1、2013 年广西省玉林市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，满分 36分 ) 1.(3 分 )2 的相反数是 ( ) A. 2 B. -2 C. D. 解析 ： 2 的相反数为： -2. 答案： B. 2.(3 分 )若 =30 ，则 的补角是 ( ) A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 解析 ： 180 -30=150 . 答案： D. 3.(3 分 )我国第一艘航母 “ 辽宁舰 ” 最大排水量为 67500 吨，用科学记数法表示这个数字是( ) A. 6.7510 3吨 B. 67.510 3吨 C. 6.7510 4吨 D. 6.7510 5吨 解
2、析 ： 67 500=6.7510 4. 答案： C. 4.(3 分 )直线 c 与 a、 b 均相交，当 ab 时 (如图 )，则 ( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 1=2 D. 1+2=90 解析 ： ab ， 1=2 ， 答案： C. 5.(3 分 )在数轴上表示不等式 x+51 的解集，正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 不等式 x+51 ，解得： x -4，表示在数轴上，如图所示： 答案： B 6.(3 分 )已知一组从小到大的数据： 0， 4， x， 10 的中位数是 5，则 x=( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析 ： 一组从小到大的数据：
3、 0， 4， x， 10 的中位数是 5，则 (4+x)2=5 ， x=6； 答案： B. 7.(3 分 )某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体共用了 ( )小方块 . A. 12 块 B. 9 块 C. 7 块 D. 6 块 解析 ： 观察该几何体的三视图发现该几何体共有三层，第一层有三个，第二层有两个，第三层也有两个， 该几何体共有 3+2+2=7 个， 答案： C. 8.(3 分 )如图是某手机店今年 1-5 月份音乐手机销售额统计图 .根据图中信息，可以判断相邻两个月音乐手机销售额变化最大的是 ( ) A. 1 月至 2 月 B. 2 月至 3 月 C. 3 月至 4 月 D. 4
4、 月至 5 月 解析 ： 1 月至 2 月， 30-23=7 万元， 2 月至 3 月， 30-25=5 万元， 3 月至 4 月， 25-15=10 万元， 4 月至 5 月， 19-14=5 万元， 所以，相邻两个月中，音乐手机销售额变化最大的是 3 月至 4 月 . 答案： C. 9.(3 分 )方程 的解是 ( ) A. x=2 B. x=1 C. x= D. x=-2 解析 ： 去分母得： x+1-3(x-1)=0，去括号得： x+1-3x+3=0，解得： x=2，经检验 x=2 是分式方程的解 . 答案： A. 10.(3 分 )如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形 .甲、
5、乙两人的作法如下： 甲：连接 AC，作 AC 的垂直平分线 MN 分别交 AD， AC， BC 于 M， O， N，连接 AN， CM，则四边形 ANCM 是菱形 . 乙：分别作 A ， B 的平分线 AE， BF，分别交 BC， AD 于 E， F，连接 EF，则四边形 ABEF是菱形 . 根据两人的作法可判断 ( ) A. 甲正确，乙错误 B. 乙正确，甲错误 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误 解析 ： 甲的作法正确； 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， DAC=ACN ， MN 是 AC 的垂直平分线， AO=CO ，在 AOM 和 CON 中 ， AOMCON (AS
6、A)， MO=NO ， 四边形 ANCM 是平行四边形， ACMN ， 四边形 ANCM 是菱形；乙的作法正确； ADBC ， 1=2 ， 6=7 ， BF 平分 ABC ， AE 平分 BAD ， 2=3 ， 5=6 ， 1=3 ， 5=7 ， AB=AF ， AB=BE， AF=BE AFBE ，且 AF=BE， 四边形 ABEF 是平行四边形， AB=AF ， 平行四边形 ABEF 是菱形； 答案： C. 11.(3分 )一列数 a1， a2， a3， ，其中 a1= ， an= (n为不小于 2的整数 )，则 a100=( ) A. B. 2 C. -1 D. -2 解析 ： 根据题意
7、得， a2= =2， a3= =-1， a4= = ， a5= =2， ， 依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， 1003=331 ， a 100是第 34 个循环组的第一个数，与 a1相同，即 a100= . 答案： A. 12.(3 分 )均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满 .在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 因为水面高度开始增加的慢，后来增加的快，所以容器下面粗，上面细 . 答案： B. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18分 ) 13.(3 分 )|-1|= . 解析
8、： |-1|=1. 答案 ： 1. 14.(3 分 )化简： = . 解析 ： = = . 答案 ： . 15.(3 分 )分解因式： x2-9= . 解析 ： x2-9=(x+3)(x-3). 答案 ： (x+3)(x-3). 16.(3 分 )如图，实线部分是半径为 15m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是 m. 解析 ： 如图，连接 O1O2， CD， CO2， O 1O2=C02=CO1=15cm， C0 2O1=60 ， C0 2D=120 ， 则圆 O1， O2的圆心角为 360 -120=240 ， 则游泳池的周长为 =2 =2 =4
9、0 (m). 答案 ： 40 . 17.(3 分 )如图，在直角坐标系中， O 是原点，已知 A(4， 3)， P 是坐标轴上的一点，若以 O，A， P 三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 个，写出其中一个点 P的坐标是 . 解析 ： 如图所示，满足条件的点 P 有 8 个， 分别为 (5， 0)(8， 0)(0， 5)(0， 6)(-5， 0)(0， -5)(0， )( ， 0). 答案 ： 8； (5， 0)(答案不唯一，写出 8 个中的一个即可 ). 18.(3 分 )如图， ABC 是 O 内接正三角形，将 ABC 绕点 O 顺时针旋转 30 得到 DEF ，DE
10、分别交 AB， AC 于点 M， N， DF交 AC 于点 Q，则有以下结论： DQN=30 ； DNQANM ；DNQ 的周长等于 AC 的长； NQ=QC .其中正确的结论是 .(把所有正确的结论的序号都填上 ) 解析 ： 连结 OA、 OD、 OF、 OC、 DC、 AD、 CF，根据旋转的性质得 AOD=COF=30 ，再根据圆周角定理得 ACD=FDC=15 ，然后根据三角形外角性质得 DQN=QCD+QDC=30 ； 同理可得 AMN=30 ，由 DEF 为等边三角形得 DE=DF，则弧 DE=弧 DF，得到弧 AE=弧 DC，所以 ADE=DAC ，根据等腰三角形的性质有 ND=
11、NA，于是可根据 “AAS” 判断 DNQANM ；利用 QD=QC， ND=NA 可判断 DNQ 的周长等于 AC 的长；由于 NDQ=60 ， DQN=30 ，则DNQ=90 ，所以 QD NQ，而 QD=QC，所以 QC NQ. 答案： 连结 OA、 OD、 OF、 OC、 DC、 AD、 CF，如图， ABC 绕点 O 顺时针旋转 30 得到 DEF ， AOD=COF=30 ， ACD= AOD=15 ， FDC= COF=15 ， DQN=QCD+QDC=15+15=30 ，所以 正确； 同理可得 AMN=30 ， DEF 为等边三角形， DE=DF ， 弧 DE=弧 DF， 弧
12、AE+弧 AD=弧 DC+弧 CF，而弧 AD=弧 CF， 弧 AE=弧 DC， ADE=DAC ， ND=NA ， 在 DNQ 和 ANM 中 ， ， DNQANM (AAS)，所以 正确； ACD=15 ， FDC=15 ， QD=QC ，而 ND=NA， ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC ， 即 DNQ 的周长等于 AC 的长，所以 正确； DEF 为等边三角形， NDQ=60 ，而 DQN=30 ， DNQ=90 ， QD NQ， QD=QC ， QC NQ，所以 错误 . 答案 ： . 三、解答题 (共 8 小题，满分 66 分 ) 19.(6 分 )计算： +2cos60
13、-( -2-1)0. 解析 ： 分别进行三次根式的化简、零指数幂的运算，然后特殊角的三角函数值后合并即可得出答案 . 答案： 原式 =2+2 -1=2. 20.(6 分 )如图， AB=AE， 1=2 ， C=D .求证： ABCAED . 解析 ： 首先根据 1=2 可得 BAC=EAD ，再加上条件 AB=AE， C=D 可证明 ABCAED . 答案： 1=2 ， 1+EAC=2+EAC ， 即 BAC=EAD ， 在 ABC 和 AED 中， ， ABCAED (AAS). 21.(6 分 )已知关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根 -2， m.求 m， n的值 . 解析
14、： 利用根与系数的关系知 -2+m=-1， -2m=n，据此易求 m、 n 的值 . 答案： 关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根 -2， m， ， 解得， ，即 m， n 的值分别是 1、 -2. 22.(8 分 )某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为：可回垃圾、厨余垃圾、其他垃圾三类，分别记为 A， B， C：并且设置了相应的垃圾箱，依次记为 a， b， c. (1)若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱，请你用树形图的方法求垃圾投放正确的概率： (2)为了调查小区垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重 500kg 生活垃圾，数据如下 (单位： ) 试估计 “
15、 厨余垃圾 ” 投放正确的概率 . 解析 ： (1)根据题意画出树状图，由树状图可知总数为 9，投放正确有 3 种，进而求出垃圾投放正确的概率； (2)由题意和概率的定义易得所求概率 . 答案： (1)画树状图得： 共有 9 种情况，其中投放正确的有 3 种情况， 垃圾投放正确的概率： = ； (2)“ 厨余垃圾 ” 投放正确的概率为： = . 23.(9 分 )如图，以 ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A， B两点，且与 BC边交于点E， D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC. (1)求证： AC 是 O 的切线： (2)若 BF=8
16、， DF= ，求 O 的半径 r. 解析 ： (1)连接 OA、 OD，求出 D+OFD=90 ，推出 CAF=CFA ， OAD=D ，求出OAD+CAF=90 ，根据切线的判定推出即可； (2)OD=r， OF=8-r，在 RtDOF 中根据勾股定理得出方程 r2+(8-r)2=( )2，求出即可 . 答案： (1)连接 OA、 OD， D 为弧 BE 的中点， ODBC ， DOF=90 ， D+OFD=90 ， AC=FC ， OA=OD， CAF=CFA ， OAD=D ， CFA=OFD ， OAD+CAF=90 ， OAAC ， OA 为半径， AC 是 O 切线； (2)O 半
17、径是 r， OD=r ， OF=8-r， 在 RtDOF 中， r2+(8-r)2=( )2， r=6， r=2(舍 )；即 O 的半径 r 为 6. 24.(9 分 )工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到 800 ，然后停止煅烧进行锻造操作，经过 8min 时，材料温度降为 600 .煅烧时温度 y( )与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度 y( )与时间 x(min)成反比例函数关系 (如图 ).已知该材料初始温度是 32 . (1)分别求出材料煅烧和锻造时 y 与 x 的函数关系式，并且写出自变量 x 的取值范围； (2)根据工艺要求，当材料温度低
18、于 480 时，须停止操作 .那么锻造的操作时间有多长？ 解析 ： (1)首先根据题意，材料煅烧时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系；锻造操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式； (2)把 y=480 代入 y= 中，进一步求解可得答案 . 答案： (1)材料锻造时，设 y= (k0 )，由题意得 600= ，解得 k=4800， 当 y=800 时， 解得 x=6， 点 B 的坐标为 (6， 800) 材料煅烧时，设 y=ax+32(a0 )，由题意得 800=6a+32，解得 a=128， 材料煅烧时， y 与 x 的函数关系式为 y
19、=128x+32(0x6 ). 锻造操作时 y 与 x 的函数关系式为 y= (x 6). (2)把 y=480 代入 y= ，得 x=10， 10-6=4(分 )， 答：锻造的操作时间 4 分钟 . 25.(10 分 )如图，在直角梯形 ABCD 中， ADBC ， ADDC ，点 A 关于对角线 BD 的对称点 F 刚好落在腰 DC 上，连接 AF 交 BD 于点 E， AF的延长线 与 BC的延长线交于点 G， M， N分别是BG， DF 的中点 . (1)求证：四边形 EMCN 是矩形； (2)若 AD=2， S 梯形 ABCD= ，求矩形 EMCN 的长和宽 . 解析 ： (1)根据
20、轴对称的性质可得 AD=DF， DEAF ，然后判断出 ADF 、 DEF 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出 DAF=EDF=45 ，根据两直线平行，内错角相等求出 BGE=45 ，然后判断出 BGE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EMBC ， ENCD ，再根据矩形的判定证明即可； (2)判断出 BCD 是等腰直角三角形，然后根据梯形的面积求出 CD 的长，再根据等腰直角三角形的性质求出 DN，即可得解 . 答案： (1) 点 A、 F 关于 BD 对称， AD=DF ， DEAF ， 又 ADDC ， ADF 、 DEF 是等腰直角三角形， DAF=EDF=
21、45 ， ADBC ， G=GAD=45 ， BGE 是等腰直角三角形， M ， N 分别是 BG， DF 的中点， EMBC ， ENCD ， 又 ADBC ， ADDC ， BCCD ， 四边形 EMCN 是矩形； (2)由 (1)可知， EDF=45 ， BCCD ， BCD 是等腰直角三角形， BC=CD ， S 梯形 ABCD= (AD+BC) CD= (2+CD) CD= ，即 CD2+2CD-15=0，解得 CD=3， CD=-5(舍去 )， ADE 、 DEF 是等腰直角三角形， DF=AD=2 ， N 是 DF 的中点， EN=DN= DF= 2=1 ， CN=CD -DN=
22、3-1=2， 矩形 EMCN 的长和宽分别为 2， 1. 26.(12 分 )如图，抛物线 y=-(x-1)2+c 与 x 轴交于 A， B(A， B 分别在 y 轴的左右两侧 )两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，已知 A(-1， 0). (1)求点 B， C 的坐标； (2)判断 CDB 的形状并说明理由； (3)将 COB 沿 x轴向右平移 t个单位长度 (0 t 3)得到 QPE .QPE 与 CDB 重叠部分 (如图中阴影部分 )面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围 . 解析 ： (1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点
23、 B， C 的坐标； (2)分别求出 CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定 CDB 为直角三角形； (3)COB 沿 x 轴向右平移过程中，分两个阶段： (I)当 0 t 时，如答图 2 所示，此时重叠部分为一个四边形； (II)当 t 3 时，如答图 3 所示，此时重叠部分为一个三角形 . 答案： (1) 点 A(-1， 0)在抛物线 y=-(x-1)2+c 上， 0= -(-1-1)2+c，得 c=4， 抛物线解析式为： y=-(x-1)2+4， 令 x=0，得 y=3， C (0， 3)；令 y=0，得 x=-1 或 x=3， B (3， 0). (2)CDB 为直角三角形 .理
24、由如下：由抛物线解析式，得顶点 D 的坐标为 (1， 4). 如答图 1 所示，过点 D 作 DMx 轴于点 M，则 OM=1， DM=4， BM=OB-OM=2. 过点 C 作 CNDM 于点 N，则 CN=1， DN=DM-MN=DM-OC=1. 在 RtOBC 中，由勾股定理得： BC= = = ； 在 RtCND 中，由勾股定理得： CD= = = ； 在 RtBMD 中，由勾股定理得： BD= = = . BC 2+CD2=BD2， CDB 为直角三角形 (勾股定理的逆定理 ). (3)设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， B (3， 0)， C(0， 3)， ，解得 k=-1，
25、 b=3， y= -x+3， 直线 QE 是直线 BC 向右平移 t 个单位得到， 直线 QE的解析式为： y=-(x-t)+3=-x+3+t； 设直线 BD 的解析式为 y=mx+n， B (3， 0)， D(1， 4)， ，解得： m=-2， n=6， y= -2x+6. 连接 CQ 并延长，射线 CQ 交 BD 于点 G，则 G( ， 3). 在 COB 向右平移的过程中： (I)当 0 t 时，如答图 2 所示： 设 PQ 与 BC 交于点 K，可得 QK=CQ=t， PB=PK=3-t. 设 QE 与 BD 的交点为 F，则： ，解得 ， F (3-t， 2t). S=SQPE -SPBK -SFBE = PE PQ- PB PK- BE yF= 33 - (3-t)2- t 2t= t2+3t； (II)当 t 3 时，如答图 3 所示： 设 PQ 分别与 BC、 BD 交于点 K、点 J. CQ=t ， KQ=t ， PK=PB=3-t. 直线 BD 解析式为 y=-2x+6，令 x=t，得 y=6-2t， J (t， 6-2t). S=SPBJ -SPBK = PB PJ- PB PK= (3-t)(6-2t)- (3-t)2= t2-3t+ . 综上所述， S 与 t 的函数关系式为： S= .
