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.在天平上重复称量一重为 a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 N(a，02 2 )，若以 表示 n次称量结果的算术平均值，则为使 P （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且
6、，f + “ +(a)0，证明：存在(a，b)，使得 f “ (a)0（分数：2.00）_21.设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数 （分数：2.00）_22.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_23.设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 2 x 3 +2x 1 x 3 经正交变换 x=P y 化成f=y 2 2 +2y 3 2 ，P 是三阶正交矩阵，试求常数 a、（分数：2.00）_24.一电子仪器由两个部件构成，以 X和 Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X和
7、Y的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）_25.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50千克，标准差为 5千克，若用最大载重为 5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于 09777(2)=0977，其中(x)是标准正态分布函数)（分数：2.00）_考研数学（数学一）-试卷 36答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B
8、.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：3.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续 解析：解析：由题设，当 0x1 时，f(x)=1/2(x 2 +1)，则 4.设直线 L： （分数：2.00）A.平行于平面 B.在平面 上C.垂直于平面 D.与平面 斜交解析：解析：直线 L的方向向量为 s=1，3，22，-1，-10=-28，14，-7，因为 sn，所以直线L与平面 垂直，正确答案为(C)5.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x
9、 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零 B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在解析：解析：可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则有 f x “ (x 0 ，y 0 )=0，f y “ (x 0 ，y 0 )=0， 于是 f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零，选(A)6.设三阶矩阵 A的特征值为 1 =-1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A不可逆B.矩阵 A的迹为零C.特征值-1，1 对应的特征值向量正交
10、 D.方程组 AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量解析：解析：由 1 =-1， 2 =0， 3 =1得A=0，则 r(A)3，即 A不可逆，(A)正确；又 1 + 2 + 3 =tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A的三个特征值都为单值，所以 A的非零特征值的个数与矩阵 A的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)7.设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似 C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似解析：解析： 8.设随
11、机变量 X服从正态分布 N( 1 ， 1 2 )，随机变量 y服从正态分布 N( 2 ， 2 2 )，且PX- 1 ， 1 2 PY- 2 1，则必有( )（分数：2.00）A. 1 2 B. 1 2C. 1 2D. 1 2解析：解析：9.对于任意两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X和 Y独立D.X和 Y不独立解析：解析：因为 D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y) 2 =EX-E(x)+Y-E(y) 2 =EX-E(x) 2 +EY-E(y) 2 +2E(X-E(x)(Y
12、-E(y)=D(x)+D(y)+2E(XY)-E(x)E(y)=D(x)+D(y)故应选(B)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，11.设曲线 f(x)=x “ 在点(1，1)处的切线与 x轴的交点为( n ，0)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1）解析：解析：由题设 f(x)=x n ，则 f “ (x)=nx n-1 ，因而 f “ (1)=n， 则点(1，1)处的切线方程为 y-1=n(x-1)， 该切线与 x轴的交点为 因此 12.设 f(x，y，z)
13、=e z yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则 f _ “ (0，1，-1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：设 F(x，y，z)=x+y+z+xyz，则 13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 R 3 中的向量 在基 a 1 =(1，-2，1) T ，a 2 =(0，1，1) T ，a 3 =(3，2，1) T 下的坐标为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，它在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T ，且 y 1
14、=x 1 -x 2 -x 3 ，y 2 =-x 1 +x 2 ，y 3 =x 1 +2x 3 ，则由基 1 、 2 、 3 到基 a 1 、a 2 、a 3 的过渡矩阵P= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(a 1 ，a 2 ，a 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )P，(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T =P(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 又 y 1 =x 1 -x 2 -x 3 ，y 2 =-x 1 +x 2 ，y 3 =x 1 +2x 3 15.在天平上重复称量一重为 a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 N(a，02 2 )
15、，若以 表示 n次称量结果的算术平均值，则为使 P （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：最小值应不小于 16）解析：解析：由题设，X n 为样本均值，对其作线性变换，即令 则由中心极限定理知 ZN(0，1)，因此 其中 为标准正态分布，即有 ，从而 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：凡积分域是由抛物面与其它
16、曲面所围成之形体，一般用柱坐标计算为宜在柱坐标系下，球面与抛物面的交线为 故 )解析：20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且，f + “ +(a)0，证明：存在(a，b)，使得 f “ (a)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，所以存在 0，当 0x-a 时， 有 。于是存在c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0； 由微分中值定理，存在 1 (，c)， 2 (c，b)，使得 再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 )解析：21.设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)，求复
17、合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数求导法，得 )解析：22.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，方程组的系数矩阵为 A= 则A= 当 ab 且 a+(n-1)b0，即 a(1-n)b 时，方程组仅有零解 当 a=b时，对 A可作初等行变换化为阶梯形 则不难求得原方程组的基础解系为 因此方程组的全部解是 x=k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k 2 ，k n-1 为任意常数 当 a=(1-n)b时，同样对 A作初等行变换化为阶梯形 则可得此时基础解系为 )解析：23.
18、设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 2 x 3 +2x 1 x 3 经正交变换 x=P y 化成f=y 2 2 +2y 3 2 ，P 是三阶正交矩阵，试求常数 a、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：变换前后二次型的矩阵分别为 二次型可以写成 f=x T Ax和 f=y T By，由于P T AP=B，P 为正交矩阵，故 p -1 AP=B， 因此E-A=E-B，即 )解析：24.一电子仪器由两个部件构成，以 X和 Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X和 Y的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确
19、答案：由题设条件知 X和 Y的分布函数分别为 )解析：25.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50千克，标准差为 5千克，若用最大载重为 5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于 09777(2)=0977，其中(x)是标准正态分布函数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，设 X i (i=1，2，n)是装运的第 i箱的重量(单位：千克)，n 是所求箱数，由已知条件 X 1 ，X 2 ，X n 是独立同分布的随机变量，设 n箱的总重量为 T n ，则 T n =X 1 +X 2 +X n 又由题设，E(X i )=50，D(X i )=25，i：1，2，n， 从而 E(T n )=n50=50n，D(T n )=25n(单位皆为千克)， 由中心极限定理，知 T n 近似服从参数为 50n，25n 的正态分布，即N(50n，25n)，由条件 )解析：
