1、 2013 年山东省菏泽市中考数学试卷 一、选择题 1.（ 3 分）如果 a 的倒数是 1，那么 a2013等于（ ） A.1 B. 1 C.2013 D. 2013 解析 ： （ 1） （ 1） =1， 1 的倒数是 1， a= 1， a 2013=（ 1） 2013= 1. 答案： B 2.（ 3 分）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 120 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A.15 或 30 B.30 或 45 C.45 或 60 D.30 或 60 解析 ： 四边形 ABCD 是菱形， ABD= ABC ， BAC= BAD ， AD
2、BC ， BAD=120 ， ABC=180 BAD=180 120=60 ， ABD=30 ， BAC=60 . 剪口与折痕所成的角 a 的度数应为 30 或 60 . 答案： D. 3.（ 3 分）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： A、另一底面的三角形是直角三角形，两底面的三角形不全等，故本选项错误； B、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误； C、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确； D、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误 . 答案： C. 4.（ 3 分）在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动
3、员的成绩如下表所示： 成绩（ m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ） A.1.70， 1.65 B.1.70， 1.70 C.1.65， 1.70 D.3， 4 解析 ：在这一组数据中 1.65 是出现次数最多的， 故众数是 1.65； 在这 15 个数中，处于中间位置的第 8 个数是 1.70，所以中位数是 1.70. 所以这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是 1.70， 1.65. 答案： A. 5.（ 3 分）如图，数轴上的 A、 B、 C 三点所表示的数分别是 a、 b、 c，其中
4、AB=BC，如果 |a| |b| |c|，那么该数轴的原点 O 的位置应该在（ ） A.点 A 的左边 B.点 A 与点 B 之间 C.点 B 与点 C 之间 D.点 B 与点 C 之间或点 C 的右边 解析 ： |a| |b| |c|， 点 A 到原点的距离最大，点 B 其次，点 C 最小， 又 AB=BC ， 原点 O 的位置是在点 C 的右边，或者在点 B 与点 C之间，且靠近点 C的地方 . 答案： D. 6.（ 3 分）一条直线 y=kx+b，其中 k+b= 5， kb=6，那么该直线经过（ ） A.第二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、三象限 D.第二、三、四象限 解析 ：
5、 k+b= 5、 kb=6， k 0， b 0 直线 y=kx+b 经过二、三、四象限， 答案： D. 7.（ 3 分）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2的值为（ ） A.16 B.17 C.18 D.19 解析 ：如图，设正方形 S2的边长为 x， 根据等腰直角三角形的性质知， AC= x， x= CD， AC=2CD ， CD= =2， EC 2=22+22，即 EC= ； S 2的面积为 EC2= =8； S 1的边长为 3， S1的面积为 33=9 ， S 1+S2=8+9=17. 答案 ： B. 8.（ 3 分）已知
6、b 0 时，二次函数 y=ax2+bx+a2 1 的图象如下列四个图之一所示 .根据图象解析 ， a 的值等于（ ） A. 2 B. 1 C.1 D.2 解析 ：由图可知，第 1、 2 两个图形的对称轴为 y 轴，所以 x= =0， 解得 b=0， 与 b 0 相矛盾； 第 3 个图，抛物线开口向上， a 0， 经过坐标原点， a2 1=0， 解得 a1=1， a2= 1（舍去）， 对称轴 x= = 0， 所以 b 0，符合题意， 故 a=1， 第 4 个图，抛物线开口向下， a 0， 经过坐标原点， a2 1=0， 解得 a1=1（舍去）， a2= 1， 对称轴 x= = 0， 所以 b 0
7、，不符合题意， 综上所述， a 的值等于 1. 答案： C. 二、填空题 9.（ 3 分）明明同学在 “ 百度 ” 搜索引擎输入 “ 钓鱼岛最新消息 ” ，能搜索到与之相关的结果个数约为 4680000，这个数用科学记数法表示为 . 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案 ： 4.6810 6. 10.（ 3 分）在半径为 5 的圆中， 30 的圆心角所对的弧长
8、为 （结果保留 ） . 解析 ： L= = = . 答案： 11.（ 3 分）分解因式： 3a2 12ab+12b2= . 解析 ： 3a2 12ab+12b2=3（ a2 4ab+4b2） =3（ a 2b） 2. 答案 ： 3（ a 2b） 2. 12.（ 3 分）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的 “ 面线 ” ， “ 面线 ” 被这个平面图形截得的线段叫做该图形的 “ 面径 ” （例如圆的直径就是它的“ 面径 ” ） .已知等边三角形的边长为 2，则它的 “ 面径 ” 长可以是 （写出 1 个即可） . 解析 ：如图， （ 1）等边三角形的高 AD 是最
9、长的面径， AD= 2= ； （ 2）当 EFBC 时， EF 为最短面径， 此时，（ ） 2= ， 即 = ， 解得 EF= . 所以，它的面径长可以是 （或介于 和 之间的任意两个实数） . 答案 ： （或介于 和 之间的任意两个实数） . 13.（ 3 分）如图， ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E， AEB=45 ， BD=2，将 ABC 沿AC 所在直线翻折 180 到其原来所在的同一平面内，若点 B 的落点记为 B ，则 DB 的长为 . 解析 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， BD=2， BE= BD=1. 如图 2，连接 BB . 根据折叠的性质知， AEB
10、=AEB=45 ， BE=BE . BEB=90 ， BBE 是等腰直角三角形， 则 BB= BE= . 又 BE=DE ， BEBD ， DB=BB= . 答案 ： . 14.（ 3 分）如图所示，在 ABC 中， BC=6， E、 F 分别是 AB、 AC 的中点，动点 P 在射线 EF上， BP 交 CE 于 D， CBP 的平分线交 CE 于 Q，当 CQ= CE时， EP+BP= . 解析 ：如图，延长 BQ 交射线 EF 于 M， E 、 F 分别是 AB、 AC 的中点， EFBC ， M=CBM ， BQ 是 CBP 的平分线， PBM=CBM ， M=PBM ， BP=PM
11、， EP+BP=EP+PM=EM ， CQ= CE， EQ=2CQ ， 由 EFBC 得， MEQBCQ ， = =2， EM=2BC=26=12 ， 即 EP+BP=12. 答案 ： 12. 三、 解答 题 15.（ 12 分）（ 1）计算： （ 2）解不等式组 ，并指出它的所有非负整数解 . 解析 ：（ 1）求出每部分的值，再代入求出即可； （ 2）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可 . 答案 ：（ 1）原式 = 3 +1+2 + =2+ ； （ 2） 解不等式 得： x 2， 解不等式 得： x ， 不等式组的解集为 2 x ， 不等式组的非负整数解为 0， 1， 2
12、. 16.（ 12 分）（ 1）如图，在 ABC 中， AB=CB， ABC=90 ， D 为 AB 延长线上一点，点 E 在BC 边上，且 BE=BD，连结 AE、 DE、 DC. 求证： ABECBD ； 若 CAE=30 ，求 BDC 的度数 . （ 2）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场 .现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍 . 根据以上
13、信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品 . 解析 ：（ 1） 求出 ABE=CBD ，然后利用 “ 边角边 ” 证明 ABE 和 CBD 全等即可； 先根据等腰直角三角形的锐角都是 45 求出 CAB ，再求出 BAE ，然后根据全等三角形对应角相等求出 BCD ，再根据直角三角形两 锐角互余其解即可； （ 2）设甲工厂每天能加工 x 件产品，表示出乙工厂每天加工 1.5x 件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多 10 天列出方程求解即可 . 答案 ：（ 1） ABC=90 ， D 为 AB 延长线上一点， ABE=CBD=90 ， 在 ABE 和 CBD 中， ， A
14、BECBD （ SAS）； AB=CB ， ABC=90 ， CAB=45 ， CAE=30 ， BAE=CAB CAE=45 30=15 ， ABECBD ， BCD=BAE=15 ， BDC=90 BCD=90 15=75 ； （ 2）设甲工厂每天能加工 x 件产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件产品， 根据题意得， =10， 解得 x=40， 经检验， x=40 是原方程的解，并且符合题意， 1.5x=1.540=60 ， 答：甲、乙两个工厂每天分别能加工 40 件、 60 件新产品 . 17.（ 14分）（ 1）已知 m是方程 x2 x 2=0的一个实数根，求代数式的值 . （ 2）如
15、图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= x 的图象与反比例函数 的图象交于 A、 B 两点 . 根据图象求 k 的值； 点 P 在 y 轴上，且满足以点 A、 B、 P 为顶点的三角形是直角三角形，试写出点 P 所有可能的坐标 . 解析 ：（ 1）根据方程的解得出 m2 m 2=0， m2 2=m，变形后代入求出即可； （ 2） 求出 A 的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可； 以 A 或 B 为直角顶点求出 P 的坐标是（ 0， 2）和（ 0， 2），以 P为直角顶点求出 P的坐标是（ 0， ），（ 0， ） . 答案 ：（ 1） m 是方程 x2 x 2=0 的根， m 2 m
16、 2=0， m2 2=m， 原式 =（ m2 m）（ +1） =2 （ +1） =4； （ 2） 把 x= 1 代入 y= x 得： y=1， 即 A 的坐标是（ 1， 1）， 反比例函数 y= 经过 A 点， k= 11= 1； 点 P 的所有可能的坐标是（ 0， ），（ 0， ），（ 0， 2），（ 0， 2） . 18.（ 10 分）如图， BC 是 O 的直径， A 是 O 上一点，过点 C 作 O 的切线，交 BA的延长线于点 D，取 CD 的中点 E， AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P. （ 1）求证： AP 是 O 的切线； （ 2） OC=CP， AB=6，求 CD
17、的长 . 解析 ： （ 1）连接 AO， AC（如图） .欲证 AP 是 O 的切线，只需证明 OAAP 即可； （ 2）利用（ 1）中切线的性质在 RtOAP 中利用边角关系求得 ACO=60 .然后在 RtBAC 、RtACD 中利用余弦三角函数的定义知 AC=2 ， CD=4. 答案 ： （ 1）连接 AO， AC（如图） . BC 是 O 的直径， BAC=CAD=90 . E 是 CD 的中点， CE=DE=AE . ECA=EAC . OA=OC ， OAC=OCA . CD 是 O 的切线， CDOC . ECA+OCA=90 . EAC+OAC=90 . OAAP . A 是
18、O 上一点， AP 是 O 的切线； （ 2）解：由（ 1）知 OAAP . 在 RtOAP 中， OAP=90 ， OC=CP=OA，即 OP=2OA， sinP= = ， P=30 . AOP=60 . OC=OA ， ACO=60 . 在 RtBAC 中， BAC=90 ， AB=6， ACO=60 ， AC= =2 ， 又 在 RtACD 中， CAD=90 ， ACD=90 ACO=30 ， CD= = =4. 19.（ 10 分）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为 a， b， c，并且设置了相应的垃圾箱， “ 厨余垃圾 ” 箱、 “ 可
19、回收物 ” 箱和 “ 其他垃圾 ” 箱，分别记为 A， B， C. （ 1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率； （ 2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总 1 000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： A B C a 400 100 100 b 30 240 30 c 20 20 60 试估计 “ 厨余垃圾 ” 投放正确的概率 . 解析 ：（ 1）根据题意画出树状图，由树状图可知总数为 9，投放正确有 3 种，进而求出垃圾投放正确的概率； （ 2）由题意和概率的定义易得所求概率 . 答案 ： （ 1）三类垃圾随机投入三类
20、垃圾箱的树状图如下： 由树状图可知垃圾投放正确的概率为 ； （ 2） “ 厨余垃圾 ” 投放正确的概率为 . 20.已知：关于 x 的一元二次方程 kx2（ 4k+1） x+3k+3=0 （ k 是整数） . （ 1）求证：方程有两个不相等的实数根； （ 2）若方程的两个实数根分别为 x1， x2（其中 x1 x2），设 y=x2 x1 2，判断 y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由 . 解析 ： （ 1）根据一元二次方程的定义得到 k0 ，再计算出判别式得到 = （ 2k 1） 2，根据 k 为整数和非负数的性质得到 0，则根据判别式的意义即可得到结论； （
21、 2）根据根与系数的关系得 x1+x2= ， x1x2= ，则根据完全平方公式变形得 （ x1 x2） 2=（ x1+x2） 2 4x1x2= = =（ 2 ） 2， 由于 k 为整数，则 2 0，所以 x2 x1=2 ，则 y=2 2= . 答案 ： （ 1）证明：根据题意得 k0 ， = （ 4k+1） 2 4k（ 3k+3） =4k2 4k+1=（ 2k 1） 2， 而 k 为整数， 2k 10 ， （ 2k 1） 2 0，即 0， 方程有两个不相等的实数根； （ 2）解： y 是变量 k 的函数 . x 1+x2= ， x1x2= ， （ x1 x2） 2=（ x1+x2） 2 4x1
22、x2= = =（ 2 ） 2， k 为整数， 2 0， 而 x1 x2， x 2 x1=2 ， y=2 2 = （ k0 的整数）， y 是变量 k 的函数 . 21.（ 10 分）如图，三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、 C 分别是一次函数 y= x+3 的图象与 y 轴、 x 轴的交点，点 B 在二次函数 的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形 . （ 1）试求 b， c 的值，并写出该二次函数表达式； （ 2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问： 当 P 运动到何处时，有
23、 PQAC ？ 当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？ 解析 ： （ 1）根据一次函数解析式求出点 A、点 C 坐标，再由 AB C 是等腰三角形可求出点B 坐标，根据平行四边形的性性质求出点 D 坐标，利用待定系数法可求出 b、 c 的值，继而得出二次函数表达式 . （ 2） 设点 P 运动了 t 秒时， PQAC ，此时 AP=t， CQ=t， AQ=5 t，再由 APQCAO ，利用对应边成比例可求出 t 的值，继而确定点 P 的位置； 只需使 APQ 的面积最大，就能满足四边形 PDCQ 的面积最小，设 APQ 底边 AP 上的高为h，
24、作 QHAD 于点 H，由 AQHCAO ，利用对应边成比例得出 h 的表达式，继而表示出 APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形 PDCQ 的最小值，也可确定点 P 的位置 . 答案 ：（ 1）由 y= x+3， 令 x=0，得 y=3，所以点 A（ 0， 3）； 令 y=0，得 x=4，所以点 C（ 4， 0）， ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形， B 点坐标为（ 4， 0）， 又 四边形 ABCD 是平行四边形， D 点坐标为（ 8， 3）， 将点 B（ 4， 0）、点 D（ 8， 3）代入二次函数 y= x2+bx+c，可得 ， 解得： ， 故该二次函数解析式为
25、： y= x2 x 3. （ 2） OA=3 ， OB=4， AC=5 . 设点 P 运动了 t 秒时， PQAC ，此时 AP=t， CQ=t， AQ=5 t， PQAC ， AQP=AOC=90 ， PAQ=ACO ， APQCAO ， = ，即 = ， 解得： t= . 即当点 P 运动到距离 A 点 个单位长度处，有 PQAC . S 四边形 PDCQ+SAPQ =SACD ，且 SACD = 83=12 ， 当 APQ 的面积最大时，四边形 PDCQ 的面积最小， 当动点 P 运动 t 秒时， AP=t， CQ=t， AQ=5 t， 设 APQ 底边 AP 上的高为 h，作 QHAD 于点 H，由 AQHCAO 可得： = ， 解得： h= （ 5 t）， S APQ = t （ 5 t） = （ t2+5t） = （ t ） 2+ ， 当 t= 时， SAPQ 达到最大值 ，此时 S 四边形 PDCQ=12 = ， 故当点 P 运动到距离点 A 个单位处时，四边形 PDCQ 面积最小，最小值为 .
