1、2015届北京市石景山区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 如图，在 Rt ABC中， C 90， BC 4， AC=3，则 sinA的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由勾股定理知， AB= =5， sinA= = 故选 C 考点：锐角三角函数的定义 如图，正方形 ABCD的边长为 a，动点 P从点 A出发，沿折线ABDCA 的路径运动，回到点 A时运动停止设点 P运动的路程长为x， AP长为 y，则 y关于 x的函数图象大致是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：设动点 P按沿折线 ABDCA 的路径运动， 正方形 ABCD的边长为 a， BD=
2、， 则当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 结合函数式可以得出第 2， 3段函数式不同，得出 A选项一定错误， 根据当 时，函数图象被 P在 BD中点时，分为对称的两部分，故 B选项错误， 再利用第 4段函数为一次函数得出，故 C选项一定错误， 故只有 D符合要求， 故选 D 考点：动点问题的函数图象 已知：二次函数 的图象如图所示，下列说法中正确的是（ ） A B C D当 时， 答案： C 试题分析： A把 x=1代入 得： ，由函数图象可以看出当 x=1时，二次函数的值为负，即 ；故此选项错误； B由二次函数的图象开口向上可得 a 0，对称轴 ， ， ，故此选项错误；
3、C 抛物线与 x轴两个交点的横坐标为 1， 3， 对称轴 ， ， ，故此选项正确； D由图象可知：当 时， 或 ，故此选项错误 故选 C 考点： 1二次函数图象与系数的关系； 2二次函数图象上点的坐标特征；3抛物线与 x轴的交点 如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆 10米的 A处，测得旗杆顶部 B的仰角为 ，则旗杆的高度 BC为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： AC=10米， A=度， 在 Rt ABC中， BC=10tan米故旗杆BC的高度为 10tan米故选 A 考点：解直角三角形的应用 将 化为 的形式， ， 的值分别为（ ） A ， B ， C ， D ， 答案： B 试
4、题分析： ， h= 3， k= 2故选B 考点：二次函数的三种形式 将抛物线 向右平移 1个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：抛物线 的顶点坐标为（ 0， 0），把点（ 0， 0）向右平移 1个单位得到点的坐标为（ 1， 0），所以所得的抛物线的表达式为 故选 B 考点： 1二次函数图象与几何变换； 2几何变换 如图，平行四边形 ABCD中， E为 DC的中点， AC与 BE交于点 F则 EFC与 BFA的面积比为（ ） A B 1 2 C 1 4 D 1 8 答案： C 试题分析： 四边形 ABCD是平行四边形， DC AB， DC=AB， ECF
5、BAF， 点 E是 CD中点， CE= CD= AB， CE： AB=1： 2， EFC与 BFA的面积比 =1： 4，故选 C 考点： 1平行四边形的性质； 2相似三角形的判定与性质 如图， A， B， C 都是 O 上的点，若 ABC=110，则 AOC 的度数为（ ） A 70 B 110 C 135 D 140 答案： D 试题分析：如图，在优弧 AC上取点 D，连接 AD， CD， ABC=110， D=180 110=70， AOC=2 D=702=140，故选 D 考点：圆周角定理 填空题 一个扇形的圆心角为 120，半径为 3，则这个扇形的弧长为 （结果保留） 答案： 试题分析
6、：扇形的弧长 cm故答案：为： 考点：弧长的计算 写出一个反比例函数 ，使它的图象在各自象限内， 的值随值的增大而减小，这个函数的表达式为 答案： （答案：不唯一） 试题分析：根据反比例函数的性质，在各自象限内 y随 x的增大而减小的反比例函数只要符合 k 0即可， （答案：不唯一），故答案：为： （答案：不唯一） 考点： 1反比例函数的性质； 2开放型 如图， ABC中， AB 8， AC 6，点 D在 AC上且 AD 2，如果要在AB上找一点 E，使 ADE与 ABC相似，那么 AE 答案： 或 试题分析：第一种情况：要使 ABC ADE， A 为公共角， AB： AD=AC：AE，即 8
7、： 2=6： AE， AE= ； 第二种情况：要使 ABC AED， A 为公共角， AB： AE=AC： AD，即 8：AE=6： 2， AE= 故答案：为： 或 考点：相似三角形的判定 二次函数 的图象如图，点 A0位于坐标原点，点 A1， A2， A3A n在y 轴的正半轴上，点 B1， B2， B3B n在二次函数位于第一象限的图象上，点 C1，C2， C3C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形 A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3 四边形 An-1BnAnCn都是菱形， A0B1A1= A1B2A2= A2B3A3= An-1BnAn=60，菱形
8、An-1BnAnCn的周长为 答案： n 试题分析： 四边形 A0B1A1C1是菱形， A0B1A1=60， A0B1A1是等边三角形设 A0B1A1的边长为 m1，则 B1（ ， ）；代入抛物线的式中得：= ，解得 m1=0（舍去）， m1=1；故 A0B1A1的边长为 1，同理可求得 A1B2A2的边长为 2， 依此类推，等边 An-1BnAn的边长为 n，故菱形 An-1BnAnCn的周长为 4n故答案：为： 4n 考点：二次函数综合题 计算题 计算： 答案： 试题分析：原式 = = 考点：实数的运算 解答题 已知：二次函数 （ 1）若二次函数的图象过点 ，求此二次函数图象的对称轴； （
9、 2）若二次函数的图象与 轴只有一个交点，求此时 的值 答案：（ 1）直线 ；（ 2） 试题分析：（ 1）把 A的坐标代入二次函数的表达式，即可求出 k的值，再根据配方成顶点式，即可得到对称轴； （ 2）只要 =0即可 试题：（ 1）将 代入二次函数表达式， ，解得：，将 代入得二次函数表达式为： ，配方得：， 二次函数图象的对称轴为 ， （ 2）由题意得： ， ， ，解得 考点：二次函数的性质 如图 1，在 Rt ABC中， ACB=90， B=60， D为 AB的中点， EDF=90， DE交 AC于点 G， DF经过点 C （ 1）求 ADE的度数； （ 2）如图 2，将图 1 中的 E
10、DF 绕点 D 顺时针方向旋转角 （ ），旋转过程中的任意两个位置分别记为 E1DF1， E2DF2 ， DE1交直线 AC于点 P，DF1交直线 BC于点 Q， DE2交直线 AC于点 M， DF2交直线 BC于点 N，求的值； （ 3）若图 1中 B= ，（ 2）中的其余条件不变，判断 的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含 的式子表示）；如果不是，请说明理由 答案：（ 1） 30；（ 2） ；（ 3）是定值，值为 试题分析：（ 1）由 D为 AB的中点，得到 CD=DB， DCB= B，进一步得到 DCB= B= CDB=60，可以求得 ADE=30； （ 2）先证 PMD QN
11、D，过点 D分别做 DG AC于 G， DH BC于 H，可得 ，再证四边形 CGDH 为矩形，得到 CG=DH=AG，故有 ，即 ； （ 3）是定值，值为 试题：（ 1） ACB=90， D为 AB的中点， CD=DB， DCB= B， B=60， DCB= B= CDB=60， CDA=120， EDC=90， ADE=30； （ 2） C=90， MDN=90， DMC+ CND=180， DMC+ PMD=180， CND= PMD，同理 CPD= DQN， PMD QND，过点 D分别做 DG AC 于 G， DH BC 于 H，可知 DG， DH分别为 PMD和 QND的高， ，
12、DG AC于 G， DH BC于 H， DG BC， D为 AC中点， G为 AC中点， C=90， 四边形CGDH 为矩形有 CG=DH=AG， Rt AGD中， ，即 ； （ 3）是定值，值为 考点：相似三角形综合题 已知二次函数 在 与 的函数值相等 （ 1）求二次函数的式； （ 2）若二次函数的图象与 x轴交于 A， B两点（ A在 B左侧），与 y轴交于点C，一次函数 经过 B， C两点，求一次函数的表达式； （ 3）在（ 2）的条件下，过动点 作直线 /x轴，其中 将二次函数图象在直线 下方的部分沿直线 向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象 M若直线 与新图象 M恰有两个公共
13、点，请直接写出 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 或 试题分析：（ 1）把 与 分别代入二次函数，这两个值相等，即可解出 t； （ 2）先算出 B、 C两点的坐标，再求一次函数的式； （ 3）直接写出答案： 试题：（ 1）由题意得 ，解得 二次函数的式为： ； （ 2）令 ，解得 或 ， ， ，令 ，则 ， ，将 B、 C代入 ， 解得 ， ，一次函数的式为：； （ 3） 或 考点：二次函数综合题 阅读下面材料： （ 1）小乔遇到了这样一个问题：如图 1，在 Rt ABC中， C=90， D， E分别为 CB， CA边上的点，且 AE=BC， BD=CE， BE与 AD的交点
14、为 P，求 APE的度数； 小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图 2，过点B作 BF/AD且 BF=AD，连接 EF， AF，从而构造出 AEF与 CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）请回答： APE的度数为_ 参考小乔同学思考问题的方法，解决问题： （ 2）如图 3， AB为 O的直径，点 C在 O上， D、 E分别为 CB， CA上的点，且 AE= BC， BD= CE， BE与 AD 交于点 P，在图 3 中画出符合题意的图形，并求出 sin APE的值 答案：（ 1） 45；（ 2） 试题分析：（ 1）证明 AEF CBE，得到 EFB是等腰
15、直角三角形，得到 APE= EBF=45； （ 2）过点 B作 FB/AD且 FB=AD，连结 EF 和 AF，得到 AFBD是平行四边形， APE= FBE， AF=DB，由 AEF CBE，得到 ， 1= 3，再证明 FEB=90，在 Rt BEF中，由 tan FBE= 和 APE= FBE，得到sin APE的值 试题： (1) APE=45； (2) 过点 B作 FB/AD且 FB=AD，连结 EF和 AF， 四边形 AFBD是平行四边形， APE= FBE， AF=DB， AB是 O直径， C=90， FAE= BCE=90， CE=2BD， BC=2AE， CE=2AF， ， A
16、EF CBE， ， 1= 3，又 2+ 3=90， 1+ 2=90，即 FEB=90，在 Rt BEF中， FEB=90 tan FBE= ，又 APE= FBE， sin APE= 考点：圆的综合题 已知：如图， Rt AOB中， O=90，以 OA为半径作 O， BC切 O 于点 C，连接 AC交 OB于点 P （ 1）求证： BP=BC； （ 2）若 sin PAO= ，且 PC=7，求 O的半径 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） 试题分析： (1) 连接 OC，证明 BPC= BCA即可； （ 2）延长 AO交 O于点 E，连接 CE，在 Rt AOP中，由 sin PAO= ，设O
17、P=x，则 AP=3x， AO= ， OE= ， AE= ，由 ，得到，得到 ，解出 x，得到 AO的长 试题： (1)证明：连接 OC， BC是 O切线， OCB=90， OCA+ BCA=90， OA=OC， OCA= OAC， O=90， OAC+ APO=90， APO= BPC， OAC+ BPC=90， BPC= BCA， BC=BP； (2)延长 AO交 O于点 E，连接 CE，在 Rt AOP中， sin PAO= ，设OP=x，则 AP=3x， AO= ， AO=OE， OE= ， AE= ， sin PAO= ， ， ， ，解得： ， AO= 考点： 1切线的性质； 2解直
18、角三角形 体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处 A点距离地面的高度为 2m，当球运行的水平距离为 6m时，达到最大高度 5m的 B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？（结果保留根号） 答案： 试题分析：以地面所在直线为 x轴，过点 A与地面的垂线作为 y轴建立平面直角坐标系如图所示由题意可知：顶点为（ 6， 5），设抛物线式 为，把 A的坐标代入即可求出抛物线的式，令 y=0，解方程即可 试题：以地面所在直线为 x轴，过点 A与地面的垂线作为 y轴建立平面直角坐标系如图所示则 ， ，设抛物线式为 ， 在抛物线上， 代入得：
19、， ， 令， （舍）， ， 答：该同学把实心球扔出 m 考点：二次函数的应用 甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余 情况则视为平局 （ 1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果； （ 2）试用概率说明游戏是否公平 答案：（ 1）答案：见试题；（ 2）不公平 试题分析：（ 1）画出树状图即可； （ 2）算出甲获胜的概率，乙获胜的概率，进行比较得到结论 试题：（ 1） 所有可能出现的结果：（红，红），（红，黄），（红，绿），
20、（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）； （ 2） ， ， ， 游戏不公平 考点： 1列表法与树状图法； 2游戏公平性 已知：如图， ABD中， AC BD于 C， ， E是 AB的中点，tanD=2， CE=1，求 sin ECB和 AD的长 答案： sin ECB= ， AD= 试题分析：由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到 AB=2，设BC=3x，则 CD=2x AC=4x，在 Rt ACB中由勾股定理 AB=5x，由 ECB= B，求出 sin ECB及 x的值，在 Rt ACD中，由勾股定理求得 AD的长 试题： AC BD， ACB= ACD
21、=90， E是 AB的中点， CE=1， AB=2CE=2， 设 BC=3x， CD=2x，在 Rt ACD中， tanD=2， ， AC=4x，在 Rt ACB中由勾股定理 AB=5x， sin ECB=sinB=，由 AB=2，得 ， 考点：解直角三角形 一次函数 与反比例函数 的图象都过点 A ，的图象与 轴交于点 B （ 1）求点 B坐标及反比例函数的表达式； （ 2） C 是 轴上一点，若四边形 ABCD是平行四边形，直接写出点 D的坐标，并判断 D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由 答案：（ 1） B( 1， 0)， ；（ 2） D（ 2， 2），在 试题分析：（ 1）令 ，
22、求出 x的值，得到 B的坐标，把 A的坐标代入直线的表达式，求出 A的坐标，再把 A的坐标代入反比例函数式即可； （ 2）根据平行四边形的性质得到 D的坐标，然后把 D的坐标代入反比例函数检验即可 试题：（ 1）由题意：令 ，则 ， A在直线 上 ， 在反比例函数 图象上， 反比例函数的式为： ； （ 2） 四边形 ABCD是平行四边形 ， 在反比例函数的图象上 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 已知：如图，在 ABC中， BC=2， ， ABC=135，求 AC和 AB的长 答案： AC= ， AB= 试题分析：过点 A作 AD BC，交 CB的延长线于点 D，由 ， BC=2，得到 A
23、D的长，由 ABC=135， 得到 ABD=45从而得到 AB、 AD的长，在Rt ADC中，由勾股定理得到 AC的长 试题：过点 A作 AD BC，交 CB的延长线于点 D，在 ABC中， ，BC=2， AD= =3， ABC=135， ABD=45， AB= AD=， BD=AD=3，在 Rt ADC中， CD=5， 考点：解直角三角形 如图， O与割线 AC交于点 B， C，割线 AD过圆心 O，且 DAC=30若 O的半径 OB=5， AD=13，求弦 BC的长 答案： 试题分析：过点 O作 OE BC于点 E，由 AD=13， O的半径是 5，得到AO=8，根据 30角所对直角边等于
24、斜边的一半，得到 OE的长，再由垂径定理得到 BC的长 试题：过点 O作 OE BC于点 E， AD过圆心 O， AD=13， O的半径是 5， AO=8， DAC=30， OE=4， OB=5， BE=3， BC=2BE=6 考点： 1勾股定理； 2垂径定理 如图 1，平面直角坐标系 中，点 ， OC=8，若抛物线 平移后经过 C， D两点，得到图 1中的抛物线 W （ 1）求抛物线 W的表达式及抛物线 W与 轴另一个交点 的坐标； （ 2）如图 2，以 OA， OC为边作矩形 OABC，连结 OB，若矩形 OABC从 O点出发沿射线 OB方向匀速运动，速度为每秒 1个单位得到矩形 ，求当点
25、 落在抛物线 W上时矩形的运动时间； （ 3）在（ 2）的条件下，如图 3，矩形从 O点出发的同时，点 P从 出发沿矩形的边 以每秒 个单位的速度匀速运动，当点 P到达 时，矩形和点 P同时停止运动，设运动时间为 秒 请用含 的代数式表示点 P的坐标； 已知：点 P在边 上运动时所经过的路径是一条线段，求点 P在边上运动多少秒时，点 D到 CP的距离最大 答案：（ 1） ， 6， 0）；（ 2） ；（ 3） 当时， ，当 时， ； 试题分析：（ 1）先得到 C的坐标，再把 D、 C的坐标代入平移后的式即可，令y=0，可以得到和 x轴的另一交点的坐标； （ 2）经过 t秒后，点 的坐标为： ，将
26、 代入 ，即可求出 落在抛物线 上的时间； （ 3） 设 ，分两种情况讨论： (I)当 时，即点 P在 边上，(II)当 时，即点 P在 边上（不包含 点）， 当点 在 运动时， ，可以求出点 P所经过的路径所在函数式，还可以求出直线 式为： ，得到 DC AP，从而有 DCP面积为定值当 CP取得最小值时，点 D到 CP的距离最大，即当 CP AP时， CP取得最小值 试题：（ 1）依题意得： ， ， 抛物线 的式为：，另一交点为（ 6， 0）； （ 2）依题意：在运动过程中，经过 t秒后，点 的坐标为： ，将代入 ，舍去负值得： ，经过 秒 落在抛物线 上； （ 3） 设 ， (I)当 时，即点 P在 边上， ， ， ， ； (II)当 时，即点 P在 边上（不包含 点）， ， ， ， 综上所述： 当 时， ，当 时， 当点 在 运动时， ，点 P所经过的路径所在函数式为：，又 直线 式为： ， DC AP， DCP面积为定值 CP取得最小值时，点 D到 CP的距离最大，如图，当 CP AP时， CP取得最小值，过点 P作 PM y轴于点 M， PMC=90， ， ， ， DCO+ PCM=90， CPM+ PCM=90， ， ，在 Rt PMC中， PMC=90， ， ，检验： ， 经过 秒时，点 D到 CP的距离最大 考点：二次函数综合题
