1、考研数学（数学三）-试卷 136 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.B.C.D.3. （分数：2.00）A.B.C.D.4. （分数：2.00）A.B.C.D.5. （分数：2.00）A.B.C.D.6. （分数：2.00）A.B.C.D.7. （分数：2.00）A.B.C.D.8.若函数 yf(x)有 f(x 0 )12，则当x0 时，该函数在 xx 0 点外的微分 dy 是( )（分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.
2、比x 低阶的无穷小C.比x 高阶的无穷小D.与x 同阶的无穷小9. （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 xy“+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17. （分数：2.00）_18. （分数：2.00
3、）_19. （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=ax 1 2 +2x 2 2 -2x 3 2 +2bx 1 x 3 (b0)， 其中二次型的矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为-12（分数：4.00）(1).求 a，b 的值（分数：2.00）_(2).利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：2.00）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_(2).证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条
4、件是 T A -1 b（分数：2.00）_21.设 f(x)在(l，l)内可导，证明：如果 f(x)是偶函数，那么 f(x)是奇函数，如果 f(x)是奇函数，那么 f(x)是偶函数（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 P(A)=0 或 1，证明 A 与其他任何事件 B 相互独立（分数：2.00）_考研数学（数学三）-试卷 136 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：3. （分数：
5、2.00）A.B.C. D.解析：解析：4. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：5. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：6. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：7. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：8.若函数 yf(x)有 f(x 0 )12，则当x0 时，该函数在 xx 0 点外的微分 dy 是( )（分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.比x 低阶的无穷小C.比x 高阶的无穷小D.与x 同阶的无穷小 解析：9. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项
6、1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0.1376,0.3651)）解析：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：15.微分方程 xy“+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2/x）解析：三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或
7、演算步骤。_解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=ax 1 2 +2x 2 2 -2x 3 2 +2bx 1 x 3 (b0)， 其中二次型的矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为-12（分数：4.00）(1).求 a，b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f 的矩阵为 )解析：(2).利用正交变换将二次型
8、f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由矩阵 A 的特征多项式 =(A-2) 2 (+3)， 得到 的特征值 1 = 2 = 3 =-3 对于 =2，由(2E-A)x=0， 得到属于 =2 的线性无关的特征向量 1 =(0，1，0) T ， 2 =(2，0，1) T 对于 =-3，由(-3E-A)x=0， 得到属于 =-3 的特征向量 d3=(1，0，-2)T 由于 1 ， 2 ， 3 已两两正交，故只需单位化，有 1 =(0，1，0) T 2 = (2，1，1) T 3 = (1，1，-2) T 那么，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )
9、= ，则 P 为正交矩阶，存正交变换 x=Py 下，有 P T AP=P -1 AP= )解析：设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=丨 A 丨 E 及 A * =丨 A 丨 A -1 ，有 )解析：(2).证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用行列式拉普拉斯展开公式及行列式乘法公式，有 )解析：21.设 f(x)在(l，l)内可导，证明：如果 f(x)是偶函数，那么 f(x)是奇函数，
10、如果 f(x)是奇函数，那么 f(x)是偶函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：任取 x(l，l)，则有 f(x)f(x)，若 f(x)为偶函数则 f(x)f(x)，故 f(x)f(x)f(x)，即 f(x)为奇函数； 若 f(x)为奇函数则 f(x)f(x)， 故 f(x)f(x)f(x)f(x)，即 f(x)为偶函数)解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 P(A)=0 或 1，证明 A 与其他任何事件 B 相互独立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明 如果 P(A)=0，因为 AB?A，所以 0P(AB)P(A)=0，有 P(AB)=0=P(A)P(B)，故事件 A，B 独立 如果 P(A)=1，则 P( )=0，由上面的证明有 P( B)=0=P( )P(B)，而 P(AB)=P(B)-P( B)=P(B)-P( )解析：
