1、2015届江苏省无锡市玉祁初级中学九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： A. 整理得： ，是关于 x的一元一次方程，故本选项错误； B. ，方程二次项系数可能为 0，故本选项错误； C. ，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D. ，方程含有两个未知数，不是关于 x的一元二次方程 故选： C 考点：一元二次方程的定义 如图，在四边形 ABCD中， ABC DCB 90， E、 F分别是 AD、 BC的中点，分别以 AB、 CD为直径作半圆，这两个半圆面积的和为 8，则 EF的长为 （ ）
2、A 10 B 8 C 6 D 4 答案： D 试题分析：连接 BD，取 BD的中点 M，连接 EM、 FM，延长 EM交 BC于 N， ABC+ C=360270=90， E、 F、 M分别是 AD、 BC、 BD的中点， EM= AB， FM= CD， EM AB，FM CD， ABC= ENC， MFN= C， MNF+ MFN=90， NMF=18090=90， EMF=90， 由勾股定理得： ， 阴影部分的面积是： =8， EF=4，故选 D 考点： 1勾股定理； 2直角三角形斜边上的中线 已知 是方程 的两个实数根， 设 则 的值为（ ） A 0 B 1 C 2010 D 2011
3、答案： A 试题分析：根据题意得， = 而 是方程 的两个实数根， ， =0故选 A 考点：根与系数的关系 如图，三个边长均为 2的正方形重叠在一起， O1、 O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是（ ） A 1 cm2 B 2 cm2 C 3 cm2 D 4 cm2 答案： B 试题分析：如图，过点 O1分别作正方形的边的垂线 O1C、 O1D， O1是正方形的中心， O1C=O1D， O1C O1D， 1+ 2=90， 2+ 3=90， 1= 3， 在 O1AC和 O1BD中， ， O1AC O1BD（ ASA）， O1AC和 O1BD的面积相等， 阴影部分的面积等于正方形面积的
4、， 同理可得，另一阴影部分的面积也等于正方形的面积的 ， 图中阴影部分的面积等于 1+1=2，故选 B 考点： 1正方形的性质； 2全等三角形的判定与性质 如图，四边形 ABCD中， A=135， B= D=90， BC= ， AD=2，则四边形 ABCD的面积是（ ） A 4 B 4 C 4 D 6 答案： C 试题分析：如图，分别延长 CD， BA交于点 E DAB=135， EAD= C= E=45， BE=BC= ， AD=ED=2， 四边形 ABCD的面积 =S EBCS ADE= BC BE AD DE， = 故选 C 考点：解直角三角形 下列命题是真命题的是（ ） A垂直于圆的半
5、径的直线是圆的切线 B经过半径外端的直线是圆的切线 C直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 D到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 答案： D 试题分析： A应经过此半径的外端，故本选项错误； B应该垂直于此半径，故本选项错误 C应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误； D根据切线的判定方法，故本选项正确； 故选 D 考点： 1命题与定理； 2切线的判定 如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为 30的斜坡铺设管道，若量得水管 AB的长度为 80米，那么点 B离水平面的高度 BC的长为 （ ） A 40米 B 米 C 米 D 10米 答案： A 试题分析：在直角 ABC中，
6、A=30， BC= AB= 80=40米故选 A 考点：解直角三角形的应用 -坡度坡角问题 对于锐角 A， sinA的值 不可能 为 （ ） A B C D 1 答案： D 试题分析： 是锐角， sinA 1故选 D 考点：锐角三角函数的定义 如图，已知 O的半径为 13，弦 AB长为 24，则点 O到 AB的距离是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 答案： B 试题分析：过 O作 OC AB于 C， OC过 O， AC=BC= AB=12， 在 Rt AOC中，由勾股定理得： OC= =5故选： B 考点： 1垂径定理； 2勾股定理 三角形的两边长分别为 3和 6，第三边的长是方程 的一
7、个根，则这个三角形的周长为（ ） A 11 B 13 C 11或 13 D 12 答案： B 试题分析：解方程 得， x=2或 4， 第三边长为 2或 4 边长为 2， 3， 6不能构成三角形； 而 3， 4， 6能构成三角形， 三角形的周长为 3+4+6=13，故选 C 考点： 1解一元二次方程 -因式分解法； 2三角形三边关系 填空题 已知 A（ -1， 0）， B（ 3， 0），点 P为 y轴上一点，且 APB 135，则点P的坐标是 答案：（ 0， ）或（ 0， ） 试题分析：若 P在 y轴正半轴，设 P（ 0， y），过 B作 BQ AP于 Q，如图， 则： AO=1， OP=y，
8、OB=3， BP= ， AP= ， APB=135， QPB=45， ， PQ=QB= ， 在 Rt AQB 中， ， ， ， ， ， ， ， 若 P在 y轴负半轴，同理可得： ， P（ 0， ）或（ 0， ） 考点： 1勾股定理； 2坐标与图形性质 如图，矩形 ABCD中， AB=2， BC=3，以 A为圆心， 1为半径画圆， E是 A上一动点， P是 BC上的一动点，则 PE+PD的最小值是 答案： 试题分析：如图，以 BC 为轴作矩形 ABCD 的对称图形 ABCD以及对称圆 A，连接 AD交 BC于 P，则 DE就是 PE+PD最小值； 矩形 ABCD中， AB=2， BC=3，圆 A
9、的半径为 1， AD=BC=3，DD=2DC=4， AE=1， AD=5， DE=51=4， PE+PD=PE+PD=DE=4，故答案：为 4 考点：轴对称 -最短路线问题 河堤横断面如图所示，堤高 BC 5米，迎水坡 AB的坡比是 1： （坡比是坡面的铅直高度 BC与水平宽度 AC之比），则 AC的长是 答案： 试题分析： 迎水坡 AB的坡比 1： ， ， 堤高 BC=5米， AC= BC= （米）故答案：为： 考点：解直角三角形的应用 -坡度坡角问题 ABC是 O的内接三角形，若 AOC =100，则 ABC的度数等于 答案： 或 130 试题分析： B= AOC= 100=50，或者 B
10、=180-50=130故答案：为：50或 130 考点：圆周角定理 已知圆锥的母线长为 5cm，底面圆的半径长为 3cm，则此圆锥的侧面积是 cm2 答案： 试题分析：底面圆的半径为 3cm，则底面周长 =6c，侧面面积 =65=15cm2故答案：为： 15 考点：圆锥的计算 若关于 x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 答案： 且 试题分析：根据题意得 且 = ，解得： 且 故答案：为： 且 考点： 1根的判别式； 2一元二次方程的定义 方程 的解是 答案： ， . 试题分析： ， ， ， ， . 故答案：为： ， 考点：解一元二次方程 -因式分解法 函数 中，自变量
11、x的取值范围是 答案： . 试题分析：根据题意得： ，解得： 故答案：为： 考点：函数自变量的取值范围 计算题 计算：（本题满分 8分） （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值 3个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （ 2）利用立方根和算术平方根的定义进行计算 试题：（ 1）原式 = ； （ 2）原式 = 考点： 1实数的运算； 2特殊角的三角函数值； 3立方根； 4算术平方根 解答题 （本题满分 10分）如图， Rt ABC在平面直角坐标系中， BC在 X轴上，B（ 1，
12、0）、 A（ 0， 2）， AC AB （ 1）求线段 OC的长 （ 2）点 P从 B点出发以每秒 4个单位的速度沿 x轴正半轴运动，点 Q从 A点出发沿线段 AC以 个单位每秒速度向点 C运 动，当一点停止运动，另一点也随之停止，设 CPQ的面 积为 S，两点同时运动，运动的时间为 t秒，求 S与 t之间关系式，并写出自变量取值范围 （ 3） Q点沿射线 AC按原速度运动， G过 A、 B、 Q三点，是否有 这样的 t值使点 P在 G上、如果有求 t值，如果没有说明理由 答案：（ 1） 4；（ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）利用 AOB COA即可求得 OC=4 （ 2）分当 P在 BC
13、上， Q在线段 AC上时、当 P在 BC延长线上， Q在线段 AC上时、当 C、 P、 Q都在同一直线上利用 CQD CAO求得 t值即可 （ 3）若点 P在圆 G上，因为 AC AB，所以 BQ是直径，所以 BPQ=Rt ，即 PQ BC，则 ，得到有关 t的式子求解即可 试题：（ 1） AC AB， ABO+ ACO=90， BAO+ ABO=90， BAO= ACO， ABO= OAC， AOB COA， ， B（ 1， 0）、 A（ 0， 2）， OA=2， OB=1， ， OC=4； （ 2） 当 P在 BC上， Q在线段 AC上时，（ ）过点 Q作 QD BC于D， 如图所示，则
14、CQ= ， CP=54t， 由 CQD CAO可得 QD=2t，所以 S= CP QD= ， 即 S= ； 当 P在 BC延长线上， Q在线段 AC上时（ ），过点 Q作 QD BC于 D， 如图所示，则 CQ= ， CP=4t5， 由 CQD CAO可得 QD=2t，所以 S= CP QD= ， 即 S= ， 当 t= 或 t=2时 C、 P、 Q都在同一直线上， S=0 ； （ 3）若点 P在圆 G上，因为 AC AB，所以 BQ是直径，所以 BPQ=90，即PQ BC， 则 ，得： ， 解得 ， （不合题意，舍去），所以当 时，点 P在圆 G上 考点： 1相似三角形的判定与性质； 2坐标
15、与图形性质； 3圆周角定理 （本题满分 10分）（ 1）问题发现 如图 1， ACB和 DCE均为等边三角形，点 A、 D、 E在同一直线上，连接BE， 填空： AEB的度数为 ； 线段 AD、 BE之间的数量关系是 （ 2）拓展探究 如图 2， ACB和 DCE均为等腰直角三角形， ACB= DCE=900， 点 A、 D、E在同一直线上， CM为 DCE中 DE边上的高，连接 BE请判断 AEB的度数及线段 CM、 AE、 BE之间的数量关系，并说明理由 （ 3）解决问题如图 3，在正方形 ABCD中， CD= 若点 P满足 PD=1，且 BPD=900，请直接写出点 A到 BP的距离 答
16、案：（ 1） 60； AD=BE；（ 2） AEB 900； AE=2CM+BE，理由见试题；（ 3） 或 试题分析：（ 1）由条件易证 ACD BCE，从而得到： AD=BE， ADC= BEC由点 A， D， E在同一直线上可求出 ADC，从而可以求出 AEB的度数 （ 2）仿照（ 1）中的解法可求出 AEB的度数，证出 AD=BE；由 DCE为等腰直角三角形及 CM为 DCE中 DE边上的高可得 CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE （ 3）由 PD=1可得：点 P在以点 D为圆心， 1为半径的圆上；由 BPD=90可得：点 P在以 BD为直径的圆上显然，点 P是这两个圆的交点，
17、由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论然后，添加适当的辅助线，借助于（ 2）中的结论即可解 决问题 试题：（ 1） 如图 1， ACB和 DCE均为等边三角形， CA=CB， CD=CE， ACB= DCE=60 ACD= BCE 在 ACD和 BCE中， AC=BC， ACD= BCE， CD=CE， ACD BCE（ SAS）， ADC= BEC DCE为等边三角形， CDE= CED=60 点 A， D， E在同一直线上， ADC=120， BEC=120， AEB= BEC CED=60 故答案：为： 60 ACD BCE， AD=BE故答案 ：为： AD=BE （ 2）
18、AEB=90， AE=BE+2CM 理由：如图 2， ACB和 DCE均为等腰直角三角形， CA=CB， CD=CE， ACB= DCE=90， ACD= BCE 在 ACD和 BCE中， CA=CB， ACD= BCE， CD=CE， ACD BCE（ SAS）， AD=BE， ADC= BEC DCE为等腰直角三角形， CDE= CED=45 点 A， D， E在同一直线上， ADC=135， BEC=135， AEB= BEC CED=90 CD=CE， CM DE， DM=ME， DCE=90， DM=ME=CM， AE=AD+DE=BE+2CM （ 3） PD=1， 点 P在以点 D
19、为圆心， 1为半径的圆上 BPD=90， 点 P在以 BD为直径的圆上， 点 P是这两圆的交点 当点 P在如图 3 所示位置时， 连接 PD、 PB、 PA，作 AH BP，垂足为 H， 过点 A作 AE AP，交 BP于点 E，如图 3 四边形 ABCD是正方形， ADB=45 AB=AD=DC=BC= ， BAD=90， BD=2 DP=1， BP= A、 P、 D、 B四点共圆， APB= ADB=45， PAE是等腰直角三角形 又 BAD是等腰直角三角形，点 B、 E、 P共线， AH BP， 由（ 2）中的结论可得： BP=2AH+PD =2AH+1， AH= ； 当点 P在如图 3
20、 所示位置时， 连接 PD、 PB、 PA，作 AH BP，垂足为 H， 过点 A作 AE AP，交 PB的延长线于点 E，如图 3 同理可得： BP=2AHPD， =2AH1， AH= 综上所述：点 A到 BP的距离为 或 考点： 1圆的综合题； 2全等三角形的判定与性质； 3正方形的性质；4圆周角定理 （本题满分 8分）国家限购以来，二手房和新楼盘的成交量迅速下降据统计，无锡在限购前某季度二手房和新楼盘成交量为 9500套限购后，同一季度二手房和新楼盘的成交量共 4425套其中二手房成交量比限购前减少 55，新楼盘成交量比限购前减少 52 （ 1）问限购后二手房和新楼盘各成交多少套？ （
21、2）在成交量下跌的同时，房价也大幅跳水某楼盘限购前均价为 12000元 /m，限购后，无人问津，房价进行调整，二次下调后均价为 7680元 /m，求平均每次下调的百分率？总理表态：让房价回归合 理价位合理价位为房价是可支配收入的 3 6倍，假设无锡平均每户家庭（三口之家）的年可支配收入为 9万元，每户家庭的平均住房面积为 80 m，问下调后的房价回到合理价位了吗？请说明理由 答案：（ 1） 2025套和 2400套；（ 2） 20%，没有，理由见试题 试题分析：（ 1）先设限购前二手房成交 x套，新楼盘成交 y套，再根据题意列出方程组，求出方程组的解即可； （ 2）先设每次调价百分比为 m，根
22、据题意列出方程，求出 m的值，再求出合理的价位的值，两者相比较，即可得出答案： 试题：（ 1）设限购前二手房成交 x套，新楼盘成交 y套，根据题意得：，解得： ， 4500（ 155%） =2025（套）， 5000（ 152%） =2400（套）， 答：限购后二手房和新楼盘各成交 2025套和 2400套 （ 2）设每次调价百分比为 m，根据题意得： ， 解得： m=0.2=20%， m=1.8（舍去）， 90000680=6750 7680， 没有到合理价位 答：平均每次下调的百分率是 20%，没有到合理价位 考点： 1一元二次方程的应用； 2二元一次方程组的应用 （本题满分 7分）实践操
23、作：如图， ABC是直角三角形， ACB 90，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法） （ 1） 作 BAC的平分线，交 BC于点 O； 以 O为圆心， OC为半径作圆 （ 2）综合运用：在你所作的图中， AB与 O的位置关系是 _（直接写出答案：）； 若 AC 5， BC 12，求 O的半径 答案：（ 1）作图见试题；（ 2） 相切； 试题分析：实践操作：根据题意画出图形即可； 综合运用：（ 1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得 AB与 O的位置关系是相切； （ 2）首先根据勾股定理计算出 AB的 长，再设半径为 x，则 OC=OD=x， BO
24、=（ 12x）再次利用勾股定理可得方程 ，再解方程即可 试题：实践操作，如图所示： 综合运用：（ 1） AB与 O的位置关系是相切 AO是 BAC的平分线， DO=CO， ACB=90， ADO=90， AB与 O的位置关系是相切； （ 2） AC=5， BC=12， AD=5， AB= =13， DB=ABAD=135=8， 设半径为 x，则 OC=OD=x， BO=（ 12x）， ，解得： 答： O的半径为 考点： 1作图 复杂作图； 2角平分线的性质； 3切线的判定 （本题满分 9分）如图 1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图 2，晾衣架伸缩时，点 G在射线 DP上滑
25、动， CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于 20cm，且 AH=DE=EG=20cm （ 1）当 CED=60时，求 C、 D两点间的距离； （ 2）当 CED由 60变为 120时，点 A向左移动了多少 cm？（结果精确到0.1cm） （ 3）设 DG=xcm，当 CED的变化范围为 60 120（包括端点值）时，求 x的取值范围（结果精确到 0.1cm）（ 参考数据 1.732） 答案：（ 1） 20；（ 2） 43.9；（ 3） 20cmx34.6cm 试题分析：（ 1）证明 CED是等边三角形，即可求解； （ 2）分别求得当 CED是 60和 120，两种情况下 AD的长
26、，求差即可； （ 3）分别求得当 CED是 60和 120，两种情况下 DG的长度，即可求得 x的范围 试题：（ 1）连接 CD（图 1） CE=DE， CED=60， CED是等边三角形， CD=DE=20cm； （ 2）根据题意得： AB=BC=CD， 当 CED=60时， AD=3CD=60cm， 当 CED=120时，过点 E 作 EH CD于 H（图 2），则 CEH=60， CH=HD 在直角 CHE中， sin CEH= ， CH=20sin60=20 = （ cm）， CD= cm， AD= 103.9（ cm）， 103.960=43.9（ cm），即点 A向左移动了 43.
27、9cm； （ 3）当 CED=120时， DEG=60， DE=EG， DEG是等边三角形， DG=DE=20cm， 当 CED=60时（图 3），则有 DEG=120，过点 E作 EI DG于点 I DE=EG， DEI= GEI=60， DI=IG， 在直角 DIE中， sin DEI= ， DI=DE sin DEI=20sin60=20 =cm DG=2DI= 34.6cm 则 x的范围是： 20cmx34.6cm 考点： 1解直角三角形的应用； 2菱形的性质 （本题满分 6分）如图， AB为 O的直径， BC为 O的切线， AC交 O于点 E， D 为 AC上一点， AOD C （
28、1）求证： OD AC； （ 2）若 AE 8， cosA ，求 OD的长 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） 3 试题分析：（ 1）根据三角形内角和定理可以证明 ABC= ADO=90，即AB BC，则 BC是圆的切线； （ 2）在直角 ADO中利用三角函数求得 OD的长 解答：证明：（ 1） OD AC， ADO=90， 在 AOD和 ACB中， A= A， AOD= C， ABC= ADO=90，即 AB BC， BC是 O的切线； （ 2） O 中， OD AC， AD= AE=4， cosA ， AO=5， OD=3 考点： 1切线的性质； 2解直角三角形 （本题满分 8分）已知关于
29、 x的一元二次方程 ，其中 a、 b、 c分别为 ABC三边的长 （ 1）如果 是方程的根，试判断 ABC的形状，并说明理由； （ 2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 ABC的形状，并说明理由； （ 3）如果 ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 答案：（ 1） ABC是等腰三角形，理由见试题；（ 2） ABC是直角三角形，理由见试题；（ 3） ， 试题分析：（ 1）直接将 代入得出关于 a， b的等式，进而得出 a=b，即可判断 ABC的形状； （ 2）利用根的判别式进而得出关于 a， b， c的等式，进而判断 ABC的形状； （ 3）利用 ABC是等边三角形，则 a=b=c，进
30、而代入方程求出即可 试题：（ 1） ABC是等腰三角形； 理由： 是方程的根， ， ， ， ， ABC是等腰三角形； （ 2） 方程有两个相等的实数根， ， ， ， ABC是直角三角形； （ 3）当 ABC是等边三角形， ，可整理为：， ， 解得： ， 考点： 1一元二次方程的应用； 2代数几何综合题 解方程（本题满分 8分） （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ， ；（ 2） ， 试题分析：（ 1）利用配方法解方程； （ 2）利用因式分解法解方程 试题：（ 1）由原方程移项，得： ， ， ， ， ， ， ； （ 2）由原方程，得： ， ， ， 考点： 1解一元二次方程 -配方法； 2解一元二
31、次方程 -因式分解法 （本题满分 10分）木匠黄师傅用长 AB=3，宽 BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：圆心 O1、 O2分别在 CD、 AB上，半径分别是 O1C、 O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆； 方案三：沿对角线 AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形 BCEF拼到矩形 AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆 （ 1）写出方案一中圆的半径； （ 2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？ （ 3）在方案四中，设 CE=x（ 0 x 1），圆的半径为 y
32、求 y关于 x的函数式； 当 x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大 答案：（ 1） 1；（ 2）方案三；（ 3） ， ，方案四 试题分析：（ 1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方 形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为 3， 2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1 （ 2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用 O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用 AOM OFN后对应边成比例整理方
33、程，进而可求 r的值 （ 3） 类似（ 1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方 向跨度则选择最小跨度，取其 ，即为半径由 EC为 x，则新拼图形水平方向跨度为 3x，竖直方向跨度为 2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论 已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径另与前三方案比较，即得最终结论 试题：（ 1）方案一中的最大半径为 1 分析如下：因为长方形的长宽分别为 3， 2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1； （ 2）如图 1，方案二中连接 O1， O2，过 O1作 O1E AB于 E，方案三
34、中，过点O分别作 AB， BF的垂线，交于 M， N，此时 M， N恰为 O与 AB， BF的 切点 方案二：设半径为 r，在 Rt O1O2E中， O1O2=2r， O1E=BC=2， O2E=ABAO2CO1=32r， ，解得 方案三：设半径为 r，在 AOM和 OFN 中， A= FON， OMA= OFN， AOM OFN， ， ，解得 ： ，比较知，方案三半径较大； （ 3） EC=x， 新拼图形水平方向跨度为 3x，竖直方向跨度为 2+x 类似（ 1），所截出圆的直径最大为 3x或 2+x较小的 a当 时，即当 时， ； b当 时，即当 时， ； c当 时，即当 时， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 方案四中，当 时， y最大为 ， 方案四时可取的圆桌面积最大 考点：圆的综合题
