1、2013届浙江建德李家镇初级中学九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 抛物线 y (x-1)2-2的顶点坐标是 A (-1， 2) B (1， -2) C (1， 2) D (-1， -2) 答案： B 试题分析：抛物线的顶点式为 ，顶点坐标为 (h,k) 考点：抛物线顶点坐标 点评：若给出的抛物线为顶点式，则顶点坐标为 (h,k)，若给出的抛物线函数为，则顶点坐标为 ( , ) 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，它们的式可能分别是 A ， B ， C ， D ， 答案： B 试题分析：由图象可知，反比例函数所在的象限为第二和第四象限，二次函数的图像
2、开口向下，所以两者的系数都小于零，即两者的系数或同为 k，或同为 -k。由图像可知，若 时，则 ， ，由此可知， A选项中， 时，因为系数需要小于零，所以 ，即 ； B 选项中， ， ，因为系数需要小于零，所以 ，即 ； C选项中，两个系数不相等，可排除； D选项中， 时， ，因为系数需要小于零，所以 ，即 ，所以 ，综上可知，答案：应该为 B。 考点：反比例函数图像 点评：此题关键在于两个函数中系数问题，即同为 k或者同为 -k，解决之后，后面的问题就清晰了。 三角函数 、 、 之间的大小关系是 A B C D 答案： C 试题分析： = ，在三角函数中，若 ，则 sinA随着 A的增大而增
3、大， cosA随着 A的增大而减小，所以选 C。 考点：三角函数的转换；三角函数随角度大小变换的取值问题 点评：此题首先要先把所有三角函数化为统一的类型，或者化为 sinA，或者化为 cosA，进而更加方便计算。 已知两个相似三角形的周长之和为 24cm，一组对应边分别为 2.5cm和3.5cm，则较大三 角形的周长为 A 10 cm B 12 cm C 14 cm D 16 cm 答案： C 试题分析：设小三角形的周长为 a，大三角形的周长为 b，由于两个三角形相似，所以，三组边的比值和周长的比值相等，比例系数为 2.5:3.5=5:7,即比例系数为5/7，所以， a:b=5/7，又 a+b
4、=24cm，所以联合求解，得出 b=14cm。 考点：相似三角形 点评：相似三角形，每组边的比值等于三角形周长的比值，每组边的比值等于面积比值的 1/4。 在 ABC中，若 ， ，则这个三角形是 A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 答案： B 试题分析：在 ABC中， ，则 A=30， ，则 B=45，所以 C=105。 考点：三角函数 点评：三角函数历来是考试重点，几个特殊角的三角函数值十分重要，如 30、45、 60、 90、 120、 135、 150等。 已知函数 y ，当 时， y的取值范围是 A B C 或 D 或 答案： C 试题分析：函数为反比例函数，所以
5、，当 时， ，当时， 。 考点：反比例函数 点评：反比例函数，图象与坐标轴没有交点，所以， x和 y值都不为 0，并且函数占据两个象限，所以需要分两种情况进行讨论，当 且无限趋近于 0时，y值无限小，当没有最小值，当 时， ；当 时， ，没有最大值，且随着 x值的增大， y值越来越小。 某反比例函数的图象经过点 (-2， 3)，则此函数图象也经过点 A (3， -2) B (3， 2) C (2， -3) D (2， 3) 答案： C 试题分析：反比例函数中，函数图像所在的两个象限以原点对称，所以图像经过 (-2， 3)，连接原点并延长至对角象限至相同长度，所在的点即 (2， -3)。 考点：
6、反比例函数的对称性质 点评：反比例函数以原点为对称点，函数图象分为两半处于两个对角象限中，其中一半的图像上的点与另一半图像上的点一一对应。 已知一个圆锥的侧面积是 150 ，母线为 15，则这个圆锥的底面半径是 A 5 B 10 C 15 D 20 答案： B 试题分析：圆锥的侧面积公式为 S=rl，其中， l为母线长， r为底面半径，代入数据，可得 r=10 考点：圆锥侧面积和母线、底面半径之间的关系。 点评：若题目中要求的是圆锥的高，则圆锥的高 。 下列判断正确的是 A所有等腰三角形都相似 B所有直角三角形都相似 C所有菱形都相似 D所有等边三角形都相似 答案： D 试题分析：三角形相似的
7、判定定理中，其中的一种判定方法则是有两组角相等，A选项中，若第一个三角形为等边三角形，第二个三角形为等腰直角三角形，则两个三角形不相似， B选项中，若第一个三角形为等腰直角三角形，第二个三角形三个角分别为 30、 60和 90，则两个三角形不相似， C选项中，若第一个菱形为正方形，第二个菱形为四条边都相等且其中一个底角为 60的平行四边形，则两个菱形不相似， D选项中等边三角形三个角都是 60，所以所有等边三角形的三组角都相等，即所有等 边三角形都相似。 考点：相似三角形的判定 点评：相似三角形的判定中，有两组角相等，则两个三角形相似，所有的等边三角形的角都是 60，即三组角都相等，所以所有等
8、边三角形都相似。 如图，已知圆心角 BOC 120，则圆周角 BAC的大小是 A 60 B 80 C 100 D 120 答案： A 试题分析：因为圆心角 BOC 120，圆周角为圆心角的一半，则圆周角 BAC是 60 考点：圆心角和圆周角的关系。 点评：在圆中，一段弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半。 填空题 如图，已知反比例函数 y （ m为常数）的图象经过点 A(-1， 6)，过A点的直线交函数 y 的图象于另一点 B，与 x轴交于点 C，且 AB 2BC，则点 C的坐标为 。 答案： (-4， 0) 试题分析：由反比例函数 y （ m为常数）图象经过 A(-1， 6)，将 A点数
9、值代入得到 m=2，所以反比例函数为 y= ，做 BM CO， AN CO，因为AB=2BC，所以 BC:AC=1:3，所以 BM:AN=1:3，因为 AN=6，所以 BM=2，即B点的 y值为 2，将 y=2代入反比例函数中，得出 ，所以直线经过 A(-1，6)和 B(-3， 2)， 设直线方程式为 ，将 A和 B分别代入直线方程中，求出 ，又 C点的纵坐标为 0，所以 ，即 C点坐标为 (-4， 0)。 考点：两平行线和两直线交线之间的关系 点评：先通过求出反比例函数的值，再由反比例函数推导出反比例函数与一次函数的交点，从而求出一次函数的表达式，进而求出 C点坐标。 如图，已知 ABC 中
10、， DE BC， AE AC 1 3， EM、 CN分别是 AED、 ACB的角平分线， EM 5，则 CN 。 答案： 试题分析：因为 DE BC，所以 AED= ACB，又因为 EM、 CN分别是 AED、 ACB的角平分线，所 以 EM CN，所以 AE:AC=EM:CN，因为AE:AC=1： 3， EM=5，所以 CN=15。 考点：平行线同位角相等；平行线与两直线交线之间的比例问题。 点评：此题也可以通过先证明 AED ACN，根据相似三角形各边对应成比例的性质，求出 CN。 如图，已知 O中，弦 AC、 BD相交于点 P， AB 5， AP 3， DP 2，则CD 。 答案： 试题
11、分析：在 O中， 所对应的 B和 C相等，又因为对顶角 APB= CPD，所以 APB DPC，所以 ，所以 CD= 。 考点：相似三角形 点评：通过圆周角以及对 顶角相等，求出两个三角形相似，接着利用相似三角形各边对应成比例的性质，求出 CD。 在半径为 1的圆中，长为 的弦所对的劣弧的弧长等于 。 答案： 试题分析：由圆心与弦的两个端点相连接，所得到的三角形三边分别为 1,1，所以 ，即此三角形是以圆心所在角为直角的直角三角形，即劣弧所对应的圆心角为 90，所以劣弧弧长为 。 考点：弧长与圆心角之间的联系 点评：由题目的已知条件可以看出三角形为直角三角形，若弦长不是 ，则应该由弦长一半和半
12、径的比值算出三角函数值，由三角函数值反推出对应的角度，此角度为圆心角的一半。 如图，二次函数 ，当 时自变量 x的取值范围是 。答案： 试题分析：由图像可知，此二次函数开口向上，且最低点时 y值小于零，当y=0时，两个实数根分别为 -1和 3，所以， 时， x的取值范围应该在 -1和 3之间，即 。 考点：二次函数自变量的取值范围 点评：若此题没有给出图像，则可以根据二次项系数大于零这一特点，判断出图像开口向上，又由于 0，可判断出函数有两个实数根，求出两根值，所以，函数图像必定与 x轴有交点，且最低点小于零，同样可以求出 x的取值范围。 在 Rt ABC中， C 90， AC 3， BC 4
13、， 那么 。 答案： 试题分析：根据直角三角形中， tanA为 A 所对应的直角边与邻边之比，即= = 考点：三角函数的计算。 点评：此题比较简单，直接给出了直角三角形的各边，由此可以解答 ，若要求 ，则还应该利用勾股定理求出 AB，进而计算 。 解答题 （本题 10分）如图，点 E是矩形 ABCD中 CD边上一点， BCE沿 BE折叠为 BFE，点 F落在 AD上。 （ 1）求证： ABF DFE； （ 2）若 BEF ABF，求 CD BC的值。 答案：（ 1）在矩形 ABCD中， A D 90， 又 ABF DFE， ABF DFE （ 2） AD BC， AFB=FBC，又 FBE=
14、CBE，由已知条件知 BEF ABF， AFB= FEB， FEB=2 FBE，又 BFE=90， FBE=30， EBC=30， BFE BCE， BF=BC， FBC=60， BCF为等边三角形，另 BC=x， CF=x， CD= ， CD:BC= 。 试题分析：（ 1）因为 ABE+ DEB=90，又 ，所以，可推出 ，从而推出两三角形相似。 （ 2）又内错角相等，推出图中四个三角形都为直角三角 形且其中一个角为 30，又根据两边相等且顶角为 60的三角形为等边三角形，从而可以化出 CD与 BC的关系式。 考点：相似三角形；全等三角形 点评：利用相似三角形各组角相等，全等三角形各组边相等
15、，可以将题目简单化，进而求出正确答案：。 （本题 10分）在直角坐标系中，有如图所示的 Rt ABO， AB x轴于点B(8， 0)，斜边 AO 10， C为 AO的中点，反比例函数 的图象经过点C，且与 AB交于点 D。 （ 1）求此反比例函数的式； （ 2）求线段 AD的长度。 答案：（ 1）过 C 点作 CE OB于 E，由已知， BA 6，则 EC 3， OE 4， 得 C(4， 3)，代入 ，得 k 12，所以 （ 2）由 代入 ，得 y ，则 D(8， )， 试题分析：（ 1）通过做辅助线 CE OB于 E，又因为 C为 AO中点，从而可知CE:AB=1:2，同理 OE:OB=1:
16、2，进而可以求出 C点的坐标，又 C点坐标求出反比例函数的式。 （ 2） D和 B拥有共同的横坐标，将横坐标 x=8代入（ 1）中所得的反比例函数的式，可以求得 D的坐标点，进而求出 y值，最后可得出 AD的长度。 考点：函数式的推导以及函数坐标与图像的关系 点评：此题通过函数图像与几何图形的结合，由此 推出一些数据。考题内容也可以转化为 C为 AO上的一点，从而求出 AD的长度表达式，加深题目难度。 （本题 10分）如图，在四边形 ABCD中， AB 2， CD 1， A 61， ADC B 90，利用解直角三角形知识求这个四边形 ABCD的面积。 （结果精确到 0.1。下列数据供参考： 0
17、.87， 0.48， 1.80； 0.48， 0.87， 0.55） 答案：延长 BC、 AD相交于 E， B 90， A 61， E 29， 在 Rt ABE中， （或 ） 在 Rt CDE中， ， 试题分析：通过辅助线，来解答这道题，因为 A 和 B 都知道，可以推出 E，求出 ABE的边长，从而得出其面积，同理也可以求得 CDE的面积，两个三角形面积之差即为四边形的面积。 考点：辅助线解几何；利用三角函数求出三角形各边长 点评：通过辅助线的做法，将陌生的图像转换为属性的三角形，可以化抽象为具体，又利用三角函数与三角形各边长的关系，进而求出三角形的面积。 （本题 8分）如图，已知在 O中，
18、 ABD CDB。 （ 1）求证： AB CD； （ 2）顺次连结 ACBD四点，猜想得到的是哪种特殊的四边形？并说明理 由。 答案：（ 1）连结 BC、 AD， ABD CDB， A C， BD BD， ABD BCD， AB CD。 （ 2）得到的四边形是等腰梯形。 ACD ABD，而 ABD CDB， ACD CDB， AC BD， 又 ABD CDB， AD CB， 四边形 ACBD是等腰梯形。 试题分析：（ 1）由优弧 所对应的圆周角相等，推出 A C，又由题目所给出的 ABD CDB 以及公共边，推出两个三角形全等，进而推出 AB CD。 （ 2）又 ACD ABD与 ABD CD
19、B等量代换， 推出 ACD CDB，根据内错角相等，推出 AC BD，又因为 ABD CDB，所以两个角所对应的劣弧 = ，所以 AD=CB，从而推出四边形为等腰梯形。 考点：圆内周角 点评：通过圆周角相等推出弧相等，进而求出相关的数据。 （本题 8分）已知二次函数 。 （ 1）求函数图象的顶点坐标、对称轴及与坐标轴交点的坐标； （ 2）并画出函数的大致图象，并求使 y 0的 x的取值范围。 答案：（ 1）顶点坐标 (1， -9)，对称轴直线 ， 与 x轴交点 (4， 0)， (-2， 0)；与 y轴交点标 (0， -8) （ 2）当 或 时 。 试题分析：（ 1）二次函数 可以化为 ,根据式
20、子，顶点坐标为 (1,-9)，对称轴经过顶点坐标且垂直于 x轴，所以对称轴为 ，若时， ，若 时， 和 ，所以与坐标轴的交点为 (4， 0)，(-2， 0)， (0， -8) （ 2）根据（ 1）中所求得的几个点，可以画出如图所示函数图象，因为函数图象开口向上，所以，要使 y 0，由图像可知，函数图像与坐标轴相交时横坐标分别为 和 ，所以， x的取值范围应该是 或 。 考点：二次函数一般式转化为顶点式；以及二次函数图像的画法。 点评：通过一般式转化为顶点式，可以求出函数图象的顶点坐标 以及对称轴。函数图像可以直观地看出不同 y值对应的 x值的取值范围。 （本题 8分）解下列各题： （ 1）计算
21、： ； （ 2）已知 ，求 的值。 答案：（ 1）原式 （ 2） 试题分析：（ 1） ， ， ， ，代入原式，求得原式 =0。 （ 2）由 可以推出 ，所以 ，所以 。 考点：三角函数值的计算；二元一次函数的转换。 点评：第一小题通过求出三角函数的值，转换为普通的计算式，第二小题，通过求出 x与 y值之间的关系式，进而求出 的值。 （本题 12分）已知两直线 ， 分别经过点 A(3， 0)，点 B(-1， 0)，并且当两直线同时相交于 y负半轴的点 C时，恰好有 ，经过点 A、 B、 C的抛物线的对称轴与直线 交于点 D，如图所示。 （ 1）求抛物线的函数式； （ 2）当直线 绕点 C 顺时针
22、旋转一个锐角时，它与抛物线的另一个交点为 P(x，y)，求四边形 APCB面积 S关于 x的函数式，并求 S的最大值； （ 3）当直线 绕点 C旋转时，它与抛物线的另一个交点为 P，请找出使 PCD为等腰三角形的点 P，并求出点 P的坐标。 答案：（ 1）可由两角相等证得： BOC COA。 得 ，即 ， ， C(0， - ) 设 ，把 (0， - )代入，得 a ， 抛物线的函数式为 （ 2） （ 0 x 3） 当 x 时， S的最大值是 （ 3）可得直线 为 ，直线 为 ， 抛物线的对称轴为 ，抛物线顶点为 (1， )，由此得 D(1， ) 以点 D为圆心，线段 DC长为半径画弧，交抛物线
23、于点 ，由抛物线对称性可知点 为点 C关于直线 的对称点， 点 (2， )，此时 为等腰三角形； 当以点 C为圆心，线段 CD长为半径画弧时，与抛物线交点为点 和点 B，而三点 B、 C、 D在同一直线上，不能构成三角形； 作线段 DC的中垂线 ，交 CD于点 M，交抛物线于点 P2， P3，交 y轴于点 F， 因为 BO 1， ，所以 MCF OCB 30， 而 CD 2， CM CD 1，则 CF ， OF ， 则 F(0， )，因 ，所以直线 为 ， 代入 ，解得 x 1或 x 2， 说明 P2就是顶点 (1， )， P3就是 P1(2， ) 综上所述，当点 P为 (-2， )或 (1，
24、 )时， PCD为等腰三角形。 试题分析：（ 1）由两组底脚相等，推导出两个三角形相似，从而确立 C点坐标，再结合 AB两点的坐标，可以求得二次函数式。 （ 2）由于 绕 C点运动，因此 P的坐标设为 (x,y)，四边形面积可以写为， 无未知量， 和 可以由的高分别为 -y 和 x，又 P点为抛物线上一点，所以可以算出 y和 x的关系式，进而求出 S与 x的函数式。由于解出来的函数为二次函数， x的取值范围已知，求出函数对称轴，得出函数对称轴在此范围内，所以要求最大值，实际上则是代入对称轴所对应的 x值，可得出 S。 （ 3）通过分类讨论，各种不同的情况所对应的等腰三角形也不相同，由已知条件可以推导出两条直线的方程，结合函数图像，可以得出 P点的坐标。 考点：函数图像；几何图形 点评：一般试卷最后一道题都是综合性的题目，学生需要掌握几何图 形以及函数图形、函数表达式的知识，从而将复杂的题目简单化，进而可以求出一些未知量。
