1、考研数学（数学三）模拟试卷 472 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.B.a=1C.a=2D.a=33.设 f(x)在0，1上连续，又 F(x)= （分数：2.00）A.F(x+)F(x)(x(一，+)B.F(x+)F(x)(x(一，+)C.F(x+)=F(x)(x(一，+)D.x0 时 F(x+)F(x)，x0 时 F(x+)F(x)4.设 D=(x，y)|x+y1，x 2 +y 2 1，则 的值为 （分数：2
2、.00）A.B.C.D.5.已知幂级数 （分数：2.00）A.a=1B.a=一 1C.一 1a1D.一 1a16.设 A= （分数：2.00）A.a2B.a2C.0a2D.a07.n 维向量组(I) 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t 等价的充分必要条件是（分数：2.00）A.r(I)=r()，并且 s=tB.r(I)=r()=nC.r(I)=r()，并且(I)可以用()线性表示D.(I)和()都线性无关，并且 s=t8.袋中有 2 个白球和 1 个红球现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为 （分数：2.00）A.B.C.D.9.
3、设 是取自同一正态总体 N(， 2 )的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足 （分数：2.00）A.4B.8C.12D.24二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.与曲线(y 一 2) 2 =x 相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直，则此直线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.将抛物线 y=x 2 一 x 与 x 轴及直线 x=c(c1)所围成平面图形绕 x 轴旋转一周，所得旋转体的体积 V x 等于弦 op(p 为抛物线与直线 x=c 的交点)绕 x 轴旋转所得锥体的体积 V 锥 ，则 c 的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(
4、x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.二阶微分方程 y“+y=10e 2x 满足条件 y(0)=0，y(0)=1 的特解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_15.一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率 p i = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 F(x)= 0 1 (1 一 t)ln(1+xt)dt(x一 1)，求 F(x)(x一 1，x0)并讨论 F(x)在(一
5、 1，+)上的连续性（分数：2.00）_18.(I)设 f(x)= 求f(x)dx； （分数：2.00）_19.过原点作曲线 的切线 L，该切线与曲线 （分数：2.00）_20.设积分区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 x+y，计算二重积分 （分数：2.00）_21.求证 f(x)=x(1 一 x)cosx 一(12x)sinx0 当 x （分数：2.00）_22.设 1 ， 2 ， s 和 1 , 2 ， t 都是 n 维列向量组，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， s )，B=( 1 ， 2 ， t ) 证明：存在矩阵 C，使得 AC=B 的充分必要条件是 r( 1 ， 2 ， s ； 1
6、 ， 2 ， t )=r( ， 2 ， s ) （分数：2.00）_23.已知 （分数：2.00）_24.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，方差 DX=4，而随机变量 Y 的密度函数为 2f(一 2y)，且 X 与 Y 的相关系数 （分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 一x+0是未知参数 (I)求 的矩估计量 ()求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 472 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只
7、有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.B.a=1C.a=2 D.a=3解析：解析： 3.设 f(x)在0，1上连续，又 F(x)= （分数：2.00）A.F(x+)F(x)(x(一，+)B.F(x+)F(x)(x(一，+)C.F(x+)=F(x)(x(一，+) D.x0 时 F(x+)F(x)，x0 时 F(x+)F(x)解析：解析：f(|sinx|)是以 为周期的周期函数，因而有 f|sin(x+)|=f(|sinx|)4.设 D=(x，y)|x+y1，x 2 +y 2 1，则 的值为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：D
8、由直线 x+y=1 与圆周 x 2 +y 2 =1 所围成(它位于第一象限)，如图 记 D 1 =(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，y0， D 2 =(x，y)|x+y1，x0，y0， 显然 D=D 1 D 2 ，于是 5.已知幂级数 （分数：2.00）A.a=1B.a=一 1 C.一 1a1D.一 1a1解析：解析：由 知该幂级数的收敛半径为 1，从而得其收敛区间为 |x 一 a|1，即 a 一1xa+1 又当 x 一 a=1 即 x=a+1 时，原级数为 收敛；当 xa=一 1 即 x=a 一 1 时， 原级数为6.设 A= （分数：2.00）A.a2B.a2C.0a2 D.a0解析
9、：解析：用顺序主子式 A 的 3 个顺序主子式为 2，4 一 a 2 ，2a 一 a 2 ，它们都大于 0 的条件是0a27.n 维向量组(I) 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t 等价的充分必要条件是（分数：2.00）A.r(I)=r()，并且 s=tB.r(I)=r()=nC.r(I)=r()，并且(I)可以用()线性表示 D.(I)和()都线性无关，并且 s=t解析：解析：(I)与()等价的充分必要条件是 r(I)=r()=r(I，)? (A)缺少条件 r(I，)=r(I) (B)是(I)与()等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数 (D)(I)和()都无关不
10、能得到它们互相可以线性表示，例如 (I)： 1 =(1，0，0，0)， 2 =(0，1，0，0)，()： 1 =(0，0，1，0)，设 2 =(0，0，0，1)? (I)和()都无关，并且 s=t=2，但是(I)和()不等价 (C)(I)可以用()线性表示，则 r()=r(I，)8.袋中有 2 个白球和 1 个红球现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设 A i 表示第 i 次取到白球，i=1，2，n，则 由乘法公式可得 9.设 是取自同一正态总体 N(， 2 )的两个相互独立且容量相同的简单
11、随机样本的两个样本均值，则满足 （分数：2.00）A.4B.8 C.12D.24解析：解析：因总体服从正态分布 N(， 2 )，则 ，且 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.与曲线(y 一 2) 2 =x 相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直，则此直线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对曲线方程求导，2(y 一 2)y=1，故 当 y=3 时，y= ，即曲线在点(1，3)处的法线斜率为一 2，由 代入曲线方程，有 所以切点坐标为 故直线方程为11.将抛物线 y=x 2 一 x 与 x 轴及直线 x=c(c1)所围成平面图形绕 x
12、轴旋转一周，所得旋转体的体积 V x 等于弦 op(p 为抛物线与直线 x=c 的交点)绕 x 轴旋转所得锥体的体积 V 锥 ，则 c 的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：图形如右图所示 V x = 0 c y 2 dx= 0 c (x 2 一 x) 2 dx = 0 c (x 4 一 2x 3 +x 2 )dx 12.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，由 是“1 ”型未定式，故 当 x=0 时，应用定积分定义求极限，有 13.二阶微分方程 y“+y=10e 2x 满足条件 y(0
13、)=0，y(0)=1 的特解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2x 一 2cosx 一 3sinx）解析：解析：本题中微分方程的特征方程是 2 +1=0，特征根是 =i 与 =一 i，由方程的右端项 10e 2x 即知可设方程具有形式为 y*=Ae 2x 的特解，从而方程通解的形式为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+Ae 2x 计算可得 y”=一 C 1 cosxC 2 sinx+4Ae 2x 把 y 与 y“代入方程就有 y”+y=5Ae 2x 令 5A=10 即 A=2 即得方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+2e 2x 分
14、别令 y(0)=C 1 +2=0 与 y(0)=C 2 +4=1 又可确定常数C 1 =一 2，C 2 =一 3故所求的特解是 y=2e 2x 一 2cosx 一 3sinx14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，所以条件说明 A 的三个特征值都相等，即 A有一个 3 重特征值 3=tr(A)=3，于是 =1 有 |EA|=( 一 1) 3 15.一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率 p i = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）
15、解析：解析：以 A i 表示第 i 个零件合格，i=1，2，3，A i 相互独立，于是有 以 X 表示 3 个零件中合格品的个数，则 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 F(x)= 0 1 (1 一 t)ln(1+xt)dt(x一 1)，求 F(x)(x一 1，x0)并讨论 F(x)在(一 1，+)上的连续性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先将 F(x)转化为变限积分，令 s=xt，则 下面讨论 F(x)的连续性因ln(1+s)，sln(1+s)当 s一 1 时连续，于是由式及变限积分的连
16、续性与连续性运算法则知当 x一 1且 x0 时 F(x)连续余下只需再求 F(0)并考察 F(x)在点 x=0 处的连续性 注意 F(0)=0，且从而 F(x)在点 x=0 处连续又 )解析：18.(I)设 f(x)= 求f(x)dx； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)用拼接法 )解析：19.过原点作曲线 的切线 L，该切线与曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)设切线的切点为(x 0 ，y 0 )，则切线的斜率为 y(x 0 )= 所以切线 L的方程为 其中 因 L 过(0，0)点，把 x=0，y=0 代入上述方程得 即 x 0 =2，y 0 =e 因此所求切
17、线 L 的方程为 ()平面图形 D 如右图 取积分变量为 t设 y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积为 V 1 ，它是锥体， (x0，2)即 x=2lny(y1，e)，y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 V 2 ，则 V=V 1 一 V 2 ， V 2 = 1 e (2lny) 2 dy=4yln 2 y| 1 e 1 e y.2lny. =4e 一 2 1 e lnydy=4e 一 2ylny| 1 e +2 1 e dy =4e 一 2e+2(e 一 1)=4(e 一 2) 因此 V=V 1 一 V 2 = )解析：20.设积分区域 D=(x，y
18、)|x 2 +y 2 x+y，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 x 2 +y 2 x+y 可改写为 令 则可把区域 D 表示为 而且 因为 DI 关于 u=0 或 v=0 都对称，而 分别是关于 u 或关于 v 的奇函数，故 在 D 1 中作极坐标变换，即令 u=rcos，v=rsin，就有 )解析：21.求证 f(x)=x(1 一 x)cosx 一(12x)sinx0 当 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意 f(x)在 上连续，且 f(0)= =0先求 f(x) =- 2 x(1 一 x)sinx+(12x)cosx 一 (12x)cosx+2si
19、nx =2 2 x(1 一 x)sinx g(x)sinx，其中 g(x)=2 一 2 x(1 一 x) 显然，f(x)的正负号取决于 g(x)的正负号，用单调性方法判断 g(x)的符号由于 g(x)=一 2 (12x)0 故 g(x)在 从而存在唯一的 x 0 使 g(x 0 )=0又由 )解析：22.设 1 ， 2 ， s 和 1 , 2 ， t 都是 n 维列向量组，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， s )，B=( 1 ， 2 ， t ) 证明：存在矩阵 C，使得 AC=B 的充分必要条件是 r( 1 ， 2 ， s ； 1 ， 2 ， t )=r( ， 2 ， s ) （分数：2.00）
20、_正确答案：(正确答案：根据向量组秩的性质， r( 1 ， 2 ， s ； 1 ， 2 ， t )=r( 1 , 2 ， s ) 1 ， 2 ， t 可以用 1 ， 2 ， s 线性表示 如果矩阵 C 使得 AC=B，记 C 的(i，j)位元素为 c ij ,则 j =c 1j 1 +c 2j 2 +c sj s ，j=1，2，s 从而 1 ， 2 ， t 可以用 1 ， 2 ， s 线性表示 反之，如果 1 ， 2 ， t 可以用 1 ， 2 ， s 线性表示，设 j =c 1j 1 +c 2j 2 +c sj s ，j=1，2，s 记 C 的(i,j)位元素为 c ij 的 st 的矩阵，
21、则由矩阵乘法的定义，AC=B )解析：23.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于两个矩阵相似的有关性质是： 相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件因此本题应该从计算特征值下手 =(+1)( 2 一 2 一 3)=(+1) 2 ( 一 3)， A 的特征值为一 1，一 1，3 = ( 一 3)( 2 +2+1) =( 一 3)(+1) 2 B 的特征值也是一 1，一 1，3 再看 3 它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2重特征值一 1 有没有两个线性无关的特征向量，也就是看 r(A+E)和 r(B+E)是否为 1 r(A+E)=1，
22、因此 A 有属于特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，A 相似于对角矩阵 )解析：24.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，方差 DX=4，而随机变量 Y 的密度函数为 2f(一 2y)，且 X 与 Y 的相关系数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)EZ=E(X+2Y)=EX+2EY= - + xf(x)dx+2 - + y.2f(一 2y)dy = - + xf(x)dx+ - + (一 2y)f(一 2y)d(一 2y) - + xf(x)dx+ + - tf(t)dt=0， 由此可知，EZ=0，EY= 又 DY=EY 2 一(EY) 2 ，而 ()由切比雪夫不等式 )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 一x+0是未知参数 (I)求 的矩估计量 ()求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
