1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学理 一 .选择题： (每题 5 分，共 40 分 )在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )已知集合 A=x R|x|2 ， B=x R|x1 ，则 AB= ( ) A. (- ， 2 B. 1， 2 C. -2， 2 D. -2， 1 解析： A=x|x|2=x| -2x2 ， AB=x| -2x2x|x1 ，x R=x|-2x1 . 答案： D. 2.(5 分 )设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=y-2x 的最小值为 ( ) A. -7 B. -4 C. 1 D. 2 解析： 设变量 x、
2、 y 满足约束条件 ，在坐标系中画出可行域三角形， 平移直线 y-2x=0 经过点 A(5， 3)时， y-2x 最小，最小值为： -7，则目标函数 z=y-2x 的最小值为 -7. 答案： A. 3.(5 分 )阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为 ( ) A. 64 B. 73 C. 512 D. 585 解析： 经过第一次循环得到 S=0+13，不满足 S50 ， x=2， 执行第二次循环得到 S=13+23，不满足 S50 ， x=4， 执行第三次循环得到 S=13+23+43=73， 满足判断框的条件，退出循环，执行 “ 是 ” ，输出 S=
3、73. 答案： B. 4.(5 分 )已知下列三个命题： 若一个球的半径缩小到原来的 ，则其体积缩小到原来的 ； 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； 直线 x+y+1=0 与圆 相切 . 其中真命题的序号是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由球的体积公式 V= 可知，若一个球的半径缩小到原来的 ，则其体积缩小到原来的 ；故 正确； 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如 2， 2， 2和 1， 2， 3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故 错； 圆 的圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= =半径 r，故直线 x+y+1=0 与圆相切， 正确 .
4、 答案： C. 5.(5 分 )已知双曲线 - =1(a 0， b 0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p 0)的准线分别交于 O、 A、 B 三点， O 为坐标原点 .若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为 ，则 p=( ) A. 1 B. C. 2 D. 3 解析： 双曲线 ， 双曲线的渐近线方程是 y= x 又抛物线 y2=2px(p 0)的准线方程是 x=- ， 故 A， B 两点的纵坐标分别是 y= ，双曲线的离心率为 2，所以 ，则 ， A， B 两点的纵坐标分别是 y= = ， 又， AOB 的面积为 ， x 轴是角 AOB 的角平分线 ， ，得 p=2. 答案： C.
5、6.(5 分 )在 ABC 中， ，则 sinBAC= ( ) A. B. C. D. 解析： ABC= ， AB= ， BC=3， 由余弦定理得： AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=2+9 -6=5， AC= ， 则由正弦定理 = 得： sinBAC= = . 答案： C 7.(5 分 )函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 函数 f(x)=2x|log0.5x|-1，令 f(x)=0，在同一坐标系中作出 y=( )x.与 y=|log0.5x|，如图， 由图可得零点的个数为 2. 答案： B. 8.(
6、5 分 )已知函数 f(x)=x(1+a|x|).设关于 x 的不等式 f(x+a) f(x)的解集为 A，若，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析： 取 a=- 时， f(x)=- x|x|+x， f(x+a) f(x)， (x - )|x- |+1 x|x|， (1)x 0 时，解得 - x 0； (2)0x 时，解得 0 ； (3)x 时，解得 ， 综上知， a=- 时， A=(- ， )，符合题意，排除 B、 D； 取 a=1 时， f(x)=x|x|+x， f(x+a) f(x)， (x+1)|x+1|+1 x|x|， (1)x -1 时，解得 x 0，矛盾
7、； (2)-1x0 ，解得 x 0，矛盾； (3)x 0 时，解得 x -1，矛盾； 综上， a=1， A= ，不合题意，排除 C， 答案： A. 二 .填空题：本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分 . 9.(5 分 )已知 a， b R， i 是虚数单位 .若 (a+i)(1+i)=bi，则 a+bi= . 解析 ：因为 (a+i)(1+i)=bi，所以 a-1+(a+1)i=bi，所以 ，解得 a=1， b=2，所以a+bi=1+2i. 答案： 1+2i. 10.(5 分 ) 的二项展开式中的常数项为 . 解析 ： 设 的二项展开式中的通项为 Tr+1，则 Tr+1= ( -1)r
8、 ， 由 6- r=0 得： r=4. 的二项展开式中的常数项为 ( -1)4= =15. 答案： 15. 11.(5 分 )已知圆的极坐标方程为 =4cos ，圆心为 C，点 P 的极坐标为 ，则|CP|= . 解析 ： 圆的极坐标方程为 =4cos ，圆的方程为： x2+y2=4x，圆心为 C(2， 0)， 点 P 的极坐标为 ，所以 P 的直角坐标 (2， 2 )， 所以 |CP|= =2 . 答案： 2 . 12.(5 分 )在平行四边形 ABCD 中， AD=1， BAD=60 ， E 为 CD 的中点 .若 ，则 AB的长为 . 解析 ： ， . = = = +- = =1，化为
9、， ， . 答案： . 13.(5 分 )如图， ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦，且 BDAC .过点 A 做圆的切线与DB 的延长线交于点 E， AD与 BC 交于点 F.若 AB=AC， AE=6， BD=5，则线段 CF 的长为 . 解析 ： 如图由切角弦定理得 EAB=ACB ，又因为， AB=AC，所以 EAB=ABC ， 所以直线 AE 直线 BC，又因为 ACBE ，所以是平行四边形 . 因为 AB=AC， AE=6， BD=5， AC=AB=4 ， BC=6.AFCDFB ， ， 即： ， CF=， 答案： . 14.(5 分 )设 a+b=2， b 0，则当 a=
10、 时， 取得最小值 . 解析 ： a+b=2 ， b 0， = ， (a 2) 设 f(a)= ， (a 2)，画出此函数的图象，如图所示 . 利用导数研究其单调性得，当 a 0 时， f(a)=- + ， f(a)= = ，当 a -2 时， f(a) 0，当 -2 a 0 时， f(a) 0， 故函数在 (- ， -2)上是减函数，在 (-2， 0)上是增函数， 当 a=-2 时， 取得最小值 . 同样地，当 0 a 2 时，得到当 a= 时， 取得最小值 . 综合，则当 a=-2 时， 取得最小值 . 答案： -2. 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明，
11、证明过程或演算步骤 . 15.(13 分 )已知函数 . ( )求 f(x)的最小正周期； ( )求 f(x)在区间 上的最大值和最小值 . 解析 ： (I)利用两角和的正弦公式将 sin(2x+ )展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得 f(x)=2sin2x-2cos2x，再利用辅助角公式化简得 f(x)=2 sin(2x- )，最后利用正弦函数的周期公式即可算出 f(x)的最小正周期； (II)根据 x ，得 - 2x - .再由正弦函数在区间 - ， 上的图象与性质，可得 f(x)在区间 上的最大值为与最小值 . 答案： (I)sinxcosx= sin2x， cos2x= (1+c
12、os2x) f(x)= - sin(2x+ )+6sinxcosx-2cos2x+1=-sin2x-cos2x+3sin2x-(1+cos2x)+1 =2sin2x-2cos2x=2 sin(2x- ) 因此， f(x)的最小正周期 T= = ； (II)0x ， - 2x - 当 x=0 时， sin(2x- )取得最小值 - ；当 x= 时， sin(2x- )取得最大值 1 由此可得， f(x)在区间 上的最大值为 f( )=2 ；最小值为 f(0)=-2. 16.(13 分 )一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1， 2， 3， 4； 白色卡片 3 张，编号
13、分别为 2， 3， 4.从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同 ). ( )求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率 . ( )再取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 解析 ： (I)从 7 张卡片中取出 4 张的所有可能结果数有 ，然后求出取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解 (II)先判断随机变量 X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4，根据 题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 答案： (I)设取出的 4 张卡片中，含有编号为 3
14、 的卡片为事件 A，则 P(A)= = 所以取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为 (II)随机变量 X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4， P(X=1)= ， P(X=2)= ， P(X=3)= = ， P(X=4)= = ， X 的分布列为 EX= = 17.(13 分 )如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，侧棱 A1A 底面 ABCD， ABDC ， ABAD ， AD=CD=1，AA1=AB=2， E 为棱 AA1的中点 . ( )证明 B1C1CE ； ( )求二面角 B1-CE-C1的正弦值 . ( )设点 M 在线段 C1E 上，且直线 AM 与平面
15、ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段 AM 的长 . 解析 ： () 由题意可知， AD， AB， AA1两两互相垂直，以 a 为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 和 ，由 得到 B1C1CE ； () 求出平面 B1CE 和平面 CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角 B1-CE-C1的正弦值可求； () 利用共线向量基本定理把 M的坐标用 E和 C1的坐标及待求系数 表示，求出平面 ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线 AM与平面 ADD1A1所成角的正弦值，代入求出 的值，则线段 AM 的长
16、可求 . 答案： () 以点 A 为原点建立空间直角坐标系，如图， 依题意得 A(0， 0， 0)， B(0， 0， 2)， C(1， 0， 1)， B1(0， 2， 2)， C1(1， 2， 1)， E(0， 1， 0). 则 ， 而 =0.所以 B1C1CE ； () ， 设平面 B1CE 的法向量为 ，则 ，即 ，取 z=1，得 x=-3， y=-2.所以 . 由 () 知 B1C1CE ，又 CC1B 1C1，所以 B1C1 平面 CEC1， 故 为平面 CEC1的一个法向量， 于是 = . 从而 = = . 所以二面角 B1-CE-C1的正弦值为 . () ， 设 01 ，有 . 取
17、 为平面 ADD1A1的一个法向量， 设 为直线 AM 与平面 ADD1A1所成的角，则 = =. 于是 .解得 .所以. 所以线段 AM 的长为 . 18.(13 分 )设椭圆 =1(a b 0)的左焦点为 F，离心率为 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . ( )求椭圆的方程； ( )设 A， B 分别为椭圆的左，右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C， D两点 .若=8，求 k 的值 . 解析 ： (I)先根据椭圆方程的一般形式，令 x=c 代入求出弦长使其等于 ，再由离心率为，可求出 a， b， c 的关系，进而得到椭圆的方程 . (II)直线 CD
18、： y=k(x+1)，设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，由由 消去 y 得，(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0，再由韦达定理进行求解 .求得 ，利用=8，即可求得 k 的值 . 答案： (I)根据椭圆方程为 . 过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 ， = ， 离心率为 ， = ，解得 b= ， c=1， a= . 椭圆的方程为 ； (II)直线 CD： y=k(x+1)， 设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，由 消去 y 得， (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0， x 1+x2=- ， x1x2= ，又 A(- ， 0)， B( ， 0)，
19、=(x1+ ， y1)( -x2.-y2)+(x2+ ， y2)( -x1.-y1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2， =6+ =8，解得 k= . 19.(14 分 )已知首项为 的等比数列 an不是递减数列，其前 n 项和为 Sn(n N*)，且 S3+a3，S5+a5， S4+a4成等差数列 . ( )求数列 an的通项公式； ( )设 ，求数列 Tn的最大项的值与最小项的值 . 解析 ： () 设等比数列的公比为 q，由 S3+a3， S5+a5， S4+a4成等差数列，可构造关于 q的方程，结合首项为 的等比数列 an不是递减数列，求出 q 值，可得答案
20、. () 由 () 可得 Sn的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出 在 n 为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案 . 答案： () 设等比数列的公比为 q， S 3+a3， S5+a5， S4+a4成等差数列 .S 5+a5-(S3+a3)=S4+a4-(S5+a5)， 即 4a5=a3，故 q2= = ， 又 数列 an不是递减数列，且等比数列的首项为 ， q= - ， 数列 an的通项公式 an= ( - )n-1=(-1)n-1 . () 由 () 得 Sn=1-(- )n= ， 当 n 为奇数时， Sn随 n 的增大而减小，所以 1 SnS 1= ， 故 0 = -=
21、 ， 当 n 为偶数时， Sn随 n 的增大而增大，所以 1 SnS 2= ， 故 0 = -= ， 综上，对于 n N*，总有 ， 故数列 Tn的最大项的值为 ，最小项的值为 . 20.(14 分 )已知函数 f(x)=x2lnx. ( )求函数 f(x)的单调区间； ( )证明：对任意的 t 0，存在唯一的 s，使 t=f(s). ( )设 ( )中所确定的 s关于 t的函数为 s=g(t)，证明：当 t e2时，有 . 解析 ： () 函数的定义域为 (0， +) ，求导数令 f(x)=0 ，可解得 x= ，由导数在 (0， )，和 ( ， +) 的正负可得单调性； () 当 0 x1
22、时， f(x)0 ，设 t 0，令 h(x)=f(x)-t，x 1， +) ，由 () 可得函数 h(x)的单调性，可得结论； () 令 u=lns，原命题转化为 0 lnu ，一方面由 f(s)的单调性，可得 u 1，从而 lnu 0 成立，另一方面，令 F(u)=lnu-， u 1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证 . 答案： () 由题意可知函数的定义域为 (0， +) ， 求导数可得 f(x)=2xlnx+x 2 =2xlnx+x=x(2lnx+1)， 令 f(x)=0 ，可解得 x= ， 当 x 变化时， f(x) ， f(x)的变化情况如下表： 所以函数 f(x)的单调递减区
23、间为 (0， )，单调递增区间为 ( ， +) () 证明：当 0 x1 时， f(x)0 ，设 t 0，令 h(x)=f(x)-t， x 1， +) ， 由 () 可知， h(x)在区间 (1， +) 单调递增， h(1)=-t 0， h(et)=e2tlnet-t=t(e2t-1) 0， 故存在唯一的 s (1， +) ，使得 t=f(s)成立； () 证明：因为 s=g(t)，由 () 知， t=f(s)，且 s 1， 从而 = = = = ，其中 u=lns， 要使 成立，只需 ， 即 2 ，即 2 2+ ， 只需 ，变形可得只需 0 lnu ， 当 t e2时，若 s=g(t)e ，则由 f(s)的单调性，有 t=f(s)f(e)=e 2，矛盾， 所以 s e，即 u 1，从而 lnu 0 成立，另一方面，令 F(u)=lnu- ， u 1， F(u)= ， 令 F(u)=0 ，可解得 u=2，当 1 u 2 时， F(u) 0，当 u 2 时， F(u) 0， 故函数 F(u)在 u=2 处取到极大值，也是最大值 F(2)=ln2-1 0， 故有 F(u)=lnu- 0，即 lnu ， 综上可证：当 t e2时，有 成立 .
