1、绝密启用并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文 科 数 学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动
2、，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式： ShV31= 。其中 S 是锥体的底面积， h是锥体的高。 如果事伯 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） ； 如果事件 A、 B 独立，那么 )()()( BPAPABP = 第卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知全集 R=U ，集合 240Mxx= ，则UM = （ A） 2
3、2xx或 （ D） 22xx x或 （ 2） 已知2aibii+= +(, )ab R ，其中 i为虚数单位，则 ab+ = （ A） -1 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 （ 3） )13(log)(2+=xxf的值域为 （ A） (0, )+ （ B） )0,+ （ C） (1, )+ （ D） )1, + （ 4）在空间，下列命题正确的是 （ A）平行直线的平行投影重合 （ B）平行于同一直线的两个平面 （ C）垂直于同一平面的两个平面平行 （ D） 垂直于同一平面的两个平面平行 （ 5）设 ()f x 为定义在 R 上的函数。当 0x 时， () 2 2 ( )xfx x b
4、b=+为常数 ，则 (1)f = （ A） -3 （ B） -1 （ C） 1 （ D） 3 （ 6）在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为 （ A） 92， 2 （ B） 92 ， 2 8 （ C） 93， 2 （ D） 93， 2 8 （ 7）设 na 是首项大于零的等比数列，则“12aap ”是“数列 na 是递增数列”的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分而不必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 8）已知某生产厂家的年利润 y（单位：万
5、元）与年产量 x（单位：万件）的函数关系式为2181 2343yxx= + ，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 （ A） 13 万件 （ B） 11 万件 （ C） 9 万件 （ D） 7 万件 （ 9）已知抛物线22( 0)ypxp=，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 ,AB两点，若线段 AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的标准方程为 （ A） 1x= （ B） 1x= （ C） 2x = （ D） 2x = （ 10）观察2() 2x x= ，4 2() 4x x= , (cos ) sinx x= ，由归纳推理可得：若定义在 R上的函数 ()f x 满足 () ()f xf
6、x= ，记 () ()gx fx为 的导函数，则 ()gx （ A） ()f x （ B） ()f x （ C） ()gx （ D） ()gx （ 11）函数22xy x=的图像大致是 （ 12）定义平面向量之间的一种运算“ e ”如下：对任意的 (,)amn= ， (,)bpq= ，令a b mq mp=e 下面说法错误的是 （ A）若 ab与 共线，则 0ab=e （ B） abba=ee （ C）对任意的 ,Ra a ee有（ ） b= ( b) （ D）2222()()ab ab ab+ =e 第卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 （ 13）执行右图所
7、示流程框图，若输入 4x= ，则输出 y 的值为 _ （ 14） 已知 (, )x yR+ ，且满足 134xy+ = ，则 xy的最大值为 _ （ 15 ）在 ABC 中，角 A BC、 所对的边分别为 a、b、c 若,2,2 = ba2cossin =+ BB,，则角 A的大小为 _ （ 16）已知圆 C过点 (1, 0) ，且圆心在 x轴的正半轴上，直线1: = xyl被该圆所截得的弦长为 22，则圆 C的标准方程为 _ 三、解答题：本题共6小题，共74分 。 （ 17） （本小题满分 12 分） 已知函数2( ) sin( )cos cos ( 0)fx x x x = + 的最小正周
8、期为 （）求 的值 （）将函数 ()yfx= 的图像上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数()ygx= 的图像，求函数 ()gx在区间 0,16 上的最小值。 （ 18） （本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 满足：3577, 26aaa=+= na 的前 n 项和为nS 。（）求na 及nS ； （）令21()1nnbnNa+=，求数列 na 的前 n项和 Tn （ 19） （本小题满分 12 分） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1, 2, 3, 4 ， （）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； （）先从袋中随机取一个球
9、，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 2nm+ 的概率。 （ 20） （本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，BCDAMA 平面 , PD MA , E GF、 分别为 MB 、 PCPB、 的中点，且2MAPDAD = （）求证：平面 PDCEFG 平面 ; （）求三棱锥的体积之比与四棱锥 ABCDPMABP （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 ).(111)( Raxaaxnxxf += （）当 处的切线方程；，在点（时，求曲线 )2(2)(1 fxfya = （）当12a 时，讨论 ()f x 的
10、单调性 （ 22） （本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆 12222=+byax(a b 0) 过点（ 1，22） ，离心率为 22，左右焦点分别为12FF 点 P为直线 l： 2xy+ = 上且不在 x轴上的任意一点， 直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为 AB、 和 ,CDO、 为坐标原点 （） 求椭圆的标准方程； （）设直线1PF 、2PF 斜率分别为1k2k、 ()i 证明：12132kk= （）问直线 l上是否存在一点 P， 使直线 OA OB OC OD、 的斜率 OA OB OC ODkkkk、 满足 0OA OB OC ODkkkk+ +=？若存在， 求出所有满足条件的
11、点 P的坐标；若不存在，说明理由 参考答案 评分说明： 1本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。 （
12、 1） C （ 2） B （ 3） A （ 4） D （ 5） A （ 6） B （ 7） C （ 8） C （ 9） B （ 10） D （ 11） A （ 12） B 二、填空题：本题考 查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。 （ 13）54 （ 14） 3 （ 15）6（ 16）22(3)x y +=4 三、解答题 （ 17）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力，满分 12 分。 （）由（）知21)42sin(22)( +=xxf， 所以21)44sin(22)2()( +=xxfxg。 当60 x时，2444+ x 所以1
13、)44sin(22+x因此 121()2gx+ ， 故 ()gx 在区间 0,16内的最小值为 1 （ 18）本小题主要考察等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。 解： （）设等差数列a n的首项为 a 1，公差为 d， 由于 a3=7， a5+ a7=26， 所以 a1+2d=7， 2a1+10d=26， 解得 a1=3， d=2. 由于 an= a1+（ n-1） d， Sn= 12n(a1+ an), 所以 an=2n-1, Sn=n2+n, （）因为 an=2n-1， 所以 an2-1=4n（ n+1） ， 因此 Tn=b1+ b2+ bn= 14(1- 12+ 12-
14、 12+1n-11n) =14(1-11n) =4( 1)nn+所以数列 nb 的前 n项和nT =4( 1)nn+。 （ 19）本小题主要考察古典概念、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的能力。满分 12 分。 解： （ I）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2， 1 和 3，1 和 4， 2 和 3， 2 和 4， 3 和 4，共 6 个。 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个。 因此所求事件的概率为 1/3。 （ II）先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为 n，
15、其一切可能的结果（ m, n）有： （ 1,1） （ 1,2） ,（ 1,3） ,（ 1,4） ,（ 2,1） ,（ 2,2） ,（ 2,3） ,（ 2,4） ,（ 3,1） （ 3,2） , （ 3,3） （ 3,4） ,（ 4,1） （ 4,2） ， （ 4,3） （ 4,4） ，共 16 个 有满足条件 n m+2 的事件为（ 1,3） （ 1,4） （ 2,4） ，共 3 个 所以满足条件 n m+2 的事件的概率为 P=3/16 故满足条件 n 函数f(x) 单调递 （ 2）当 0a 时,由f(x)=0 即210ax x a+=，解得1211, 1xxa= = 当12a = 时，12
16、,() 0xxhx=恒成立， 此时 () 0fx ，函数 ()f x 在（ 0， +）上单调递减； 当110,102aa时 (0,1)x 时， ( ) 0, ( ) 0, ( )hx f x fx此时 函数 单调递增； 1(1,),()0xhxa+ 时 ，此时 () 0fx ，此时 () 0fx ，函数 ()f x 单调递增。 综上所述： 当 0a 时，函数 ()f x 在（，）上单调递减； 函数 ()f x 在（，）上单调递增； 当12a = 时，函数 ()f x 在（ 0， +）上单调递减； 当102a时，函数 ()f x 在（ 0， 1）上单调递减； 函数 ()f x 在1(1, 1)a
17、 上单调递增； 函数1() ( 1, )fxa +在 上单调递减， （ 22）本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。 （）解：因为椭圆过点（ 1，22） ， e=22， 所以221112ab+=，22ca= 又222abc=+， 所以 211abc=， 故 所求椭圆方程为 2212xy+= （ II） （ 1）证明： 方法二 : 1,1,P00200100=+=xykxykyx 则）（设因为点 P 不在 x 轴上，所以00y又200=+ yx所以2224131310000000021=+=yyyxyxyxkk）（因
18、此结论成立 （）解：设 (, )AAAx y ， (, )BBB xy， (, )CCCx y ， (, )D DDx y 12,1,0,0,022222=+kkkkkxxODOCDc故122212()11OA OB OC ODkkkkkkkk+= + 2212 1 1 2 222122(1)(1)kk k kk kkk+ =12 1 222122( 1)( )(1)(1)kk k kkk+=若 0OA OB OC ODkkkk+=，须有12kk+ =0 或12kk =1 当12kk+ =0 时，结合（）的结论，可得2k = 2，所以解得点 P 的坐标为（ 0， 2） ； 当12kk =1 时，结合（）的结论，可得2k =3 或2k = 1（此时1k = 1，不满足1k 2k ，舍去 ） ，此时直线 CD 的方程为 3( 1)yx= ，联立方程 2xy+ = 得54x= ，34y = 因此 53(,)44P 综上所述，满足条件的点 P 的坐标分别为 (0,2)， （54，34） 。
