1、2016年内蒙古呼和浩特市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1. 互为相反数的两个数的和为 ( ) A.0 B.-1 C.1 D.2 解析：直接利用相反数的定义分析得出答案 . 答案： A. 2. 将数字“ 6”旋转 180，得到数字“ 9”，将数字“ 9”旋转 180，得到数字“ 6”，现将数字“ 69”旋转 180，得到的数字是 ( ) A.96 B.69 C.66 D.99 解析：现将数字“ 69”旋转 180，得到的数字是： 69. 答案： B. 3. 下列说法正确的是 ( ) A.“任意画
2、一个三角形，其内角和为 360”是随机事件 B.已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投十次可投中 6次 C.抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取 D.检测某城市的空气质量，采用抽样调查法 解析：根据概率是事件发生的可能性，可得答案 . 答案： D. 4. 某企业今年 3月份产值为 a万元， 4月份比 3月份减少了 10%， 5月份比 4月份增加了 15%，则 5月份的产值是 ( ) A.(a-10%)(a+15%)万元 B.a(1-90%)(1+85%)万元 C.a(1-10%)(1+15%)万元 D.a(1-10%+15%)万元 解析：由题意可得： 4 月份的产值为： a
3、(1-10%)， 5月份的产值为： a(1-10%)(1+15%). 答案： C. 5. 下列运算正确的是 ( ) A.a2+a3=a5 B.(-2a2)3 (2a)2=-16a4 C.3a-1=13aD.(2 3 a2- 3 a)2 3a2=4a2-4a+1 解析：分别利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则和负整指数指数幂的性质分别化简求出答案 . 答案： D. 6. 如图， ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 AB=15， AC=9， BC=12，阴影部分是 ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为 ( ) A.16B.6C.8D.
4、5解析： AB=15， BC=12， AC=9， AB2=BC2+AC2， ABC为直角三角形， ABC的内切圆半径 =12 9 152=3， S ABC=12AC BC=12 12 9=54， S圆 =9， 小鸟落在花圃上的概率 =9654 . 答案： B. 7. 已知一次函数 y=kx+b-x的图象与 x轴的正半轴相交，且函数值 y随自变量 x的增大而增大，则 k， b的取值情况为 ( ) A.k 1， b 0 B.k 1， b 0 C.k 0， b 0 D.k 0， b 0 解析：一次函数 y=kx+b-x即为 y=(k-1)x+b， 函数值 y随 x的增大而增大， k-1 0，解得 k
5、 1； 图象与 x轴的正半轴相交， b 0. 答案： A. 8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A.4 B.3 C.2 +4 D.3 +4 解析：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱放在一个长方体的上面组成的一个几何体， 半圆柱的直径为 2，长方体的长为 2，宽为 1，高为 1， 故其表面积为： 12+( +2) 2=3 +4. 答案： D. 9. 如图，面积为 24 的正方形 ABCD中，有一个小正方形 EFGH，其中 E、 F、 G分别在 AB、 BC、FD上 .若 BF= 62，则小正方形的周长为 ( ) A.568B.566C.562D.10 63解析：先利
6、用勾股定理求出 DF，再根据 BEF CFD，得 EF BFDF DC求出 EF即可解决问题 . 答案： C. 10. 已知 a 2， m2-2am+2=0， n2-2an+2=0，则 (m-1)2+(n-1)2的最小值是 ( ) A.6 B.3 C.-3 D.0 解析：根据已知条件得到 m， n是关于 x的方程 x2-2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到 m+n=2a， mn=2，于是得到 4(a-12)2-3，当 a=2时， (m-1)2+(n-1)2有最小值，代入即可得到结论 . 答案： A. 二、填空题 (本题共 6小题，每小题 3分，共 18分 .本题要求把正确结果填在答题
7、卡规定的横线上，不要解答过程 ) 11. 如图是某市电视台记者为了解市民获取新闻的主要图径，通过抽样调查绘制的一个条形统计图 .若该市约有 230 万人，则可估计其中将报纸和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数大约为 _万人 . 解析：由统计图可知调查的人数为 260+400+150+100+90=1000人， 所以报纸和手机上网作为获取新闻的主要途径的人数所占百分比 = 260 4001000 100%=66%， 则该市约有 230万人，则可估计其中将报纸和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数大约 =230 66%=151.8万 . 答案： 151.8. 12. 已知函数 y=-1x，当
8、自变量的取值为 -1 x 0或 x 2，函数值 y的取值 _. 解析：当 x=-1时， y= 11=1， 当 x=2时， y=-12， 由图象得：当 -1 x 0时， y 1， 当 x 2时， -12 y 0. 答案： y 1或 -12 y 0. 13. 在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组： 9， 9，11， 10；乙组： 9， 8， 9， 10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为 19的概率 _. 解析：画树状图如图： 共有 16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为 19的结果有 5种结果， 这两名同学的植树总棵数为 19 的概率
9、为 516. 答案： 516. 14. 在周长为 26的 O中， CD是 O的一条弦， AB 是 O的切线，且 AB CD，若 AB 和 CD之间的距离为 18，则弦 CD 的长为 _. 解析：如图，设 AB与 O相切于点 F，连接 OF， OD，延长 FO交 CD于点 E. 2 R=26， R=13， OF=OD=13， AB是 O切线， OF AB， AB CD， EF CD即 OE CD， CE=ED， EF=18， OF=13， OE=5， 在 RT OED中， OED=90， OD=13， OE=5， ED= 2 2 2 21 3 5O D O E =12， CD=2ED=24. 答
10、案： 24. 15. 已知平行四边形 ABCD的顶点 A在第三象限，对角线 AC的中点在坐标原点，一边 AB与x轴平行且 AB=2，若点 A的坐标为 (a， b)，则点 D的坐标为 _. 解析：如图 1， 四边形 ABCD是平行四边形， CD=AB=2， A的坐标为 (a， b)， AB与 x轴平行， B(2+a， b)，点 D 与点 B关于原点对称， D(-2-a， -b) 如图 2， B(a-2， b)，点 D 与点 B关于原点对称， D(2-a， -b)， 综上所述： D(-2-a， -b)， (2-a， -b). 16. 以下四个命题： 对应角和面积都相等的两个三角形全等； “若 x2
11、-x=0，则 x=0”的逆命题； 若关于 x、 y的方程组 010x y abx y 有无数多组解，则 a=b=1； 将多项式 5xy+3y-2x2y因式分解，其结果为 -y(2x+1)(x-3). 其中正确的命题的序号为 _. 解析：正确，根据相似比为 1的两个三角形全等即可判断 . 正确 .写出逆命题即可判断 . 正确 .根据方程组有无数多组解的条件即可判断 . 正确 .首先提公因式，再利用十字相乘法即可判断 . 答案： . 三、解答题 (本题共 9 小题，满分 72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17. 计算 (1)计算： (12)-2+| 3 -2|+3tan30 (2
12、)先化简，再求值： 22131 6 9 3x x xx x x x ，其中 x=-32 . 解析： (1)分别根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； (2)先算除法，再算加减，最后把 x的值代入进行计算即可 . 答案： (1)原式 =4+2- 3 +3 33=6- 3 + 3 =6； (2)原式 = 21 3 3113xxx x xx = 11x x x= 11xxx=1x， 当 x=-32时，原式 = 123 32 . 18. 在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔 AE的高度 .如图，已知塔基顶端 B(和 A、E共
13、线 )与地面 C处固定的绳索的长 BC为 80m.她先测得 BCA=35，然后从 C 点沿 AC方向走 30m到达 D点，又测得塔顶 E的仰角为 50，求塔高 AE.(人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示 ) 解析：根据锐角三角函数关系，得出 cos ACB=ACAB，得出 AC 的长即可；利用锐角三角函数关系，得出 tan ADE=AEAD，求出 AE即可 . 答案：在 Rt ABC中， ACB=35， BC=80m， cos ACB=ACAB， AC=80cos35， 在 Rt ADE中， tan ADE=AEAD， AD=AC+DC=80cos35 +30， AE=(80co
14、s35 +30)tan50 . 答：塔高 AE 为 (80cos35 +30)tan50 m. 19. 已知关于 x的不等式组 5 2 3 1138222xxx x a 有四个整数解，求实数 a的取值范围 . 解析：分别求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式组有四个整数解，即可确定出 a的范围 . 答案：解不等式组 5 2 3 1138222xxx x a ， 解不等式得： x -52， 解不等式得： x a+4， 不等式组有四个整数解， 1 a+4 2， 解得： -3 a -2. 20. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得 12 名选手所用的时间 (单位：分钟 )得到如下样本数据： 14
15、0 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148 (1)计算该样本数据的中位数和平均数； (2)如果一名选手的成绩是 147分钟，请你依据样本 数据中位数，推断他的成绩如何？ 解析： (1)根据中位数和平均数的概念求解； (2)根据 (1)求得的中位数，与 147进行比较，然后推断该选手的成绩 . 答案： (1)将这组数据按照从小到大的顺序排列为： 125， 134， 140， 143， 146， 148， 152，155， 162， 164， 168， 175， 则中位数为： 148 1522=150， 平均数为： 1 2 5 1 3 4 1 4 0
16、 1 4 3 1 4 6 1 4 8 1 5 2 1 5 5 1 6 2 1 6 4 1 6 8 1 7 512 =151； (2)由 (1)可得，中位数为 150，可以估计在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于150分钟，有一半选手的成绩慢于 150分钟，这名选手的成绩为 147分钟，快于中位数 150分钟，可以推断他的成绩估计比一半以上选手的成绩好 . 21. 已知，如图， ACB 和 ECD都是等腰直角三角形， ACB= ECD=90， D为 AB边上一点 . (1)求证： ACE BCD； (2)求证： 2CD2=AD2+DB2. 解析： (1)本题要判定 ACE BCD，已知
17、ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形， ACB=ECD=90，则 DC=EA， AC=BC， ACB= ECD，又因为两角有一个公共的角 ACD，所以 BCD= ACE，根据 SAS得出 ACE BCD. (2)由 (1)的论证结果得出 DAE=90， AE=DB，从而求出 AD2+DB2=DE2，即 2CD2=AD2+DB2. 答案： (1) ABC和 ECD 都是等腰直角三角形， AC=BC， CD=CE， ACB= DCE=90， ACE+ ACD= BCD+ ACD， ACE= BCD， 在 ACE和 BCD中， A C B CA C E B C DC D C E ， AEC BDC
18、(SAS)； (2) ACB是等腰直角三角形， B= BAC=45度 . ACE BCD， B= CAE=45 DAE= CAE+ BAC=45 +45 =90， AD2+AE2=DE2. 由 (1)知 AE=DB， AD2+DB2=DE2，即 2CD2=AD2+DB2. 22. 某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成 .根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程， 6天可以完成，共需工程费用 385200 元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用 5 天，每天的工程费用甲队比乙队多 4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？
19、解析：设甲队单独完成此项工程需要 x 天，乙队单独完成需要 (x+5)天，然后依据 6天可以完成，列出关于 x的方程，从而可求得甲、乙两队单独完成需要的天数，然后设甲队每天的工程费为 y 元，则可表示出乙队每天的工程费，接下来，根据两队合作 6 天的工程费用为385200 元列方程求解，于是 可得到两队独做一天各自的工程费，然后可求得完成此项工程的工程费，从而可得出问题的答案 . 答案：设甲队单独完成此项工程需要 x天，乙队单独完成需要 (x+5)天 . 依据题意可列方程： 1 1 156xx， 解得： x1=10， x2=-3(舍去 ). 经检验： x=10是原方程的解 . 设甲队每天的工程
20、费为 y元 . 依据题意可列方程： 6y+6(y-4000)=385200， 解得： y=34100. 甲队完成此项工程费用为 34100 10=341000元 . 乙队完成此项工程费用为 30100 15=451500元 . 答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队 . 23. 已知反比例函数 y=kx的图象在二四象限，一次函数为 y=kx+b(b 0)，直线 x=1与 x轴交于点 B，与直线 y=kx+b交于点 A，直线 x=3与 x轴交于点 C，与直线 y=kx+b 交于点 D. (1)若点 A， D都在第一象限，求证： b -3k； (2)在 (1)的条件下，设直线 y=kx+b 与
21、 x 轴交于点 E 与 y 轴交于点 F，当 34EDEA且 OFE的面积等于 272时，求这个一次函数的解析式，并直接写出不等式 kx kx+b的解集 . 解析： (1)由反比例函数 y=kx的图象在二四象限，得到 k 0，于是得到一次函数为 y=kx+b随 x的增大而减小，根据 A， D都在第一象限，得到不等式即可得到结论； (2)根据题意得到 334kbkb ，由三角形的面积公式得到 S OEF=12 (-bk) b=272联立方程组解得 k=-13， b=3，即可得到结论 . 答案： (1)证明：反比例函数 y=kx的图象在二四象限， k 0， 一次函数为 y=kx+b 随 x的增大而
22、减小， A， D都在第一象限， 3k+b 0， b -3k； (2)由题意知： ED CDEA AB， 334kbkb ， E(-bk， 0)， F(0， b)， S OEF=12 (-bk) b=272， 由联立方程组解得： k=-13， b=3， 这个一次函数的解析式为 y=-13x+3， 解 -13x=-13x+3得 x1=9 852， x2=9 852， 直线 y=kx+b与反比例函数 y=kx的交点坐标的横坐标是 9 852或 9 852， 不等式 kx kx+b的解集为 9 852 x 0或 9 852. 24. 如图，已知 AD 是 ABC的外角 EAC的平分线，交 BC的延长线
23、于点 D，延长 DA交 ABC的外接圆于点 F，连接 FB， FC. (1)求证： FBC= FCB； (2)已知 FA FD=12，若 AB 是 ABC外接圆的直径， FA=2，求 CD 的长 . 解析： (1)由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出 FBC= CAD，再由角平分线和对顶角相等得出 FAB= CAD，由圆周角定理得出 FAB= FCB，即可得出结论； (2)由 (1)得： FBC= FCB，由圆周角定理得出 FAB= FBC，由公共角 BFA= BFD，证出 AFB BFD，得出对应边成比例求出 BF，得出 FD、 AD的长，由圆周角定理得出 BFA=BCA=90，由三角函数求
24、出 FBA=30，再由三角函数求出 CD 的长即可 . 答案： (1)证明：四边形 AFBC内接于圆， FBC+ FAC=180， CAD+ FAC=180， FBC= CAD， AD是 ABC的外角 EAC的平分线， EAD= CAD， EAD= FAB， FAB= CAD， 又 FAB= FCB， FBC= FCB； (2)解：由 (1)得： FBC= FCB， 又 FCB= FAB， FAB= FBC， BFA= BFD， AFB BFD， BF FAFD BF， BF2=FA FD=12， BF=2 3 ， FA=2， FD=6， AD=4， AB为圆的直径， BFA= BCA=90，
25、 tan FBA= 23 323AFBF ， FBA=30， 又 FDB= FBA=30， CD=AD cos30 =4 32=2 3 . 25. 已知二次函数 y=ax2-2ax+c(a 0)的最大值为 4，且抛物线过点 (72， - 94)，点 P(t，0)是 x轴上的动点，抛物线与 y轴交点为 C，顶点为 D. (1)求该二次函数的解析式，及顶点 D的坐标； (2)求 |PC-PD|的最大值及对应的点 P的坐标； (3)设 Q(0， 2t)是 y轴上的动点，若线段 PQ与函数 y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点，求 t的取值 . 解析： (1)先利用对称轴公式 x=-2b
26、a计算对称轴，即顶点坐标为 (1， 4)，再将两点代入列二元一次方程组求出解析式； (2)根据三角形的三边关系：可知 P、 C、 D三点共线时 |PC-PD|取得最大值，求出直线 CD 与x轴的交点坐标，就是此时点 P的坐标； (3)先把函数中的绝对值化去，可知 y= 22()2 3 02 3 0()x x xx x x ，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：当线段 PQ过点 (0， 3)，即点 Q 与点 C 重合时，两图象有一个公共点，当线段 PQ 过点 (3， 0)，即点 P与点 (3， 0)重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；线段 PQ 与当函数 y=a|x|2-2a
27、|x|+c(x 0)时有一个公共点时，求 t的值；当线段 PQ 过点 (-3， 0)，即点 P 与点 (-3， 0)重合时，线段 PQ与当函数 y=a|x|2-2a|x|+c(x0)时也有一个公共点，则当 t -3时，都满足条件；综合以上结论，得出 t的取值 . 答案： (1) y=ax2-2ax+c的对称轴为： x=- 22aa=1， 抛物线过 (1， 4)和 (72， - 94)两点， 代入解析式得： 244 9 9744a a ca a c ， 解得： a=-1， c=3， 二次函数的解析式为： y=-x2+2x+3， 顶点 D的坐标为 (1， 4)； (2) C、 D两点的坐标为 (0
28、， 3)、 (1， 4)； 由三角形两边之差小于第三边可知： |PC-PD| |CD|， P、 C、 D三点共线时 |PC-PD|取得最大值，此时最大值为， |CD|= 2 ， 由于 CD 所在的直线解析式为 y=x+3， 将 P(t， 0)代入得 t=-3， 此时对应的点 P为 (-3， 0)； (3)y=a|x|2-2a|x|+c的解析式可化为： y= 22()2 3 02 3 0()x x xx x x 设线段 PQ所在的直线解析式为 y=kx+b，将 P(t， 0)， Q(0， 2t)代入得： 线段 PQ 所在的直线解析式： y=-2x+2t， 当线段 PQ过点 (0， 3)，即点 Q
29、与点 C重合时，线段 PQ 与函数 y= 22()2 3 02 3 0()x x xx x x 有一个公共点，此时 t=32， 当线段 PQ过点 (3， 0)，即点 P与点 (3， 0)重合时， t=3，此时线段 PQ与 y= 22()2 3 02 3 0()x x xx x x 有两个公共点，所以当 32 t 3时，线段 PQ 与 y= 22()2 3 02 3 0()x x xx x x 有一个公共点， 将 y=-2x+2t代入 y=-x2+2x+3(x 0)得： -x2+2x+3=-2x+2t， -x2+4x+3-2t=0， 令 =16-4(-1)(3-2t)=0， t=72 0， 所以当 t=72时，线段 PQ 与 y= 22()2 3 02 3 0()x x xx x x 也有一个公共点， 当线段 PQ 过点 (-3， 0)，即点 P与点 (-3， 0)重合时，线段 PQ 只与 y=-x2-2x+3(x 0)有一个公共点，此时 t=-3， 所以当 t -3时，线段 PQ与 y= 22()2 3 02 3 0()x x xx x x 也有一个公共点， 综上所述， t的取值是 32 t 3或 t=72或 t -3.
