1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -因式分解的应用（带解析） 填空题 计算 = 答案： 试题分析：首先分式 ，都含有 x4+4的形式因而对 x4+4进行因式分解，转化为 （ x+1） 2+1（ x1）2+1形式套用该规律，将各数代入，将原式写为，通过分子、分母约分化简，即可求得结果 解： x4+4=（ x2+2） 2（ 2x） 2=（ x2+2x+2）（ x22x+2） =（ x+1） 2+1（ x1）2+1， 原式 = 故答案：为： 考点：因式分解的应用 点评：本题考查因式分解的应用解决本题的关键是找到题目中蕴含的共性规律 x4+4=（ x2+2） 2（ 2x） 2=（ x2+2x+2
2、）（ x22x+2） =（ x+1） 2+1（ x1）2+1 当 x依次取 1， 2， 3， ， 2009， ， ， ， ， 时，代数式 的值的和等于 答案： 2008 试题分析：因为当 x= 时和当 x=k时，分别代入代数式 ，再把它们所得的和相加的 1.2， 3， ， 2009， ， ， ， ， 恰好分别对应互为相反数，从而问题的得解 解： 当 x= 时， = ， 当 x=k时， = ， 故这两值相加得： + =1， 当 x依次取 1， 2， 3， 2009 ， ， ， ， ， 时， 原式 = + + + + + + ， = +（ + ） +（ + ） + （ + ）， = +1+1+1
3、， = 考点：因式分解的应用 点评：本题考查因式分解在分式化简中的运用，在化简中注意不同的分式相加是一个常数 解答题 若 1+x+x2+x3=0，求 x+x2+x3+x 2000的值 答案： 试题分析：把 x+x2+x3+x 2000相邻的四项分成一组，然后提取公因式，然后代值计算 解： x+x2+x3+x 2000=（ x+x2+x3+x4） +（ x5+x6+x7+x8） + （ x1997+x1998+x1999+x2000） =x（ 1+x+x2+x3） +x5（ 1+x+x2+x3） +x 1997（ 1+x+x2+x3） =0 考点：因式分解的应用 点评：本题主要考查因式分解的知识
4、点，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式，此题难度不大 设 x 0，试比较代数式 x3和 x2+x+2的值的大小 答案：当 x=2时， x3=x2+x+2；当 0 x 2时， x3 x2+x+2；当 x 2时， x3 x2+x+2 试题分析：分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设 x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路然后做减法，因式分解后，讨论得解 解：设 x=0， 则 x3 x2+x+2 设 x=10，则有 x3=1000， x2+x+2=112， 所以 x3 x2+x+2 设 x=100，则有 x3 x2+x+2 观察、比较 ， 两式的条件和
5、结论，可以发现：当 x 值较小时， x3 x2+x+2；当 x值较大时， x3 x2+x+2 那么自然会想到：当 x=？时， x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则 它很可能就是本题得解的 “临界点 ” 为此，设 x3=x2+x+2，则 x3x2x2=0， （ x3x22x） +（ x2） =0， （ x2）（ x2+x+1） =0 因为 x 0，所以 x2+x+1 0，所以 x2=0，所以 x=2这样 （ 1）当 x=2时， x3=x2+x+2； （ 2）当 0 x 2时，因为 x2 0， x2+x+1 0， 所以（ x2）（ x2+x+1） 0， 即 x3（ x2+x+2） 0， 所以
6、， x3 x2+x+2 （ 3）当 x 2时，因为 x2 0， x2+x+1 0， 所以（ x2）（ x2+x+1） 0， 即 x3（ x2+x+2） 0， 所以 x3 x2+x+2 综合归纳（ 1），（ 2），（ 3）就得到本题的解答 考点：因式分解的应用 点评：本题考查因式分解的应用，关键是找到比较大小的临界点，然后讨论求解 已知 |ab+2|+（ a2b） 2=0，求 a2b2ab2的值 答案： 试题分析：由于 |ab+2|+（ a2b） 2=0，根据非负数的性质可以得到 ab+2=0，a2b=0，联立解方程组即可求出 a、 b的值，然后代入所求代数式计算即可求解 解： |ab+2|+（
7、 a2b） 2=0， ab+2=0， a2b=0， 联立解方程组得： ， a2b2ab2=ab（ a2b） =80=0 考点：因式分解的应用 点评：本题考查因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解 计算： 220112201022009 2221 答案： 试题分析：初看此题，感觉难度很大，但仔细观察，可发现， 2201222011=（ 21）22011=22011， 2201122010=22010（ 21） =22010，依此类推即可解答 解： 2201222011=（ 21） 22011=22011， 2201122010=22010（ 21） =22010，
8、 依此类推，最后结果为 211=1 故答案：为： 1 考点：因式分解的应用 点评：本题主要考查有理数的乘方，找出规律是解答本题的关键 已知 a， b， c是 ABC的三条边长，且满足 b2+ab=c2+ac，试判断 ABC的形状并说明理由 答案：等腰三角形 试题分析：把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出 b=c，才能说明这个三角形是等腰三角形 解： b2+ab=c2+ac可变为 b2c2=acab， （ b+c）（ bc） =a（ cb）， 因为 a， b， c为 ABC的三条边长， 所以 b， c的关系要么是 b c，要么 b c， 当 b c时， bc 0， cb 0，不合题意； 当
9、b c时， bc 0， cb 0，不合题意 那么只有一种可能 b=c 所以此三角形是等腰三角形 考点：因式分解的应用 点评：此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键 在 ABC中，已知三边 a、 b、 c满足 a4+2a2b2+b42a3b2ab3=0试判断 ABC的形状 答案：等腰三角形 试题分析：把前三项分为一组，后两项分为一组，运用分组分解法将已知等式因式分解，再提公因式，因式分解，根据 三角形边的关系求解 解： a4+2a2b2+b42a3b2ab3=0， （ a2+b2） 22ab（ a2+b2） =0， 提公因式，得（ a2
10、+b2）（ a2+b22ab） =0， a2+b20， a2+b22ab=0， 解得 ab=0，即 a=b， ABC为等腰三角形 考点：因式分解的应用 点评：本题考查因式分解的运用，关键是将已知等式因式分解，得出新等式，由此判断三角形形状 如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空： x2+（ p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（ ）（ ） 说理验证 事实上，我们也可以用如下方法进行变形： x2+（ p+q） x+pq=x2+px+qx+pq=（ x2+px） +（） = =（ ）（ ） 于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解 尝试运用 例题 把 x2+3x+2分解
11、因式 解： x2+3x+2=x2+（ 2+1） x+21=（ x+2）（ x+1） 请利用上述方法将下列多项式分解因式： （ 1） x27x+12； （ 2）（ y2+y） 2+7（ y2+y） 18 答案： x+p x+q qx+pq x（ x+p） +q（ x+p） x+p x+q （ 1）（ x3）（ x4） （ 2）（ y2+y+9）（ y+2）（ y1） 试题分析：由矩形的面积公式可以求得 x2+px+qx+pq=（ x+p）（ x+q）； 利用分组的方法可以先分组然后提公因式法可以分解因式为： x2+px+qx+pq=（ x2+px） +（ qx+pq） =x（ x+p） +q（
12、x+p） =（ x+p）（ x+q）； 根据 x2+（ p+q） x+pq=（ x+p）（ x+q）的形式的运用，可以将一个二次三项式分解因式，从而求出结果 解：由矩形的面积公式得：（ x+p）（ x+q）； 根据分组分解法得： x（ x+p） +q（ x+p），（ x+p）（ x+q）； （ 1）原式 =（ x3）（ x4） （ 2）原式 =（ y2+y+9）（ y2+y2） =（ y2+y+9）（ y+2）（ y1） 故答案：为：（ x+p）（ x+q）； x（ x+p） +q（ x+p），（ x+p）（ x+q）； 考点：因式分解的应用；因式分解 -十字相乘法等 点评：本题是一道因式分解
13、的试题，考查了十字相乘法在实际问题中的运用，分组分解 法的运用，提公因式法的运用在分解因式时，要分解到不能再分解为止 计算 答案： 试题分析：分子分母运用提公因式法，再运用平方差公式计算 解：原式 = = = 考点：因式分解的应用 点评：此题考查的知识点是因式分解的应用，关键是在计算的过程中，注意运用因式分解法可以简便计算 已知正实数 a、 b、 c满足方程组 ，求 a+b+c的值 答案： 试题分析：首先把三个方程相加，运用完全平方公式得到关于（ a+b+c）的一元二次方程，解方程即可 解：三式相加，得： （ a+b+c） +（ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca） =72， （ a+b
14、+c） 2+（ a+b+c） 72=0， （ a+b+c） +9（ a+b+c） 8 =0， a， b， c都是正实数， a+b+c 0， a+b+c=8 考点：因式分解的应用 点评：此题考查的知识点是因式分解的应用，关键是先三个方程相加，通过因式分解得到关于（ a+b+c）的一元二次方程 已知在 ABC中，三边长 a， b， c满足等式 a2+2b2+c22ab2bc=0，试判断该三角形是什么三角形，并加以证明 答案：等边三角形 试题分析：先将原式变形为： a2+b2+c2+b22ab2bc=0得出（ ab） 2+（ bc）2=0，可以得出 a=b=c，从而得出结论判断出 ABC的形状 解：
15、 ABC是等边三角形 理由： a2+2b2+c22ab2bc=0， a2+b2+c2+b22ab2bc=0， （ ab） 2+（ bc） 2=0， ab=0， bc=0， a=b=c， ABC是等边三角形 考点：因式分解的应用 点评：本题考查了因式分解的运用，等边三角形的判定及性质的运用，非负数和为 0的定理的运用 已知： m2=n+2， n2=m+2（ mn）求： m2+2mn+n2的值 答案： 试题分析：先由已知条件得出 m+n的值，再把 m2+2mn+n2化成完全平方的形式，再进行计算即可； 解：由已知两式相减，得： m2n2=nm， （ mn）（ m+n+1） =0， 又 mn， m+
16、n=1， m2+2mn+n2=（ m+n） 2=（ 1） 2=1； 考点：因式分解的应用 点评：本题考查了因式分解的应用，观察出已知条件得出 m+n的值是解题的关键； 已知 a25a+1=0（ a0），求 a2+ 的值 答案： 试题分析：让等式两边同时除以 a，得到 a+ =5，两边平方整理即可得到 a2+的值 解： a25a+1=0（ a0）， a+ =5， （ a+ ） 2=52， a2+ =522=23 考点：因式分解的应用 点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力 已知 a5a4ba4+ab1=0，且 2a3b=1，则
17、 a3+b3的值是 答案： 试题分析：观察 a5a4ba4+ab1=0式子，可分解为（ ab1）（ a4+1） =0，那么必为 ab1=0，根据已知 a、 b还 满足 2a3b=1据这两式可解得 a、 b的值那么再将 a、 b的值代入 a3+b3即可求出结果 解： a5a4ba4+ab1=0 （ a5+a） （ a4b+b） （ a4+1） =0 a（ a4+1） b（ a4+1） （ a4+1） =0 （ ab1）（ a4+1） =0 a4+1 0 ab1=0 又 2a3b=1 由 可得 a=2， b=1， a3+b3=23+1=9 故答案：为： 9 考点：因式分解的应用 点评：本题考查因式
18、分解，解决本题的关键是通过因式分解将a5a4ba4+ab1=0转化为（ ab1）（ a4+1） =0，同时得到 ab1=0 已知： |x+y+1|+|xy3|=0，求代数式 xy3+x3y的值 答案： -15 试题分析：先提取公因式 xy，再利用完全平方公式整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可 解： |x+y+1|+|xy3|=0， x+y=1， xy=3 x3y+xy3 =xy（ x2+y2） =xy（ x2+y2+2xy） 2xy =xy（ x+y） 22xy =3（ 16） =15 考点：因式分解的应用；非负数的性质：绝对值 点评：本题考查因式分解的应用，利用完全平方公式整理成已知
19、条件的形式是求解本题的关键，整体思想的运用使运算更加简便 宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有 10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜 a1局，输 b1局；二号选手胜 a2局，输 b2局， ，十号选手胜 a10局，输 b10局试比较 a12+a22+a 102与 b12+b22+b 102的大小，并叙述理由 答案： a12+a22+a 102=b12+b22+b 102 试题分析：依题意可知， a1+b1=9， a2+b2=9， a3+b3=9 ，故： b1=9a1， b2=9a2，b3=9a3 ，用作差法列式，比较大小，运用
20、乘法公式对式子变形，得出结论 解：依题意可知， a1+b1=9， a2+b2=9， a3+b3=9 ， 且 a1+a2+a 10=b1+b2+b 10=45， （ a12+a22+a 102） （ b12+b22+b 102） =（ a12b12） +（ a22b22） + （ a102b102） =（ a1+b1）（ a1b1） +（ a2+b2）（ a2b2） + （ a10+b10）（ a10b10） =9（ a1+a2+a 10） （ b1+b2+b 10） =0， a12+a22+a 102=b12+b22+b 102 考点：因式分解的应用 点评：考查了因式分解的应用，本题根据基本等
21、式，运用作差法、换元法，得出关于 a的式子，分类讨论 已知四个实数 a， b， c， d，且 ab， cd若四个关系式： a2+ac=4，b2+bc=4， c2+ac=8， d2+ad=8同时成立，试求 a， c的值 答案： 试题分析：此题首先由已知得出 a+b+c=0， a+c+d=0，得出 b=d，再由（ a2+ac）+（ c2+ac） =4+8=12，（ a2+ac） （ c2+ac） =48=4，得出 ，（ ac）（ a+c） =4，然后讨论得出 a， c的值 解：由（ a2+ac） （ b2+bc） =44=0，（ c2+ac） （ d2+ad） =88=0， 得 （ ab）（ a+
22、b+c） =0，（ cd）（ a+c+d） =0， ab， cd， a+b+c=0， a+c+d=0， b=d=（ a+c） 又（ a2+ac） +（ c2+ac） =4+8=12，（ a2+ac） （ c2+ac） =48=4， 得 ，（ ac）（ a+c） =4 当 时， ， 解得 ， ， 当 ， ， 解得 ， 考点：因式分解的应用 点评：此题考查的知识点是因式分解的应用，通过等式加减及运用因式分解是关键 已知整数 a， b满足 6ab=9a10b+16，求 a+b的值 答案： -1 试题分析：运用因式分解法把原来的等式变形为（ 3a+5）（ 2b3） =1，再根据两个整数的乘积是 1 的
23、，只有 11 和（ 1） （ 1），再进一步解方程组即可 解：由 6ab=9a10b+16，得 6ab9a+10b15=1615 （ 3a+5）（ 2b3） =1（ 3分） 3a+5， 2b3都为整数， ，或 ，（ 4分） ，或 （ 2分） a， b为整数 取 ， 故 a+b=1（ 3分） 考点：因式分解的应用 点评：此题考查了因式分解的应用，能够根据条件的限制分析不定方程的解 已知 a+b=4， ab=5，求代数式 a3b+2a2b2+ab3的值 答案： -80 试题分析：将所求式子提取公因式 ab后，再利用完全平方公式分解因式，把a+b及 ab的值代入计算，即可求出值 解： a+b=4，
24、ab=5， a3b+2a2b2+ab3=ab（ a2+2ab+b2） =ab（ a+b） 2=542=80 考点：因式分解的应用 点评：此题考查了因式分解的应用，灵活运用完全平方公式是解本题的关键 计算： 答案： 试题分析：先把原式进行因式分解，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可 解：原式 = =298100= 故答案：为： 考点：因式分解的应用 点评：本题考查的是因式分解的应用及同底数幂的除法法则，先把原式分解为同底数幂的除法的形式是解答此题的关键 计算： 答案： 试题分析：先运用平方差公式，再两两约分即可求解 解： ， = ， = ， = 考点：因式分解的应用 点评：本题考查了因式分解的
25、应用，解题的关键是应用平方差公式简便计算 如果 a2+a=0（ a0），求 a2005+a2004+12的值 答案： 试题分析：观察 a2+a=0（ a0），求 a2005+a2004+12的值只要将 a2005+a2004+12转化为因式中含有 a2+a的形式，又因为 a2005+a2004+12=a2003（ a2+a） +12，因而将a2+a=0代入即可求出值 解：原式 =a2003（ a2+a） +12=a20030+12=12 考点：因式分解的应用；代数式求值 点评：本题考查因式分解的应用、代数式的求值解决本题的关键是 a2005+a2004将提取公因式转化为 a2003（ a2+a
26、），至此问题的得解 已知： a为有理数， a3+a2+a+1=0，求 1+a+a2+a3+a 2012的值 答案： 试题分析：首先将 1+a+a2+a3+a 2012变形为： 1+a（ a+a2+a3） +a5（ 1+a+a2+a3） +a 2009（ 1+a+a2+a3），然后将 a3+a2+a+1=0 代入即可求得答案： 解： a3+a2+a+1=0， 1+a+a2+a3+a 2012， =1+a（ 1+a+a2+a3） +a5（ 1+a+a2+a3） +a 2009（ 1+a+a2+a3）， =1 考点：因式分解的应用 点评：此题考查了因式分解的应用得到 1+a（ a+a2+a3） +a
27、5（ 1+a+a2+a3） +a 2009（ 1+a+a2+a3）是解此题的关键 已知 a+b=3，求代数式 a2b2+2a+8b+5的值 答案： 试题分析：所求式子前两项利用平方差公式分解因式，将 a+b的值代入计算，去括号合并后再将 a+b的值代入计算，即可求出值 解： a+b=3， a2b2+2a+8b+5=（ a+b）（ ab） +2a+8b+5=3（ ab） +2a+8b+5=5（ a+b）+5=15+5=20 考点：因式分解的应用 点评：此题考查了因式分解的应用，对所求式子进行适当的变形是解本题的关键 已知： a+b=4， ab=1 求：（ 1）（ ab） 2的值； （ 2） a5
28、b2a4b4+ab5的值 答案：（ 1） 12 （ 2） 192 试题分析：（ 1）运用完全平方公式把（ ab） 2的写成 a+b和 ab的形式，再进一步整体代入； （ 2）运用提公因式法和公式法进行因 式分解，再进一步整体代入 解： a+b=4， ab=1， （ 1）原式 =（ a+b） 24ab =424 =12； （ 2）原式 =ab（ a42a2b2+b4） =ab（ a+b） 2（ ab） 2 =4212 =192 考点：因式分解的应用；完全平方公式 点评：此题考查了因式分解在代数式中的应用，渗透整体代入的思想 已知： ，求代数式a2+b2+c2abbcac的值 答案： 试题分析：利
29、用完全平方公式进行配方求解 解： ， ab=1， bc=2， ac=1 a2+b2+c2abbcac= （ 2a2+2b2+2c22ab2bc2ac） = （ ab） 2+（ bc） 2+（ ac） 2 = （ 1+4+1） =3 考点：因式分解的应用 点评：此题考查了完全平方公式的运用，能够整体代入求解 已知； a、 b、 c是 ABC的三边的长，且满足 a3+ab2+bc2=ac2+a2b+b3，试判断 ABC的形状 答案：三角形是等腰三角形或直角三角形 试题分析：利用分组分解法提公因式法对等式进行变形，再进一步判定三角形的形状 解： a3+ab2+bc2=ac2+a2b+b3， （ a3a2b） +（ ab2b3） +（ bc2ac2） =0， a2（ ab） +b2（ ab） c2（ ab） =0， （ ab）（ a2+b2c2） =0， a=b或 a2+b2=c2， 则三角形是等腰三角形或直角三角形 考点：因式分解的应用 点评：此题考查了因式分解在图形中的应用，要能够熟练运用分组分解法和提公因式法进行因式分解 计算： 答案： 试题分析：先把括号里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法约分即可剩下 ，所以求出答案：为 解： = = = 考点：因式分解的应用 点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解
