1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（文史类） 一，选择题： （ 1） 设集合 ()() 5, 7 3 0Sxx Txx x= ，则“ ab”是“ acbd ”的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 8） 已知双曲线2211( 0)2xbb=的左、右焦点分别为1F、2F ，其一条渐进线方程为,yx= 点0(3, )p y 在该双曲线上，则12PF PF =uuur uuuurnull A 12 B 2 C 0 D 4 （ 9） 如图， 在半径为 3 的球面上有 A.B.C 三点， 90ABC=o， BA=B
2、C，球心 O 到平面 ABC 的距离是322，则 B.C 两点的球面距离是 A 3B C 43 D 2 （ 10） 某企业生产甲、乙两种产品。已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨。 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A 12万 B 20万 C 25万 D 27万 （ 11） 2位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 为女生中有且只有两位女生相邻，
3、则不同排法的种数是 A 60 B 48 C 42 D 36 （ 12） 已知函数()f x是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有(1)(1)()xfx xfx+=+ ，则5()2f 的值是 A 0 B 12C 1 D 52第卷 本卷共 10 小题，共 90 分 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .把答案填在题中横线上 . （ 13）抛物线24y x= 的焦点到准线的距离是 . （ 14）61(2 )2xx 的展开式的常数项是 .（用数字作答） （ 15）如图，已知正三棱柱111ABC ABC 的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，
4、侧异面直线1AB和BM 所成的角的大小是 . （ 16） 设 V是已知平面 M上所有向量的集合， 对于映射 :,f VV ,aV 记 a的象为 ().f a若映射 :f VV 满足：对所有 ,ab V 及任意实数 、 都有 ()()(),f ab fa fbf += + 则 称为平面 M 上的线性变换，现有下列命题： 设 f 是平面 M 上的线性变换， ,( ) ()();abV fab fa fb += +、则 若 e 是平面 M 上的单位向量，对 ,() ,aV fa ae f =+设则是平面 M 上的线性变换； 对 ,aV 设 () ,f aa= 则 f 是平面 M 上的线性变换； 设
5、f 是平面 M 上的线性变换， aV ，则对任意实数 k 均有 () ().f ka kf a= 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17） （本小题满分 12 分） 在 ABC 中， A、 B 为锐角， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 且510sin ,sin .AB= （）求 A+B 的值； （）若 21,ab a= 求、b、c 得值 . （ 18） （本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人
6、士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） ，某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游， 其中34是省外游客， 其余是省内游客，在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡 . （）在该团中随即采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； （）在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相当的概率 . （ 19） （本小题满分 12 分）如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直， ABE 是等腰直角三角形， AB=AE,FA=FE,AEF=45. （）求证： EF平面BCE； （）设线段 CD、
7、AE 的中点分别为 P、 M，求证： PM平面BCE； （）求二面角 F-BD-A的大小. （20） （本小题满分 12 分） 已知函数32() 2 2fx x bx cx= +的图象在与 x轴交点处的切线方程是 5 10.yx= （）求函数 ()f x 的解析式； （）设函数1() () , )3gx fx mx x=+若g( 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数()gx取得极值时对应的自变量 x 的值 . （ 21） （本小题满分 12 分） 已知椭圆22221( )xxaboab+=的左、右焦点分别为12FF、 ,离心率22e= ，右准线方程为 x=2. （）求椭圆的标准方程； （
8、）过点1F 的直线 l 与该椭圆相交于 M、 N 两点，且22226|,3FM FN+=uuuur uuuur求直线l 的方程式 . （ 22） （本小题满分 14 分） 设数列 na 的前 n 项和为 ,ns 对任意的正整数 n，都有 51nnas= + 成立，记4().1nnnabnNa+=（）求数列 na 与数列 nb 的通项公式； （）设数列 nb 的前 n 项和为 Rn，是否存在正整数 k，使得 4kR k 成立？若存在，找出一个正整数 k;若不存在，请说明理由； （）记221(), |nnn ncbb nN c+= 设数列 的前 n 项和味nT ，求证：对任意正整数n，都有3.2n
9、T ，故 函数 () 0gx= 无极值。 m 1 时，() 0gx= 有两个实根，11(2 1 )3x m=，21(2 1 )3x m=+， 当 x 变化时，()gx、 ()gx的变化情况如下表： 故在 m (,1) 时，函数 ()gx有极值： 当1(2 1 )3x m=时 ()gx有极大值； 当1(2 1 )3x m=+时 ()gx有极大值。 12 分 （ 21）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。 解： （）由条件有2222caac=解得 a= 2 ,c=1 221bac = 所以，所求椭圆的方程为2212xy+= .4 分 （）由（）
10、知1(1,0)F 、2(1, 0)F 若直线 L 的斜率不存在，则直线 L 的方程为 x= 1， 将 x= 1 代入椭圆方程的22y = 不妨设 M 2(1, )2 、 N 2(1, )2 2222(2, ) (2, ) (4,0)FM FN += +=uuuuur uuuur22|4FM FN +=uuuuur uuuur,与题设矛盾。 直线 l的斜率存在 设直线 l的斜率为 k ，则直线 l的方程为 (1)ykx= + 设11 2 2(, ) (, )M xy Nxy、 联立221,2(1)xyykx+=+消 y得22 2 2(1 2 ) 4 2 2 0kx kx k+= 由根与系数的关系
11、知212 2412kxxk+=+，从而12 1222(2)12kyykxxk+= +=+又211222(1,), (1,)F Mx yFNx y= =uuuur uuuur， 22 1212(2,)F MFN xx yy+=+uuuur uuuur22222 12 12222242|()()82 2()()12 124(16 9 1)441FM FN x x y ykkkkkk +=+=+=+uuuur uuuur422424(16 9 1) 2 26()441 3kkkk+ =+化简得4240 23 17 0kk= 解得21k = 或21740k = （舍） 1k = 所求直线 l的方程为
12、1yx=+或 1yx= （ 22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解： （）当 1n= 时，11 1151,4aa a=+= 又1151, 5 1nnn naSa S+=+ = + 115nnnaaa+= ，即114nnaa+= 数列 na 成等比数列，其首项114nnaa+= 14( )411( )4nnna+=（）不存在正整数 k ，使得 4kR k 成立 下证：对任意的正整数 n，都有 4kR n 成立 由（）知54(4) 1nnb =+21 2 2215581(4) 1() 14520816 1 16 415 16 4088(16 1)(16 4)kkkkkkkkkbb+=+ + =+ += +Q
