1、考研数学（数学三）模拟试卷 461 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.的渐近线条数为( ) （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条3. （分数：2.00）A.B.C.D.4.当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（分数：2.00）A.B.tanxxC.(1+tanx) ln(1+2x) 1D.5.下列反常积分收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.
2、若 AX=0 只有零解，则 AX=b 只有唯一解B.若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无数个解C.若 r(A)=n，则AX=b 有唯一解D.若 r(A)=m，则 AX=b 一定有解7.设 A 为三阶矩阵，特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 3 ， 2 + 3 ， 3 )，则 P 1 1 A * P 1 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，又 Y=F(X)，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 XN(1，4)，YB 且 X，Y
3、相互独立，则 P(XY+1X+Y=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_11.差分方程 y x+1 一 3y x =23 x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y“3y+2y=2e x 满足 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，3，0，则B 1 +2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，其中
4、 E(X)=，D(X)= 2 ，令 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.计算二重积分 （分数：2.00）_18.设 f(x)在01上连续可导，f(1)=0， （分数：2.00）_19.设生产某种产品需投入两种生产要素，x，y 分别为两种生产要素的投入量，Q 为产品的产量，设生产函数 Q=2x y ，其中 0，0 且 +=1设两种生产要素的价格分别为 p 1 及 p 2 ，问当产量为 12 时，两种生产要素投入多少可使投入总费用最少?（分数：2.00）_20.求幂级数 的收敛半径
5、、收敛域及和函数，并求 （分数：2.00）_21.设 z=z(x，y)二阶连续可偏导且满足方程 在变换 下，原方程化为 （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=2y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，又 A * =，其中 =(1，1，1) T (I)求矩阵 A； ()求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 化为标准形（分数：2.00）_24.设(X，Y)的联合密度函数为 (I)求常数 k； ()求 X 的边缘密度； ()求当 （分数
6、：2.00）_25.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (m 2，令 * 求：(I)D(Y)，D(Z)； () YZ（分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 461 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.的渐近线条数为( ) （分数：2.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析：3. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：4.当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（分数：2.00）A. B.tanxxC.(
7、1+tanx) ln(1+2x) 1D.解析：解析： 由(1+tanx) ln(1+2x) 1=e ln(1+2x)(ln1+tanx) 1ln(1+2x)ln(1+tanx)2x 2 得(1+tanx) ln(1+2x) 1 为 2 阶无穷小； 5.下列反常积分收敛的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：6.设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 AX=0 只有零解，则 AX=b 只有唯一解B.若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无数个解C.若 r(A)=n，则AX=b 有唯一解D.若 r(A)=m，则 AX=b 一定有解 解析：解析：
8、因为当 r(A)=m 时，则 r(A)=7.设 A 为三阶矩阵，特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 3 ， 2 + 3 ， 3 )，则 P 1 1 A * P 1 =( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：A * 的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ， 8.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，又 Y=F(X)，则 等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：9.设 XN(1，4)，YB 且 X，Y 相互独立，则 P(XY+1X+Y
9、=( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：PXY+1X+Y=P(X1)(Y1)0 =PX1，Y1+PX1，Y1 =PX1PY1+PX1PY1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.差分方程 y x+1 一 3y x =23 x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y(x)=A3 x +2x3 x1 ）解析：解析：齐次差分方程 Y x+1 3y x =0 的通解为 y=A 3 x ，设差分方程 y x+1 3y x =23 x 的特解为 y 0 (x)=Cx
10、 3 x ，将 y 0 (x)=Cx 3 x 代入方程 y x+1 3y x =23 x 得 12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7dx8dy）解析：解析：13.微分方程 y“3y+2y=2e x 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=3e x +3e 2x 2x e x）解析：解析：特征方程为 2 3+2=0，特征值为 1 =1， 2 =2，y“3y+2y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 令原方程的特解为 y 0 (x)=Axe x ，代入原方程为 A=2，原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x
11、2x e x 由 14.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，3，0，则B 1 +2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为 A 的特征值为 3，3，0，所以 AE 的特征值为 2，4，1，从而 AE 可逆，由E+B=AB 得(AE)B=E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 15.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=，D(X)= 2 ，令 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)1
12、6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y) x 2 +y 2 1，x0，y0)，D 2 =DD 1 ， )解析：18.设 f(x)在01上连续可导，f(1)=0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由分部积分，得 由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)f(1)=f()(x1)，其中 (x，1)， f(x)=f()(x1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得 因为 f(x)在0，1上连续，所以 f(x)在0，1上取到最小值 m 和最大值 M， 由 M(x1)f()(
13、x1)m(x1)两边对 x 从 0到 1 积分， )解析：19.设生产某种产品需投入两种生产要素，x，y 分别为两种生产要素的投入量，Q 为产品的产量，设生产函数 Q=2x y ，其中 0，0 且 +=1设两种生产要素的价格分别为 p 1 及 p 2 ，问当产量为 12 时，两种生产要素投入多少可使投入总费用最少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：投入费用函数为 C=p 1 x+p 2 y， 令 F(x，y，)=p 1 x+p 2 y+(2x y 12)， )解析：20.求幂级数 的收敛半径、收敛域及和函数，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当x1 时，幂级数绝对收敛；
14、 当x1 时，幂级数发散， )解析：21.设 z=z(x，y)二阶连续可偏导且满足方程 在变换 下，原方程化为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，矩阵方程化为 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )，即 当 a=1，b=2，c=2 时，矩阵方程有解， )解析：23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=2y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，又 A * =，其中 =(1，1，1) T (I)
15、求矩阵 A； ()求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 化为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)显然 A 的特征值为 1 =2， 2 =1， 3 =1，A=2，伴随矩阵 A * 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =2由 A * = 得 AA * =A，即 A=2，即=(1，1，1) T 是矩阵 A 的对应于特征值 1 =2 的特征向量 令 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为矩阵A 的对应于特征值 2 =1， 3 =1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以 T =0，即 x 1 +x 2 x 3 =
16、0，于是 2 =1， 3 =1 对应的线性无关的特征向 )解析：24.设(X，Y)的联合密度函数为 (I)求常数 k； ()求 X 的边缘密度； ()求当 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (m 2，令 * 求：(I)D(Y)，D(Z)； () YZ（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)因为 X 1 ，X 2 ，X m+n 相互独立， ()Cov(Y，Z)=Cov(X 1 +X m )+(X m+1 +X n )，X m+1 +X mn =Cov(X 1 +X m ，X m+1 +X m+n )+Cov(X m+1 +X n ，X m+1 +X m+n ) =D(X m+1 +X n )+Cov(X m+1 +X n ，X n+1 +X m+n )=(nm) 2 ， )解析：
