2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学理及答案解析.docx

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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学理一、选择题 (共 10小题，每小题 5 分，满分 50 分 )1.满足 =i(i为虚数单位 )的复数 z=( )A. + iB. - iC.- + iD.- - i 解析： =i， z+i=zi，即 z= = = - i，答案： B.2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每

2、个个体被抽中的概率分别为 P1， P2， P3，则 ( )A.P1=P2 P3B.P 2=P3 P1C.P1=P3 P2D.P1=P2=P3解析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个数被抽中的概率都是相等的，即 P1=P2=P3，答案： D3.已知 f(x)， g(x)分别是定义在 R上的偶函数和奇函数，且 f(x)-g(x)=x 3+x2+1，则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.3解

3、析：由 f(x)-g(x)=x3+x2+1，将所有 x替换成 -x，得 f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，根据 f(x)=f(-x)， g(-x)=-g(x)，得 f(x)+g(x)=-x 3+x2+1，再令 x=1，计算得， f(1)+g(1)=1.答案： C.4. ( x-2y)5的展开式中 x2y3的系数是 ( )A.-20B.-5C.5D.20 解析：由二项式定理可知： Tr+1= ，要求解 ( x-2y)5的展开式中 x2y3的系数，所以 r=3，所求系数为： =-20.答

4、案： A.5.已知命题 p：若 x y，则 -x -y；命题 q：若 x y，则 x 2 y2，在命题 p q； p q； p ( q)； ( p) q中，真命题是 ( )A. B. C. D. 解析：根据不等式的性质可知，若若 x y，则 -x -y成立，即 p 为真命题，当 x=1， y=-1时，满足 x y，但 x 2 y2不成立，即命题 q 为假命题，则 p q 为假命题； p q 为真命题； p ( q)为真命题； ( p) q为假命题，答

5、案： C.6.执行如图所示的程序框图，如果输入的 t -2， 2，则输出的 S属于 ( ) A.-6， -2B.-5， -1C.-4， 5D.-3， 6解析：若 0 t 2，则不满足条件输出 S=t-3 -3， -1，若 -2 t 2，则满足条件，此时 t=2t2+1 (1， 9，此时不满足条件，输出 S=t-3 (-2， 6，综上： S=t-3 -3， 6，答案： D7.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，

6、加工成球，则能得到的最大球的半径等于 ( ) A.1B.2C.3D.4解析：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r，则 8-r+6-r= ， r=2.答案： B.8.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ( )A. B.C.D. -1解析：设原来的生产总值为

7、 a，平均增长率为 x，则 a(1+p)(1+q)=a(1+x)2，解得 1+x= ，即 x= -1，答案： D.9.已知函数 f(x)=sin(x- )，且 f(x)dx=0，则函数 f(x)的图象的一条对称轴是 ( ) A.x=B.x=C.x=D.x=解析：函数 f(x)=sin(x- )， f(x)dx=-cos(x- ) =-cos( - )-cos(- )= cos - sin = cos( + )=0， + =k + ， k z，即 =k + ， k z，故可取 = ， f(x)=sin(x- ).令 x- =k

8、 + ，求得 x=k + ， k z，则函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x= ，答案： A.10.已知函数 f(x)=x 2+ex- (x 0)与 g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于 y轴对称的点，则 a的取值范围是 ( )A.(- ， )B.(- ， )C.(- ， )D.(- ， )解析：由题意可得：存在 x 0 (- ， 0)，满足 x02+ex0- =(-x0)2+ln(-x0+a)，即 ex0- -ln(-x0+a)=0有负根，当 x趋近于负无穷大时

9、， ex0- -ln(-x0+a)也趋近于负无穷大，且函数 f(x)=ex- -ln(-x+a)为增函数， f(0)= -lna 0， lna ln ， a ， a 的取值范围是 (- ， )，答案： B二、填空题 (共 3 小题，每小题 5 分，满分 10 分 )(一 )选做题 (请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ) 11.在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线 l 与曲线 C：， ( 为参数

10、)交于A， B 两点，且 |AB|=2，以坐标原点 O 为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 l的极坐标方程是 .解析：设倾斜角为的直线 l 的方程为 y=x+b，曲线 C： ( 为参数 )，即 (x-2)2+(y-1)2=1，表示以 (2， 1)为圆心、半径等于1的圆 . 由于弦长 |AB|=2，正好等于直径，故圆心 (2， 1)在直线 l上，故有 1=2+b，解得 b=-1，故直线 l 的方程为 y=x-1，

11、即 x-y-1=0.再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得 cos - sin -1=0，即 (cos -sin )=1答案： (cos -sin )=1.12.如图所示，已知 AB， BC 是 O的两条弦， AO BC， AB= ， BC=2 ，则 O 的半径等于 . 解析：设垂足为 D， O 的半径等于 R，则 AB， BC是 O 的两条弦， AO BC， AB= ， BC=2 ， AD=1， R2=2+(R-1)2， R=1.5.答案： 1.513.若关于 x 的不等式 |ax

13、y的最小值为 -6，则 k= . 解析：作出不等式对应的平面区域， (阴影部分 ) 由 z=2x+y，得 y=-2x+z，平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z经过点 A 时，直线 y=-2x+z的截距最小，此时 z 最小 .目标函数为 2x+y=-6，由，解得，即 A(-2， -2)，点 A也在直线 y=k上， k=-2，答案： -2.15.如图所示，正方形 ABCD与正方形 DEFG的边长分别为 a， b(a b)，

14、原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y 2=2px(p 0)经过 C， F 两点，则 = .解析：由题意可得，，将 C， F 两点的坐标分别代入抛物线方程 y2=2px中，得 a 0， b 0， p 0，两式相比消去 p得，化简整理得 a2+2ab-b2=0，此式可看作是关于 a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，答案： .16.在平面指教坐标系中， O 为原点， A(-1， 0)， B(0， )， C(3， 0)，

15、动点 D 满足 | |=1，则 | + + |的最大值是 .解析：由题意可得，点 D 在以 C(3， 0)为圆心的单位圆上，设点 D 的坐标为 (3+cos ， sin )，则 | + + |= = . 4cos +2 sin 的最大值为 =2 ， | + + |的最大值是 = +1，答案： +1. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分17.(12分 )某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和 .现安排甲

16、组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立 .( )求至少有一种新产品研发成功的概率；( )若新产品 A研发成功，预计企业可获利润 120万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望 .解析： ( )利用对立事件的概率公式，计算即可，( )求出企业利润的分布列，再根据数学期

17、望公式计算即可 .答案： ( )设至少有一种新产品研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件，则事件 B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和 .则 P(B)= ，再根据对立事件的概率之间的公式可得 P(A)=1-P(B)= ，故至少有一种新产品研发成功的概率为 .( )由题可得设企业可获得利润为 X，则 X的取值有 0， 12

18、0， 100， 220，由独立试验的概率计算公式可得，，，所以 X的分布列如下：则数学期望 E(X)= =140.18.(12分 )如图，在平面四边形 ABCD中， AD=1， CD=2， AC= . ( )求 cos CAD的值；( )若 cos BAD=- ， sin CBA= ，求 BC的长 .解析： ( )利用余弦定理，利用已知条件求得 cos CAD 的值 .( )根据 cos CAD， cos BAD 的值分别，求得 sin BAD和 sin CAD，

19、进而利用两角和公式求得 sin BAC 的值，最后利用正弦定理求得 BC.答案： ( )cos CAD= = = .( ) cos BAD=- ， sin BAD= = ， cos CAD= ， sin CAD= = sin BAC=sin( BAD- CAD)=sin BADcos CAD-cos BADsin CAD= + = ，由正弦定理知 = ， BC= sin BAC= =319.(12分 )如图，四棱柱 ABCD-A 1B1C1D1的所有棱长都相等， AC BD=O， A1C1 B1D1=O1，四

20、边形ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形 . ( )证明： O1O 底面 ABCD；( )若 CBA=60 ，求二面角 C1-OB1-D的余弦值 .解析： ( )由已知中，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等， AC BD=O， A1C1 B1D1=O1，四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形 .可得 O1O CC1 BB1且 CC1 AC， BB1 BD，进而 OO1 AC，OO1 BD，再由线面垂直的判定定理得到 O1O 底面 ABCD；(

21、 )设四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为 2a，设 AB 为 2，若 CBA=60 ， OA=OC=1，OB=OD= ，以 O 为坐标原点，分别以 OB， OC， OO1为 x， y， z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面 BDD 1B1和平面 OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值 .答案： ( ) 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，四边形 ABCD为菱形，又 AC BD=O，故 O

22、为 BD的中点，同理 O1也是 B1D1的中点，又四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形， O1O CC1 BB1且 CC1 AC， BB1 BD， OO1 AC， OO1 BD，又 AC BD=O， AC， BD平面 ABCD， O1O 底面 ABCD；( )设四棱柱 ABCD-A 1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形 ABCD是菱形， AC BD，又 O1O 底面 ABCD， OB， OC， OO1两两垂直，如图，以 O为坐标原点， OB， OC， OO1所在直

23、线分别为 x 轴， y 轴， z轴建立直角坐标系 O-xyz.设 AB=2， CBA=60 ， OA=OC=1， OB=OD= ，则 O(0， 0， 0)， B1( )， C1(0， 1， 2)易知， =(0， 1， 0)是平面 BDD1B1的一个法向量，设 =(x， y， z)是平面 OB1C1的一个法向量，则，即取 z=- ，则 x=2， y=2 ，所以 =(2， 2 ， - )设二面角 C1-OB1-D 的大小为，易知是锐角，于是：cos =|cos ， |=| |= = ，故二

24、面角 C 1-OB1-D 的余弦值为 .20.(13分 )已知数列 an满足 a1=1， |an+1-an|=pn， n N*.( )若 an是递增数列，且 a1， 2a2， 3a3成等差数列，求 p的值；( )若 p= ，且 a2n-1是递增数列， a2n是递减数列，求数列 an的通项公式 .解析： ( )根据条件去掉式子的绝对值，分别令 n=1， 2 代入求出 a 2和 a3，再由等差中项的性质列出关于 p的方程求解，利用 “ an

25、是递增数列 ” 对求出的 p的值取舍；( )根据数列的单调性和式子 “ |an+1-an|=pn” 、不等式的可加性，求出和 a2n+1-a2n= ，再对数列 an的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前 n 项和公式，求出数列 an的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来 .答案： ( ) 数列 a n是递增数列， an+1-an 0，则 |an+1-an|=pn化为： an+1-a

28、项数为奇数时，令 2n=2m(m N*)，，，，，这 2m 个等式相加可得， - += - = ，则，且当 m=0时 a 1=1符合，故，综上得， .21.(13分 )如图， O为坐标原点，椭圆 C 1： + =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为 e1；双曲线 C2： - =1的左、右焦点分别为 F3， F4，离心率为 e2，已知 e1e2= ，且 |F2F4|= -1. ( )求 C1、 C2的方程；( )过 F1作 C1的不垂

29、直于 y 轴的弦 AB， M 为 AB的中点，当直线 OM与 C2交于 P， Q 两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值 .解析： ( )由斜率公式写出 e1， e2，把双曲线的焦点用含有 a， b 的代数式表示，结合已知条件列关于 a， b 的方程组求解 a， b 的值，则圆锥曲线方程可求； ( )设出 AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于 y 的一元二次方程，由根与系数的关系

30、得到 AB 中点 M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出 AB 的长度，写出 PQ 的方程，和双曲线联立后解出 P， Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出 P， Q 到 AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形 APBQ的面积，再由关于 n 的函数的单调性求得最值 .答案： ( )由题意可知，，且 . e 1e2= ，且 |F2F4|= -1. ，且 .解得： . 椭圆 C1的方程

31、为，双曲线 C2的方程为；( )由 ( )可得 F 2(-1， 0). 直线 AB 不垂直于 y 轴，设 AB的方程为 x=ny-1，联立，得 (n2+2)y2-2ny-1=0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)，则 . M 在直线 AB 上， .由焦点弦公式可得： |AB|= . 直线 PQ的方程为，联立，得 .解得，代入得 .由 4-n 2 0，得 -2 n 2. P， Q的坐标分别为，则 P， Q 到 AB 的距离分别为：，. P， Q

32、在直线 A， B的两端， .则四边形 APBQ 的面积 . 当 n2=0，即 n=0 时，四边形 APBQ 面积取得最小值 4.22.(13分 )已知常数 a 0，函数 f(x)=ln(1+ax)- .( )讨论 f(x)在区间 (0， + )上的单调性；( )若 f(x)存在两个极值点 x1， x2，且 f(x1)+f(x2) 0，求 a的取值范围 .解析： ( )利用导数判断函数的单调性，注意对 a 分类讨论；( )利用导数判断函数的极值

33、，注意 a 的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决 .答案： ( ) f(x)=ln(1+ax)- . f (x)= = ， (1+ax)(x+2)2 0，当 1-a 0时，即 a 1 时， f (x) 0恒成立，则函数 f(x)在 (0，+ )单调递增，当 a 1 时，由 f (x)=0得 x= ，则函数 f(x)在 (0， )单调递减，在 ( ， + )单调递增 .( )由 ( )知，当 a 1 时， f (x) 0，此时 f(x)不存在极值点 .因此要使 f

34、(x)存在两个极值点 x 1， x2，则必有 0 a 1，又 f(x)的极值点值可能是x1= ， x2=- ，且由 f(x)的定义域可知 x - 且 x -2， - - 且 - -2，解得 a ，则 x1， x2分别为函数 f(x)的极小值点和极大值点， f(x1)+f(x2)=ln1+ax1- +ln(1+ax2)- =ln1+a(x1+x2)+a2x1x2-=ln(2a-1)2- =ln(2a-1)2+ -2.令 2a-1=x，由 0 a 1 且 a 得，当 0 a 时， -1 x 0；当 a 1 时， 0 x 1.令 g(x)=lnx 2+ -2.(i)当 -1 x 0时， g(x)=2ln(-x)+ -2， g (x)= - = 0，故 g(x)在 (-1， 0)上单调递减， g(x) g(-1)=-4 0，当 0 a 时， f(x 1)+f(x2) 0；(ii)当 0 x 1.g(x)=2lnx+ -2， g (x)= - = 0，故 g(x)在 (0， 1)上单调递减， g(x) g(1)=0，当 a 1 时， f(x1)+f(x2) 0；综上所述， a的取值范围是 ( ， 1).

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