1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页，共 150 分 第 I 卷 考生注意： 1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答， 若在试题卷上作答，答案无效 3考试结束，监考员将试题卷、
2、答题卡一并收回 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PAPB=ii 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发的概率是 P ，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 () (1 ) kk nk nn Pk CP P = 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1若集合 01M = ， ， 012345I =
3、 ， ， ， ，则 I M 为（ ） 01， 2345， ， 02345， ， 12345， ， 2函数 5tan(2 1)yx=+的最小正周期为（ ） 4 2 2 3函数 1 () lg 4 x fx x = 的定义域为（ ） (1 4)， 1 4)， (1)(4 )+， (1(4 ) +， 4若 tan 3 = ， 4 tan 3 = ，则 tan( ) 等于（ ） 3 1 3 3 1 3 5设 29 2 1 01 2 1 ( 1)(2 1) ( 2) ( 2) ( 2)xxaaxax ax+=+null ， 则 012 1 aaa a+null 的值为（ ） 2 1 1 2 6 一袋中装
4、有大小相同， 编号分别为 12345678， ， ， ， 的八个球， 从中有放回 地每次取一个球， 共取 2 次，则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为（ ） 1 32 1 64 3 32 3 64 7连接抛物线 2 4x y= 的焦点 F 与点 (1 0)M ， 所得的线段与抛物线交于点 A，设点 O为坐 标原点，则三角形 OAM 的面积为（ ） 12+ 3 2 2 12+ 3 2 2 + 8若 0 2 x，则下列命题正确的是（ ） 2 sin x x 3 sin x x 9 四面体 ABCD的外接球球心在 CD上， 且 2CD= ， 3AD= ， 在外接球面上两点 AB， 间的球面距离
5、是（ ） 6 3 2 3 5 6 10设 32 :() 2 1p fx x x mx=+ +在 ()+， 内单调递增， 4 : 3 qm ，则 p 是 q 的 （ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 11四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口 半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的 高度从左到右依次为 1 h ， 2 h ， 3 h ， 4 h ，则它们的大小关系正确的是（ ） 214 hhh 123 hhh 324 hhh 241 hhh 12 设椭圆 22 22 1( 0) x
6、y ab ab +=的离心率为 1 e 2 = ，右焦点为 (0)Fc， ，方程 2 0ax bx c+=的两个实根分别为 1 x 和 2 x ，则点 12 ()Px x， （ ） 必在圆 22 2xy+=上 必在圆 22 2xy+ = 外 必在圆 22 2xy+=内 以上三种情形都有可能 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 第 II 卷 注意事项： 第 II 卷 2 页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无 效 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把答案填在答题卡上 13在平面直角坐标系中，正方形 OABC的对角线
7、 OB 的两端点分别为 (0 0)O ， ， (1 1)B ， ， 则 ABAC= nullnullnullnull nullnullnullnull i 14已知等差数列 n a 的前 n项和为 n S ，若 12 21S = ，则 2581 aaaa+ + = 15已知函数 ()y fx= 存在反函数 1 ()y fx = ，若函数 (1 )y fx= + 的图象经过点 (31)， ， 则函数 1 ()y fx = 的图象必经过点 16如图，正方体 1 AC 的棱长为 1，过点作平面 1 ABD的垂线，垂足为点 H 有下列四个 命题 点 H 是 1 ABD 的垂心 AH 垂直平面 11 C
8、B D 二面角 11 1 CBDC的正切值为 2 点 H 到平面 111 1 ABCD的距离为 3 4 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） A D 1 D 1 C 1 A 1 B B H C 已知函数 2 1(0) () 21( 1) x c cx x c fx cx + = + 18 （本小题满分 12 分） 如图，函数 2cos( )( 0 0 ) 2 yxx =+R， 的图象与 y 轴相交于点 (0 3)， ， 且该函数的最小正周期为 （ 1）求 和 的值； （
9、2） 已知点 0 2 A ， ， 点 P 是该函数图象上一点， 点 00 ()Qx y， 是 PA的中点，当 0 3 2 y = ， 0 2 x ， 时，求 0 x 的值 19 （本小题满分 12 分） 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗 ，然后再进行移栽已知甲、乙两种果树成苗 的概率分 别为 0.6 ， 0.5，移栽后成活 的概率分别为 0.7 ， 0.9 （ 1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗 的概率； （ 2）求恰好有一种果树能培育成苗 且移栽成活 的概率 20 （本小题满分 12 分） 右图是一个直三棱柱（以 111 ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC 已知 11
10、 11 1AB BC=， 111 90ABC= null ， 1 4AA = ， 1 2BB = ， 1 3CC = （ 1）设点 O是 AB 的中点，证明： OC 平面 111 ABC； （ 2）求 AB 与平面 11 AACC 所成的角的大小； （ 3）求此几何体的体积 21 （本小题满分 12 分） 设 n a 为等比数列， 1 1a = ， 2 3a = （ 1）求最小的自然数 n，使 2007 n a ； （ 2）求和： 2 123 2 123 2 n n n T aaa a =+null y x 3 O A P A B C O 1 A 1 B 1 C 22 （本小题满分 14 分）
11、 设动点 P 到点 1 (10)F ， 和 2 (1 0)F ， 的距离分别为 1 d 和 2 d ， 12 2FPF = ，且存在常数 (0 1) ，使得 2 12 sindd = （ 1）证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方 程； （ 2）如图，过点 2 F 的直线与双曲线 C 的右支交于 AB， 两点问：是否存在 ，使 1 FAB 是以点 B 为 直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值；若 不存在，说明理由 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题 13 1 14 7
12、15 (1 4)， 16 A， B， C 三、解答题 17解： （ 1）因为 01c ，所以 2 cc ； 由 2 9 () 8 fc = ，即 3 9 1 8 c += ， 1 2 c= （ 2）由（ 1）得 4 11 1 22 () 21 1 x xx fx x +0 = 1 +得， 当 1 0 2 x时，解得 21 42 x， 当 1 1 2 x 时，解得 15 28 x+的解集为 25 48 xx ，得 2 2 2 T = （ 2）因为点 0 2 A ， ， 00 ()Qx y， 是 PA的中点， 0 3 2 y = 所以点 P 的坐标为 0 23 2 x ， 又因为点 P 在 2co
13、s 2 6 yx =+ 的图象上，且 0 2 x ，所以 0 5 3 cos 4 62 x = ， 0 7 5 19 4 666 x ，从而得 0 5 11 4 66 x = 或 0 5 13 4 66 x = ， 即 0 2 3 x = 或 0 3 4 x = 19解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件 1 A ， 2 A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为 事件 1 B ， 2 B ， 1 ()0.6PA = ， 2 ()0.5PA = ， 1 ()0.7PB = ， 2 ()0.9PB = （ 1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 12 12 ( ) 1 ( ) 1 0.4 0.5 0.
14、8PA A PAA+= =i ； （ 2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件 A B， ， 则 11 ( ) ( ) 0.42PA PAB=， 22 ( ) ( ) 0.45PB PAB= = 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 ( ) 0.42 0.55 0.58 0.45 0.492PAB AB+=+= 解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为 11 2 112 2 122 1212 ( ) 0.492PABA ABAB AAB AABB+ = 20 解法一： （ 1）证明：作 1 OD AA 交 11 AB于 D，连 1 CD 则 11 OD BB CC ， 因为 O是
15、AB 的中点， 1 B 1 C D 1 A B 2 C C HO 2 A A 所以 11 1 1 ()3 2 OD AA BB CC=+= 则 1 ODCC 是平行四边形，因此有 1 OC C D ， 1 CD平面 111 CBA，且 OC 平面 111 CBA 则 OC 面 111 ABC （ 2）解：如图，过 B 作截面 22 BA C 面 111 ABC，分别交 1 AA ， 1 CC 于 2 A ， 2 C ， 作 22 BHAC 于 H ， 因为平面 22 ABC 平面 11 AACC ，则 BH 面 11 AACC 连结 AH ，则 BAH 就是 AB 与面 11 AACC 所成的
16、角 因为 2 2 BH = ， 5AB = ，所以 10 sin 10 BH BAH AB = AB 与面 11 AACC 所成的角为 10 arcsin 10 BAH = （ 3）因为 2 2 BH = ，所以 22 22 1 3 B AACC AACC VSBH = i 11 2 1 (1 2) 2 32 2 2 =+ =ii 111 2 2 111 1 1 21 2 ABC ABC ABC VSB =ii 所求几何体的体积为 22 111 2 2 3 2 BAACC ABC ABC VV V =+ = 解法二： （ 1）证明：如图，以 1 B 为原点建立空间直角坐标系，则 (0 1 4)
17、A ， ， ， (0 0 2)B ， ， ， (1 0 3)C ， ， ， 因为 O是 AB 的中点，所以 1 03 2 O ， ， 1 10 2 OC = nullnullnullnull ， ， 易知， (0 0 1)n= null ， ， 是平面 111 ABC的一个法向量 由 0OC n= nullnullnullnull null i 且 OC 平面 111 ABC知 OC 平面 111 ABC 1 A 1 B 1 C x B z C O A y （ 2）设 AB 与面 11 AACC 所成的角为 求得 1 (0 0 4)AA= nullnullnullnull ， ， ， 11 (
18、1 1 0)AC = nullnullnullnullnull ， 设 ()mxyz= nullnull ， 是平面 11 AACC 的一个法向量，则由 1 11 0 0 AAm AC m = = nullnullnullnull nullnull i nullnullnullnullnull nullnull i 得 0 0 z xy = = ， 取 1x y=得： (1 1 0)m= nullnull ， ， 又因为 (0 1 2)AB = nullnullnullnull ， 所以， cos m= = nullnull nullnullnullnull nullnullnullnull
19、i nullnull nullnullnullnull i 则 10 sin 10 = 所以 AB 与面 11 AACC 所成的角为 10 arcsin 10 （ 3）同解法一 21解： （ 1）由已知条件得 1 1 2 1 13 n n n a a a = i ， 因为 67 3 2007 3，所以，使 2007 n a 成立的最小自然数 8n= （ 2）因为 2 23 21 12 3 4 2 133 3 3 n n n T =+ + null ， 2 234 21 2 1123 33333 3 3 n nn T = + + null ， + 得： 2 23 212 4111 1 33333
20、3 n nn n T =+ + null 2 2 1 1 2 3 1 3 1 3 n n n = + 2 2 33 3 8 43 n n n = i i 所以 22 2 2 3924 16 3 n n n n T + = i 22解： （ 1）在 12 PFF 中， 12 2FF = 22 2 2 1 2 12 1 2 12 42cos2()4sind d dd d d dd =+ = + 2 12 ()44dd = 12 21dd = （小于 2 的常数） 故动点 P 的轨迹 C 是以 1 F ， 2 F 为焦点，实轴长 221a = 的双曲线 方程为 22 1 1 xy = （ 2）方法一
21、：在 1 AFB 中，设 11 AFd= ， 22 AFd= ， 13 BFd= ， 24 BFd= 假设 1 AFB 为等腰直角三角形，则 12 34 342 13 2 34 2 2 2 sin 4 dd a dd a ddd dd dd = = =+ = = null null null null null 由与得 2 2da= ， 则 1 3 43 4 22 22(21) da da dd a a = = = 由得 34 2dd = ， 2 42(2 1) 2a = (8 4 2)(1 ) 2 =， 12 2 2 (0 1) 17 =， 故存在 12 2 2 17 = 满足题设条件 方法
22、二： （ 1）设 1 AFB 为等腰直角三角形，依题设可得 2 1212 2 12 12 222 sin 8 21 1cos 4 sin 2 4 AF AFAF AF BF BF BF BF = = = iii ii i ， 所以 12 12 1 sin ( 2 1) 24 AF F SAFAF =+i ， 12 12 1 2 BF F SBFBF= =i 则 1 (2 2) AF B S =+ 由 12 12 2 2 21 AF F BF F S AF SBF =+ ，可设 2 BFd= ， 则 2 (2 1)AF d=+， 1 (2 2)BFAB d=+ 则 1 2 22 11 (2 2) 22 AF B SAB d=+ 由得 2 (2 2) 2d += 根据双曲线定义 12 221BF BF a =可得， (2 1) 21d + = 平方得： 22 (2 1) 4(1 )d += 由消去 d 可解得， 12 2 2 (0 1) 17 =， 故存在 12 2 2 17 = 满足题设条件
