1、2014 年内蒙古呼和浩特市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.(3 分 )下列实数是无理数的是 ( ) A. -1 B. 0 C. D. 解析： A、是整数，是有理数，选项错误； B、是整数，是有理数，选项错误； C、正确； D、是分数，是有理数，选项错误 . 答案： C. 2.(3 分 )以下问题，不适合用全面调查的是 ( ) A. 旅客上飞机前的安检 B. 学校招聘教师，对应聘人员的面试 C. 了解全校学生的课外读书时间 D. 了解一批灯泡的使用寿命 解析： A、旅客上飞机前的安检，意
2、义重大，宜用全面调查，故此选项错误； B、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故此选项错误； C、了解全校同学课外读书时间，数量不大，宜用全面调查，故此选项错误； D、了解一批灯泡的使用寿，具有破坏性，工作量大，不适合全面调查，故 D 选项正确 . 答案： D. 3.(3 分 )已知线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 A(-1， 4)的对应点为 C(4， 7)，则点 B(-4，-1)的对应点 D 的坐标为 ( ) A. (1， 2) B. (2， 9) C. (5， 3) D. (-9， -4) 解析： 点 A(-1， 4)的对应点为 C(4， 7)， 平移规律为向右 5 个单位
3、，向上 3 个单位， 点 B(-4， -1)， 点 D 的坐标为 (1， 2). 答案： A. 4.(3 分 )如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为 ( ) A. 60 B. 70 C. 90 D. 160 解析： 观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内径为 3，外径为 4，高为 10， 所以其体积为 10(4 2 -32)=70 ， 答案： B. 5.(3 分 )某商品先按批发价 a 元提高 10%零售，后又按零售价降低 10%出售，则它最后的单价是 ( )元 . A. a B. 0.99a C. 1.21a D. 0.81a 解析： 由题意得 a(1+10%)(1-1
4、0%)=0.99a(元 ). 答案： B. 6.(3 分 )已知 O 的面积为 2 ，则其内接正三角形的面积为 ( ) A. 3 B. 3 C. D. 解析： 如图所示，连接 OB、 OC，过 O 作 ODBC 于 D， O 的面积为 2O 的半径为 ABC 为正三角形， BOC= =120 ， BOD= BOC=60 ， OB= ， BD=OBsinBOD= = ， BC=2BD= ， OD=OBcosBOD= cos60= ， BOC 的面积 = BCOD= = ， ABC 的面积 =3SBOC =3 = . 答案： C. 7.(3 分 )实数 a， b， c 在数轴上对应的点如图所示，则
5、下列式子中正确的是 ( ) A. ac bc B. |a-b|=a-b C. -a -b c D. -a-c -b-c 解析： 由图可知， a b 0 c， A 、 ac bc，故本选项错误； B、 a b， a -b 0， |a -b|=b-a，故本选项错误； C、 a b 0， -a -b，故本选项错误； D、 -a -b， c 0， -a-c -b-c，故本选项正确 . 答案： D. 8.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. = B. =a3 C. ( + )2( - )= D. (-a)9a 3=(-a)6 解析： A、原式 =3 =3 ，故本选项错误； B、原式 =|a|3，故
6、本选项错误； C、原式 = = = ，故本选项正确； D、原式 =-a9a 3=-a6，故本选项错误 . 答案： C. 9.(3 分 )已知矩形 ABCD 的周长为 20cm，两条对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 O 作 AC 的垂线 EF，分别交两边 AD， BC 于 E， F(不与顶点重合 )，则以下关于 CDE 与 ABF 判断完全正确的一项为 ( ) A. CDE 与 ABF 的周长都等于 10cm，但面积不一定相等 B. CDE 与 ABF 全等，且周长都为 10cm C. CDE 与 ABF 全等，且周长都为 5cm D. CDE 与 ABF 全等，但它们的周长和面积都不能
7、确定 解析： AO=CO ， EFAC ， EF 是 AC 的垂直平分线， EA=EC ， CDE 的周长 =CD+DE+CE=CD+AD= 矩形 ABCD 的周长 =10cm， 同理可求出 ABF 的周长为 10cm，根据全等三角形的判定方法可知： CDE 与 ABF 全等 。 答案： B. 点评： 本题考查了矩形的对角线互相平分的性质，还考查了线段垂直平分线的性质以及全 10.(3 分 )已知函数 y= 的图象在第一象限的一支曲线上有一点 A(a， c)，点 B(b， c+1)在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根 x1， x2判断正确的是( ) A.
8、x1+x2 1， x1x 2 0 B. x1+x2 0， x1x 2 0 C. 0 x1+x2 1， x1x 2 0 D. x1+x2与 x1x 2的符号都不确定 解析： 点 A(a， c)在第一象限的一支曲线上， a 0， c 0， 点 B(b， c+1)在该函数图象的另外一支上， b 0， c+1 0， c -1， x 1x 2= 0， x1+x2=- = ， 0 x1+x2 1， 答案： C. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 .本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程 ) 11.(3 分 )一个底面直径是 80cm，母线长为 90cm 的圆
9、锥的侧面展开图的圆心角的度数为 . 解析： 圆锥的底面直径是 80cm， 圆锥的侧面展开扇形的弧长为： d=80 ， 母线长 90cm， 圆锥的侧面展开扇形的面积为： lr= 8090=3600 ， =3600 ，解得： n=160. 答案： 160. 12.(3 分 )某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下： 10， 10， 12， x， 8. 已知这组数据的平均数是 10，那么这组数据的方差是 . 解析： 这组数据的平均数是 10， (10+10+12+x+8)5=10 ，解得： x=10， 这组数据的方差是 3(10 -10)2+(12-10)2+(8-10)2=1.6； 答案： 1.6.
10、 13.(3 分 )等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36 ，则该等腰三角形的底角的度数为 . 解析： 在三角形 ABC 中，设 AB=AC， BDAC 于 D. 若是锐角三角形， A=90 -36=54 ，底角 =(180 -54)2=63 ； 若三角形是钝角三角形， BAC=36+90=126 ，此时底角 =(180 -126)2=27. 所以等腰三角形底角的度数是 63 或 27. 14.(3 分 )把多项式 6xy2-9x2y-y3因式分解，最后结果为 . 解析： 6xy2-9x2y-y3=-y(y2-6xy+9x2)=-y(3x-y)2. 答案： -y(3x-y)2. 15.(3
11、 分 )已知 m， n 是方程 x2+2x-5=0 的两个实数根，则 m2-mn+3m+n= . 解析： m 、 n 是方程 x2+2x-5=0 的两个实数根， 且一元二次方程的求根公式是 解得： m= -1， n=-1- 或者 m=-1- ， n= -1， 将 m= -1、 n=-1- 代入 m2-mn+3m+n=8； 将 m=-1- 、 n= -1 代入 m2-mn+3m+n=8； 答案： 8. 16.(3 分 )以下四个命题： 每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形 . 当 m 0 时， y=-mx+1 与 y= 两个函数都是 y 随着 x 的增大而减小 . 已知正方形的对称中心在
12、坐标原点，顶点 A， B， C， D 按逆时针依次排列，若 A 点坐标为(1， ，则 D 点坐标为 (1， . 在一个不透明的袋子中装有标号为 1， 2， 3， 4 的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于 4 的概率为 . 其中正确的命题有 (只需填正确命题的序号 ) 解析： 每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形，正确 . 当 m 0 时， -m 0， y=-mx+1 与 y= 两个函数都是 y 随着 x 的增大而减小，正确 . 已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点 A， B， C， D 按逆时针依次排列，若 A 点坐标为
13、(1， ，则 D 点坐标为 (1， ，错误 . 在一个不透明的袋子中装有标号为 1， 2， 3， 4 的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于 4 的概率为 ，错误， 答案： . 三、解答题 (本大题共 9 小题，满分 72分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17.(10 分 )计算 (1)计算： 2cos30+ ( -2)-1+|- | (2)解方程： - =0. 解析： (1)根据特殊角的三角函数、负指数幂运算、绝对值进行计算即可； (2)先去分母，化为整式方程求解即可 . 答案： (1)原式 =2 + + = -
14、( +2)+ =- ； (2)去分母，得 3x2-6x-x2-2x=0，解得 x1=0， x2=4， 经检验： x=0 是增根，故 x=4 是原方程的解 . 18.(6 分 )如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B处距离灯塔 P 有多远？ (结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可 ) 解析： 首先根据题意得出 MPA=A=65 ，以及 DBP=DPB=45 ，再利用解直角三角形求出即可 . 答案： 如图，过点 P 作 PDAB 于点 D. 由题意知 D
15、PB=DBP=45. 在 RtPBD 中， sin45= = ， PB= PD. 点 A 在点 P 的北偏东 65 方向上， APD=25. 在 RtPAD 中， cos25= .PD=PAcos25=80cos25 ， PB=80cos25. 19.(5 分 )已知实数 a 是不等于 3 的常数，解不等式组 ，并依据 a 的取值情况写出其解集 . 解析： 首先分别解出两个不等式，再根据实数 a 是不等于 3 的常数，分两种情况进行讨论： 当 a 3 时， 当 a 3 时，然后确定出不等式组的解集 . 答案： ，解 得： x3 ，解 得： x a， 实数 a 是不等于 3 的常数， 当 a 3
16、 时，不等式组的解集为 x3 ， 当 a 3 时，不等式组的解集为 x a. 20.(9 分 )学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况，从初三年级各班随机抽取了 50名学生进行了 60 秒跳绳的测试，并将这 50 名学生的测试成绩 (即 60 秒跳绳的个数 )从低到高分成六段记为第一到六组，最后整理成下面的频数分布直方图：请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题 . (1)跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60 秒跳绳成绩的一个什么结论？ (2)若用各组数据的组中值 (各小组的两个端点的数的平均数 )代表各组的实际数据，求这 50名学生的 60
17、 秒跳绳的平均成绩 (结果保留整数 )； (3)若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取 2 名学生，用列举法求抽取的 2 名学生恰好在同一组的概率 . 解析： (1)根据中位数的定 义先把这组数据从小到大排列，找出中间两个数的平均数，再根据中位数落在第四组估计出初三学生 60 秒跳绳再 120 个以上的人数达到一半以上； (2)根据平均数的计算公式进行计算即可； (3)先把第一组的两名学生用 A、 B 表示，第六组的三名学生用 1， 2， 3 表示，得出所有出现的情况，再根据概率公式进行计算即可 . 答案： (1) 共有 50 个数，中位数是第 25、 26 个数的平均数， 跳绳次数的中位数
18、落在第四组； 可以估计初三学生 60 秒跳绳再 120 个以上的人数达到一半以上； (2)根据题意得： (270+1090+1211 0+13130+10150+3170)50121( 个 )， 答：这 50 名学生的 60 秒跳绳的平均成绩是 121 个； (3)记第一组的两名学生为 A、 B，第六组的三名学生为 1， 2， 3， 则从这 5 名学生中抽取两名学生有以下 10 种情况： AB， A1， A2， A3， B1， B2， B3， 12， 13， 23， 则抽取的 2 名学生恰好在同一组的概率是： = ； 21.(7 分 )如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿 AC 折叠，点
19、B 落在点 E 处， AE与 DC 的交点为 O，连接 DE. (1)求证： ADECED ； (2)求证： DEAC . 解析： (1)根据矩形的性质和折叠的性质可得 BC=CE=AD， AB=AE=CD，根据 SSS 可证ADECED(SSS) ； (2)根据全等三角形的性质可得 EDC=DEA ，由于 ACE 与 ACB 关于 AC 所在直线对称，可得 OAC=CAB ，根据等量代换可得 OAC=DEA ，再根据平行线的判定即可求解 . 答案： 证明： (1) 四边形 ABCD 是矩形， AD=BC ， AB=CD， 又 AC 是折痕， BC=CE=AD ， AB=AE=CD， 在 AD
20、E 与 CED 中， ， ADECED(SSS )； (2)ADECED ， EDC=DEA ， 又 ACE 与 ACB 关于 AC 所在直线对称， OAC=CAB ， OCA=CAB ， OAC=OCA ， 2OAC=2DEA ， OAC=DEA ， DEAC. 22.(7 分 )为鼓励居民节约用电，我市自 2012 年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在 180 千瓦时 (含 180 千瓦时 )以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在 180千瓦时到 450千瓦时 (含 450千瓦时 )的部分，实行提高电 价；第三档为用电量超出 45
21、0 千瓦时的部分，执行市场调节价格 . 我市一位同学家今年 2 月份用电 330 千瓦时，电费为 213 元， 3 月份用电 240 千瓦时，电费为 150 元 .已知我市的一位居民今年 4、 5 月份的家庭用电量分别为 160 和 410 千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民 4、 5 月份的电费分别为多少元？ 解析： 设基本电价为 x 元 /千瓦时，提高电价为 y 元 /千瓦时，根据 2 月份用电 330 千瓦时，电费为 213 元， 3 月份用电 240 千瓦时，电费为 150 元，列方程组求解 . 答案： 设基本电价为 x 元 /千瓦时，提高电价为 y 元 /千瓦时， 由题
22、意得， ，解得： ， 则四月份电费为： 1600.6=96( 元 )， 五月份电费为： 1800.6+2300.7=108+161=269( 元 ). 答：这位居民四月份的电费为 96 元，五月份的电费为 269 元 . 23.(8 分 )如图，已知反比例函数 y= (x 0， k 是常数 )的图象经过点 A(1， 4)，点 B(m， n)，其中 m 1， AMx 轴，垂足为 M， BNy 轴，垂足为 N， AM 与 BN的交点为 C. (1)写出反比例函数解析式； (2)求证： ACBNOM ； (3)若 ACB 与 NOM 的相似比为 2，求出 B 点的坐标及 AB 所在直线的解析式 .
23、解析： (1)把 A 点坐标代入 y= 可得 k 的值，进而得到函数解析式； (2)根据 A、 B 两点坐标可得 AC=4-n， BC=m-1， ON=n， OM=1，则 = ，再根据反比例函数解析式可得 =m，则 =m-1，而 = ，可得 = ，再由 ACB=NOM=90 ，可得 ACBNOM ； (3)根据 ACB 与 NOM 的相似比为 2 可得 m-1=2，进而得到 m 的值，然后可得 B 点坐标，再利用待定系数法求出 AB 的解析式即可 . 答案： (1)y= (x 0， k 是常数 )的图象经过点 A(1， 4)， k=4 ， 反比例函数解析式为 y= ； (2) 点 A(1， 4
24、)，点 B(m， n)， AC=4 -n， BC=m-1， ON=n， OM=1， = = -1， B(m ， n)在 y= 上， =m， =m-1，而 = ， = ， ACB=NOM=90 ， ACBNOM ； (3)ACB 与 NOM 的相似比为 2， m -1=2， m=3， B(3 ， )， 设 AB 所在直线解析式为 y=kx+b， ，解得 ， 解析式为 y=- x+ . 24.(8 分 )如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 C作 O 的切线 CM. (1)求证： ACM=ABC ； (2)延长 BC 到 D，使 BC=CD，连接 AD 与 CM交于点 E，若 O
25、 的半径为 3， ED=2，求 ACE 的外接圆的半径 . 解析： (1)连接 OC，由 ABC+BAC=90 及 CM 是 O 的切线得出 ACM+ACO=90 ，再利用BAC=AOC ，得出结论， (2)连接 OC，得出 AEC 是直角三角形， AEC 的外接圆的直径是 AC，利用 ABCCDE ，求出 AC， 答案： (1)CM 是 O 的切线， ACM=ABC ； (2)BC=CD ， OCAD ， 又 OCCE ， ADCE ， AEC 是直角三角形， AEC 的外接圆的直径是 AC， 又 ABC+BAC=90 ， ACM+ECD=90 ， ABCCDE ， = ， O 的半径为 3
26、， AB=6 ， = ， BC 2=12， BC=2 ， AC= =2 ， AEC 的外接圆的半径为 . 25.(12 分 )如图，已知直线 l 的解析式为 y= x-1，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A(m， 0)， B(2，0)， D(1， )三点 . (1)求抛物线的解析式及 A 点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象； (2)已知点 P(x， y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点 P 作 PE 垂直 x 轴于点 E，延长 PE 与直线 l 交于点 F，请你将四边形 PAFB 的面积 S 表示为点 P 的横坐标 x 的函数，并求出 S 的最大值及 S 最大时点 P
27、 的坐标； (3)将 (2)中 S 最大时的点 P 与点 B 相连，求证：直线 l 上的任意一点关于 x 轴的对称点一定在 PB 所在直线上 . 解析： (1)根据待定系数法可求抛物线的解析式，再根据 A(m， 0)在抛物线上，得到 0=- m2-m+2，解方程即可得到 m 的值，从而得到 A 点的坐标； (2)根据四边形 PAFB 的面积 S= ABPF ，可得 S=- (x+2)2+12，根据函数的最值可得 S 的最大值是 12，进一步得到点 P 的坐标为； (3)根据待定系数法得到 PB 所在直线的解析式为 y=- x+1，设 Q(a， a-1)是 y= x-1 上的一点，则 Q 点关于
28、 x 轴的对称点为 (a， 1- a)，将 (a， 1- a)代入 y=- x+1 显然成立，依此即可求解 . 答案： (1) 抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 B(2， 0)， D(1， )， ，解得 a=- ， b=- ， 抛物线的解析式为 y=- x2- x+2， A(m ， 0)在抛物线上， 0= - m2- m+2，解得 m=-4， A 点的坐标为 (-4， 0).如图所示： (2) 直线 l 的解析式为 y= x-1， S= AB PF= 6 PF=3(- x2- x+2+1- x)=- x2-3x+9=- (x+2)2+12， 其中 -4 x 0， S 的最大值是 12，此时点 P 的坐标为 (-2， 2)； (3) 直线 PB 经过点 P(-2， 2)， B(2， 0)， PB 所在直线的解析式为 y=- x+1， 设 Q(a， a-1)是 y= x-1 上的一点，则 Q 点关于 x 轴的对称点为 (a， 1- a)， 将 (a， 1- a)代入 y=- x+1 显然成立， 直线 l 上的任意一点关于 x 轴的对称点一定在 PB 所在直线上 .
