1、考研数学（数学三）模拟试卷 464 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在区间(一，+)内连续，下述 4 个命题不正确的是 ( )（分数：2.00）A.如果对于任意的常数 a，总有 -a a f(x)dx=0，则 f(x)必是奇函数B.如果对于任意的常数 a，总有 -a a f(x)dx=2 0 a f(x)dx，则 f(x)必是偶函数C.如果对于任意的常数 a 及某正常数 w，总有 a a+w f(x)dx 与以无关，则 f(x)有周期
2、wD.如果存在某常数 w0，使 0 w f(x)dx=0，则 0 x f(t)dt 有周期 w3.设 F(x)= （分数：2.00）A.不是无穷小B.与 x 为同阶但不是等价无穷小C.与 x 为等价无穷小D.是 x 的高阶无穷小4.下列积分发散的是 ( )（分数：2.00）A. 0 + x B. 0 1 x 2 (ln x) 2 dxC.D.5.设在 x0 处，f(x)连续且严格单调增，并设 F(x)= 0 x (2tx)f(t)dt，则 F(x)在 x0 时 ( )（分数：2.00）A.没有驻点B.有唯一驻点且为极大值点C.有唯一驻点且为极小值点D.有唯一驻点但不是极值点6.设齐次线性方程组
3、 Ax=0 有解 1 =(1，2，1，3) T ， 2 =(1，1，一 1，1) T ， 3 =(1，3，3，5) T ， 4 =(4，5，一 2，6) T 其余 Ax=0 的解向量均可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，则Ax=0 的基础解系为 ( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 B. 1 ， 2 ， 3 C. 2 ， 3 ， 4 D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 7.设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则矩阵 AB 2 是对称阵，反对称阵，可逆阵，正定阵，四个结论中，正确的个数是 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.将一枚均匀硬币连续抛 n 次
4、，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“正面和反面各至少出现一次”，则 ( )（分数：2.00）A.当 n=2 时，A 与 B 相互独立B.当 n=2 时，AC.当 n=2 时，A 与 B 互不相容D.当 n=3 时，A 与 B 相互独立9.设总体 XN(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设平面区域 D(t)=(x，y)0xy，0ty1，f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 f 与 g 可微，z=
5、f(xy，g(xy)+ln x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y=(1 一 y 2 ) T an x 满足 y(0)=2 的特解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是 n 阶实对称矩阵，B，C 为 n 阶矩阵，满足条件 (A+2E)B=O，(A 一 3E)C=O， 且 r(B)=r(0rn)，r(B)+r(C)=n则二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX 的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设(X，Y)的联合分布律如下，且 X 和 Y 相互独立， （分数：2.00）填空项
6、 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.()设 0x+，证明存在 ，01，使 （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D求 ()D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ()a 为何值时，V(a)取到最大值?（分数：2.00）_20.求由方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz 一 z+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极
7、值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_21.设微分方程及初始条件为 （分数：2.00）_22.设 3 阶矩阵 A= （分数：2.00）_23.设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行第 j 列元素 a ij =ij(i，j=1，2，n)B 是 n 阶矩阵，B 的第 i 行第 j 列元素 b ij =i(i=1，2，n) 证明：A 相似于 B（分数：2.00）_24.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 p 的几何分布(0p1)，令 Z=X+Y，求：()Z 的概率分布；()X 与 Z 的相关系数（分数：2.00）_25.设总体 X 的概率密度 f(x)= （分数：2.00）_
8、考研数学（数学三）模拟试卷 464 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在区间(一，+)内连续，下述 4 个命题不正确的是 ( )（分数：2.00）A.如果对于任意的常数 a，总有 -a a f(x)dx=0，则 f(x)必是奇函数B.如果对于任意的常数 a，总有 -a a f(x)dx=2 0 a f(x)dx，则 f(x)必是偶函数C.如果对于任意的常数 a 及某正常数 w，总有 a a+w f(x)dx 与以无关，则 f(x)有周
9、期 wD.如果存在某常数 w0，使 0 w f(x)dx=0，则 0 x f(t)dt 有周期 w 解析：解析：法一 证明(A)，(B)，(C)都正确对于(A)，将 a 看成变量， -a a f(x)dx=0 两边分别对a 求导数，有 f(a)一一 f(一 a)=0，f(a)=一 f(一 a)由 a 的任意性，故知 f(x)为奇函数A 正确 类似可证(B)也正确对于(C)，设对任意 a， a a+w f(x)dx 与 a 无关，于是( a a+w f(x)dx) a =f(a+w)一 f(a)=0，即对任意 a，f(a+w)=f(a)成立即 f(x+w)=f(x)，所以 f(x)具有周期 w(
10、C)正确(A)，(B)，(C)都正确，根据排除法，选 D 法二 举例说明存在某 w0，有 0 w f(x)dx=0，但 0 x (t)dt 不具有周期叫如：f(x)=1 一 x， 0 2 f(x)dx= 0 2 (1 一 x)dx=(x ) 0 2 =0，但 f(t)dt=x 一 3.设 F(x)= （分数：2.00）A.不是无穷小B.与 x 为同阶但不是等价无穷小 C.与 x 为等价无穷小D.是 x 的高阶无穷小解析：解析：4.下列积分发散的是 ( )（分数：2.00）A. 0 + x B. 0 1 x 2 (ln x) 2 dxC.D. 解析：解析：对于(A)，可直接计算： 对于(B)，由
11、于 x 2 (ln x) 2 =0，故 0 1 x 2 (ln x) 2 dx 不是反常积分(收敛) 5.设在 x0 处，f(x)连续且严格单调增，并设 F(x)= 0 x (2tx)f(t)dt，则 F(x)在 x0 时 ( )（分数：2.00）A.没有驻点 B.有唯一驻点且为极大值点C.有唯一驻点且为极小值点D.有唯一驻点但不是极值点解析：解析：由题可得，F(x)= 0 x (2tx)f(t)dt=2 0 x tf(t)dt 一 x 0 x f(t)dt，因此 F(x)=2xf(x)一 xf(x)一 0 x f(t)dt=xf(x)一 0 x f(t)dt =xf(x)一 xf()=xf(
12、x)一 f()，0x 由于 f(x)严格单调增加，可知 f(x)f()，所以 F(x)0，故 F(x)在 x0 时无驻点，故应选 A6.设齐次线性方程组 Ax=0 有解 1 =(1，2，1，3) T ， 2 =(1，1，一 1，1) T ， 3 =(1，3，3，5) T ， 4 =(4，5，一 2，6) T 其余 Ax=0 的解向量均可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，则Ax=0 的基础解系为 ( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 B. 1 ， 2 ， 3 C. 2 ， 3 ， 4 D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 解析：解析：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的极大线性无关组为
13、 Ax=0 的基础解系因为 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= 7.设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则矩阵 AB 2 是对称阵，反对称阵，可逆阵，正定阵，四个结论中，正确的个数是 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：因 (AB T ) T =A T +(一 B)B T =A T +(B T B) T =A T +B T B=AB 2 ， 故 AB T 是对称阵 又任给 x0，则有 x T (AB 2 )x=x T Axx T (一 B) T Bx=x T Ax+(Bx) T Bx， A 正定，x T Ax0，(Bx) T (Bx)0则 x T
14、(AB 2 )x0，故 AB 2 是正定阵 AB 2 是正定阵，则 AB 2 是可逆阵，故结论，正确，应选(C)8.将一枚均匀硬币连续抛 n 次，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“正面和反面各至少出现一次”，则 ( )（分数：2.00）A.当 n=2 时，A 与 B 相互独立B.当 n=2 时，AC.当 n=2 时，A 与 B 互不相容D.当 n=3 时，A 与 B 相互独立 解析：解析：当 n=2 时， 由 P(AB)P(A)P(B)知，A 与 B 不独立又 P(A)P(B)，知 A ，所以A 与 B 不互斥 当 n=3 时，9.设总体 XN(0， 2 )( 2 已知)，X 1
15、 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 XN(0， 2 )，所以 XiN(0， 2 )(i=1，n)， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设平面区域 D(t)=(x，y)0xy，0ty1，f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)+ln x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f 2）解析：解析：12.微分方程 y=(1 一 y 2 ) T an x 满足
16、y(0)=2 的特解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：分离变量，两边积分，得 改写任意常数并化简，得 y= 由初始条件 y(0)=2，得 C 1 = 。 所以特解为 y= 13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：作积分变量代换，令 =u，从而 上述极限存在且不为零的充要条件是 p=14.设 A 是 n 阶实对称矩阵，B，C 为 n 阶矩阵，满足条件 (A+2E)B=O，(A 一 3E)C=O， 且 r(B)=r(0rn)，r(B)+r(C)=n则二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX
17、 的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 +y 2 2 +y n 2 一 y nr+1 2 一一 y n 2）解析：解析：因(A+2E)B=O，r(B)=r，则 B 中列向量组的极大线性无关组向量个数为 r，且该极大线性无关组是(A+2E)X=0 的解，设为 1 ， 2 ， 3 ，也是 A 的对应于特征值 =一 2 的线性无关的特征向量 又(A 一 3E)C=O，因 r(C)=n 一 r(B)=n 一 r，故 C 中列向量组的极大线性无关组向量个数为 n 一 r，且该极大线性无关组是(A 一 3E)X=0 的解，也是 A 的对应于特征值 =3 的线性无
18、关的特征向量，记为 1 ， 2 ， nr ，故 X T AX 的正惯性指数为 n 一 r，负惯性指数为 r 故知 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 +y n 2 一 y nr+1 2 一一 y n 2 15.设(X，Y)的联合分布律如下，且 X 和 Y 相互独立， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：求 a，b 的值有两种方法 法一 利用独立性定义，有 因为 PX=2，Y=1=PX=2PY=1，故有 ； 法二 由联合概率矩阵 的秩等于 1，可知矩阵任两行(或两列)成比例，由第 2 列知第 1 行是第 2
19、行的 倍，所以 由第 1 行知第 3 列是第 2 列的 2 倍，所以 b= 故(X，Y)的联合分布律为三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.()设 0x+，证明存在 ，01，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()取 f(x)= ，由拉格朗日中值定理有 f(x+1)一 f(x)=f()(x+1 一 x)， 即 其中 xx+1，=x+，01 ()解 所以 (x)在区间(0，+)上严格单调增加又 )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将题给积分拆成两项并将第 1 项交换积分次序
20、： 于是可以用洛必达法则计算下面极限： )解析：19.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D求 ()D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ()a 为何值时，V(a)取到最大值?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=ax 2 与 y=1 一 x 2 的交点为 )解析：20.求由方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz 一 z+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y)=2x
21、 2 +2y 2 +z 2 +8xz 一 z+8，且 解得 y=0，4x+8z=0，再与 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xzz+8=0 联立解得两组解： (x，y，z) 1 =(一 2，0，1)；(x，y，z) 2 =( ) 再求二阶导数并将两组解分别代入，得 所以在第一组点处，B 2 一 AC0，A= 0，故 z=1为极小值；在第二组点处，B 2 一 AC0，A=一 )解析：21.设微分方程及初始条件为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()改写所给方程为 y一(2x )y=x 2 ， 由一阶线性微分方程通解公式得通解 由初始条件 y(1)=y 1 ，得 C=(y 1 +1)e
22、 -1 ，得初值问题的特解为 ()若 y 1 一1，则 =，无斜渐近线若 y 1 =一 1，则 )解析：22.设 3 阶矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 ABr(A)=r(B) 由 B= ，知 r(B)=2 显然，当 t=0 时，有r(A)=r(B)=2，AB ()EC= =( 一 2)( 一 2) 2 一 1=( 一 2)( 一 3)( 一 1)，则 C 有三个不同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，且存在可逆矩阵 P，使得 P -1 CP= E一 A= =(t)( 一 2) 2 1=( 一 t)( 一 3)( 一 1) 当 t=2 时，A 有与 C 一
23、样的三个不同的特征值故知，当 t=2 时，有可逆矩阵 Q，使得 Q -1 AQ= )解析：23.设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行第 j 列元素 a ij =ij(i，j=1，2，n)B 是 n 阶矩阵，B 的第 i 行第 j 列元素 b ij =i(i=1，2，n) 证明：A 相似于 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知 A 各行元素成比例，故 r(A)=1，=0 是 A 的 n 一 1 重特征值；A 的非零特征值为 n = ，且 A 是实对称矩阵，故 B 各行元素成比例，故 r(B)=1，=0是 B 的 n 一 1 重特征值，B 的非零特征值为 n = B 对应于
24、 =0 有 n 一 1 个线性无关特征向量，故知存在可逆矩阵 P，使得 P -1 P= 故 BA由相似关系的传递性，得证 A )解析：24.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 p 的几何分布(0p1)，令 Z=X+Y，求：()Z 的概率分布；()X 与 Z 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()X 与 Y 相互独立且都服从参数为 p 的几何分布，PX=k=p(1 一 p) k1 ，k=1，2， 故 Z=X+Y 的取值为 2，3，则 =(z 一 1)p 2 (1 一 p) z2 ，z=2，3， ()X 与 Y 相互独立，有 D(X+Y)=DX+DY，Cov(X，Y)=0则 )解析：25.设总体 X 的概率密度 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()因为似然函数为 于是当 x i ，i=1，n 时，ln L=nln 一 ，由于 可知 ln L 关于 单调增加，即 L(x 1 ，x n ；，)关于 单调增加，又因为 (一， x i ， 故 的最大似然估计量为 解得 的最大似然估计量为 )解析：
