1、考研数学（数学一）模拟试卷 488 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.不能判断连续性的点3.曲线 （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条4.设 f(x)= 则f(x)dx=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设幂级数 (2x 一 1) 2n 在 x=一 4 处条件收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定
2、6.设 A 为三阶矩阵，令 （分数：2.00）A.P 1 AP 2B.P 1 -1 AP 2C.P 2 AP 1D.P 1 -1 AP 2 -17.设 A 为三阶矩阵，B=( 1 ， 2 ， 3 )， 1 为 AX=0 的解， 2 不是 AX=0 的解，又 r(AB)minr(A)，r(B)，则 r(AB)=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.38.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机变量， 是样本均值，记 则服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 X，Y 为两个随机变量，其中
3、E(X)=2，E(Y)=一 1，D(X)=9，D(Y)=16，且 X，Y 的相关系数为 ，由切比雪夫不等式得 P|X+Y 一 1|10( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.过曲线 (x0)上的一点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面区域的面积为 （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设 为过直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_13.设：x 2 +y 2 +z 2 =4，取内侧，又函数 u=u(x，y，z)满足 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:
4、15.设 XN(1，4)，Y （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 g(x)二阶可导，且 f(x)= （分数：2.00）_18.设 a 为实数，问方程 e x =ax 2 有几个实根?（分数：2.00）_19.设 y=y(x)由 x 3 +3x 2 y 一 2y 3 =2 确定，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_20.设 f(x)为连续函数，=(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，z0，为 的表面，D xy 为 在xOy 平面上的投影区域，L 为 D
5、 xy 的边界曲线，当 t0 时有 （分数：2.00）_21.设 u n (x)满足 u n (x)=u n (x)+ (n=1，2，)，且 u n (1)= （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ= （分数：2.00）_24.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 Y= （分数：2.00）_25.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i (i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X n 设 E(X i )=(i=1，2，n)，问
6、k 1 ，k 2 ，k n 应取何值，才能在使用 估计 时 无偏，并且 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 488 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点 C.第二类间断点D.不能判断连续性的点解析：解析：当 x0 时，f(x)= 当 x=0 时，f(x)= 当 x0 时，f(x)=x因为 f(0+0)=1，f(0)=3.曲线 （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条 D
7、4 条解析：解析：因为 ，所以曲线没有水平渐近线；由 得曲线有两条铅直渐近线；由4.设 f(x)= 则f(x)dx=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：当 x一 1 时，f(x)=x+C 1 ；当 x1 时，f(x)=x+C 2 ； 5.设幂级数 (2x 一 1) 2n 在 x=一 4 处条件收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定解析：解析：因为 在 x=一 4 处条件收敛，所以收敛半径为 R= 当 x=一 3 时，因为|一3+1|=2R=3，所以当 x=一 3 时，级数6.设 A 为三阶矩阵，令 （分数：2.00）A.P 1
8、AP 2B.P 1 -1 AP 2C.P 2 AP 1D.P 1 -1 AP 2 -1 解析：解析： 7.设 A 为三阶矩阵，B=( 1 ， 2 ， 3 )， 1 为 AX=0 的解， 2 不是 AX=0 的解，又 r(AB)minr(A)，r(B)，则 r(AB)=( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：因为 2 不是 AX=0 的解，所以 ABO，从而 r(AB)1； 显然 1 ， 2 不成比例，则r(B)2， 由 r(AB)minr(A)，r(B)得 r(AB)r(A)， 从而 B 不可逆，于是 r(B)3，故 r(B)=2 再由 r(AB)r(B)得 r(AB)=
9、1选(B)8.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机变量， 是样本均值，记 则服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：9.设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=一 1，D(X)=9，D(Y)=16，且 X，Y 的相关系数为 ，由切比雪夫不等式得 P|X+Y 一 1|10( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1， D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13， 则 P|X+Y一
10、 1|10=P|ZE(Z)|10二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.过曲线 (x0)上的一点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面区域的面积为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设切点为 切线方程为 切线与 x 轴的交点横坐标为 x=一 2a，所求的面积为所求体积为11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：交换积分次序得 0 t dx x t sin(xy) 2 dy= 0 t dy 0 y sin(xy) 2 dx 12.设 为过直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
11、案：*）解析：解析：过直线 L： 的平面束为 (2x 一 z4)+(2y+3z+2)=0， 即 2x+2y+(31)z+24=0， 由2，2，31.1，一 2，1|=0 得 =1， 从而 ：x+y+z 一 1=0，于是13.设：x 2 +y 2 +z 2 =4，取内侧，又函数 u=u(x，y，z)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 4，一 2，2)）解析：解析：由( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )Q，可得 Q=( 1 ， 2 ， 3 ) -1 ( 1 ， 2 ，
12、 3 ) = 1 +2 2 3 3 =( 1 ， 2 ， 3 )(1，2，一 3) T =( 1 ， 2 ， 3 )Q(1，2，一 3) T 15.设 XN(1，4)，Y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PXY+1X+Y=P(X 一 1)(Y 一 1)0 =PX1，Y1+PX1，Y1 =PX1PY1+PX1PY1三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 g(x)二阶可导，且 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)当 f(x)在 x=0 处连续时
13、g(0)=1， 当 f(x)在 x=0 处连续时，a=g(0) )解析：18.设 a 为实数，问方程 e x =ax 2 有几个实根?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=0 时，方程无解； 由 (x)=2xe -x 一 x 2 e -x =x(2 一 x)e -x =0得 x=0 或 x=2当 x0 时，(x)0；当 0x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0， 1)当 a0 时，方程无解； 2) 时，方程有两个根，分别位于(一，0)内及 x=2； 3)当 时，方程有三个根，分别位于(一，0)，(0，2)，(2，+)内； 4)当 )解析：19.设 y=y(x)由 x 3 +3
14、x 2 y 一 2y 3 =2 确定，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 +3x 2 y 一 2y 3 =2 两边对 x 求导得 3x 2 +6xy+3x 2 y一 6y 2 y=0 )解析：20.设 f(x)为连续函数，=(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，z0，为 的表面，D xy 为 在xOy 平面上的投影区域，L 为 D xy 的边界曲线，当 t0 时有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 1 ：x 2 +y 2 +z 2 =t 2 (z0)， 2 ：z=0(x 2 +y 2 t 2 )，则 所以有 2t 2 f(t 2
15、)+ 即 t 2 f(t 2 )+t 4 = 0 t rf(r 2 )dr，两边求导得 2tf(t 2 )+2t 3 f(t 2 )+4t 3 =tf(t 2 )，令 t 2 =x 得 f(x)+ f(x)=一 2，解得 )解析：21.设 u n (x)满足 u n (x)=u n (x)+ (n=1，2，)，且 u n (1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (I)当 a一 6，a+2b 一 40 时，因为 r(A) 所以 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示； ()当 a一 6，a+2b4=0 时， 可由 1 ，
16、2 ， 3 唯一线性表示，表达式为 =2 1 一 2 +0 3 ； 当 a=一 6 时， 当 a=一 6，b5 时，由 , 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，表达式为 =6 1 +1 2 +2 3 ； 当 a=-6，b=5 时，由 )解析：23.设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)显然 A 的特征值为 1 = 2 =-1， 3 =2，A*的特征值为 1 = 2 =一2， 3 =1 因为 为 A*的属于特征值 3 =1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值 3 =2 的特征向量， 令 = 3 令 A 的属于特
17、征值 1 = 2 =一 1 的特征向量为 因为实对称矩阵不同特征值对应的 特征向量正交，所以-x 1 一 x 2 +x 3 =0，则 A 的属于特征值 1 = 2 =一 1 的线性无关的特征向量为 3 = 3 )解析：24.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)PX+Y=0=P(Y=一 X=P|X|1 =1 一 PX1=1 一(1 一 e - )=e - ()F Y (y)=PYy=PYy，0X1+PYy，X1 =PXy，0X1+PX一 y，X1 当 y一1 时，F Y (y)=PX-y=1 一 PX一 y=e y ； 当一 1y0 时，F Y (y)=PX1=e - ； 当0y1 时，F Y (y)=P0Xy+PX1=1 一 e -y +e - ； 当 y1 时，F Y (y)=P0X1+PX1=1 )解析：25.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i (i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X n 设 E(X i )=(i=1，2，n)，问 k 1 ，k 2 ，k n 应取何值，才能在使用 估计 时 无偏，并且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
