1、2012年沪科版初中数学九年级上 23.3二次函数的图象和性质练习卷与答案（带解析） 选择题 二次函数 的图象与 轴交点的横坐标是（ ） A 2和 B 和 C 2和 3 D 和 答案： A 试题分析：根据与 轴交点的坐标的纵坐标为 0，即可得到结果。 当 时， ，解得 ，故选 A. 考点：本题考查的是二次函数的性质 点评：解答本题的关键是掌握图象与 轴交点的坐标的纵坐标为 0. 已知抛物线 与 轴交于 两点，则线段的长度为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：先求出抛物线的对称轴，再根据 关于对称轴对称，求出 A点的坐标，即可得出答案： 的对称轴是 x=1， A（ x1， 0）与 B（
2、 3， 0）关于直线 x=1对称， A点的坐标是：（ 1， 0）， 线段 AB的长度 =3-1=2； 故选 B 考点：此题考查了抛物线与 x轴的交点 点评：解答本题的关键是根据抛物线的对称轴求出点 A的坐标 二次函数 中， ，且 时 ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：先根据题意判断出 a的正负，再直接套用公式求其最值即可 ： 在二次函数 y=ax2+bx+c中 当 x=0时， y=-4，则 c=-4 b2=ac 0， c=-4 0， a 0， y有最大值 且该值为 （ 1） 把 c=-4代入（ 1）得： ， 故选 C. 考点：本题考查二次函数的最值问题 点评：求二次函数的最大（
3、小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法 已知函数 的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的 的取值范围是（ ） A B C D 或 答案： 试题分析：通过观察图象得到 x=-1或 x=3时， y=1； 即二次函数图象在直线 y=1上方，即可读出其对应的 x的取值范围 观察图象得， x=-1或 x=3时， y=1； 当 时， x的取值范围是 或 故选 D. 考点：本题考查了二次函数与不等式的关系 点评：解答本题的关键是观察二次函数的图象，运用二次函数的性质找出满足函数值所对应的自变量的范围 二次函数 的图象如图所示 有下列结论： ； ； ； ； 当时，
4、 只能等于 其中正确的是（ ） A B C D 答案： 试题分析：由抛物线与 x轴有两个交点得到 b2-4ac 0，判定 错误； 由抛物线的对称轴方程 x= =2可以判定 a、 b异号，由此确定 错误； 由对称轴为 x=2，与 x轴的一个交点为（ 5， 0）可以确定另一个交点为（ -1，0），由此推出当 x=-1时， y=a-b+c=0，由此判定 正确； 由对称轴为 x=2得到 4a+b=0，由此判定 正确； 由（ 0， 2）的对称点为（ 4， 2），可以推出当 y=2时， x=0或 2，由此判定 错误 由图示知该抛物线与 x轴有两个不同的交点， b2-4ac 0； 故本选项错误； 由图示知对
5、称轴方程 x= =2 0，即 0， a、 b异号，故 ab 0； 故本选项错误 ； 根据图示知，当 x=-1时， y=0，即 a-b+c=0； 故本选项正确； 由图示知对称轴方程 x= =2，即 b=-4a，所以 4a+b=0； 故本选项正确； （ 0， 2）的对称点为（ 4， 2）， 当 y=2时， x=0或 2； 故本选项错误； 综上所述，正确的说法有 ； 故选 B 考点：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系 点评：解答本题的关键是会利用对称轴的范围求 2a与 b的关系，同时熟练掌握二次函数与方程之间的转换，根的判别式的运用 已知二次函数 ，当 从 逐渐变化到 的过程中，它所对应的抛物
6、线位置也 随之变动下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A先往左上方移动，再往左下方移动 B先往左下方移动，再往左上方移动 C先往右上方移动，再往右下方移动 D先往右下方移动，再往右上方移动 答案： 试题分析：先分别求出当 b=-1、 0、 1时函数图象的顶点坐标即可得出答案： 当 b=-1时，此函数式为： y=x2+x+1，顶点坐标为：（ ， ）； 当 b=0时，此函数式为： y=x2+1，顶点坐标为：（ 0， 1）； 当 b=1时，此函数式为： y=x2-x+1，顶点坐标为：（ ， ） 故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动 故选 C 考点：本题考查的是二次函数的图象与几何
7、变换 点评：解答此题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标为 已知二次函数 的图象如图所示，对称轴是 ，则下列结论中正确的是（ ） A B C D 答案： 试题分析：由抛物线的开口方向判断 a与 0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断 c与 0的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 A、由抛物线的开口向下知 a 0，与 y轴的交点为在 y轴的正半轴上， c 0，因 此 ac 0，故不正确； B、对称轴为 x=- =1，得 2a=-b， a、 b异号，即 b 0，故错误； C、而抛物线与 x轴有两个交点， b2-4ac 0，故错误； D、对称轴为 x=- =1，
8、得 2a=-b，即 2a+b=0，故正确 故选 D 考点：本题考查的是二次函数的图象 点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数 y=ax2+bx+c系数符号的确定方法 已知 的图象是抛物线，若抛物线不动，把 轴， 轴分别向上、向右平移 2个单位，那么在新坐标系下抛物线的式是（ ） A B C D 答案： 试题分析：抛物线不动，把 轴， 轴分别向上、向右平移 2个单位，即可看作把抛物线向下、向左平移 2个单位，再根据 “左加右减，上加下减 ”的规律分析即可。 由题意得，在新坐标系下抛物线的式是 ，故选 B. 考点：本题考查的是抛物线的平移 点评：解答本题的关键是掌握平移规律： “左加右减，上加下减
9、 ”，同时要注意是哪一部分左加右减，哪一部分上加下减。 抛物线 的对称轴是直线（ ） A B C D 答案： 试题分析：根据顶点式直接判断即可。 抛物线 的对称轴是直线 ，故选 A. 考点：本题考查的是抛物线的 对称轴 点评：解答本题的关键是掌握二次函数的顶点式 ，其中顶点坐标为（ -h， k），对称轴为 小明从右边的二次函数 图象中，观察得出了下面的五条信息： ， ， 函数的最小值为 ， 当 时， ， 当时， 你认为其中正确的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案： 试题分析：根据开口方向 ；根据抛物线与 y轴的交点判断 ；根据抛物线顶点坐标及开口方向判断 ；观察当 x 0时，图
10、象是否在 x轴上方，判断 ；在0 x1 x2 2时，函数的增减性判断 根据图象可知： 该函数图象的开口向上， a 0，故本选项错误； x=0时，可 y=c=0，故本选项正确； 函数的最小值为 -3，故本选项正确； 根据图象知，当 x 0时，图象是在 x轴上方， y 0；故本选项正确； 当 x 2时函数为减函数， 0 x1 x2 2时， y1 y2，故本选项正确 故选 C 考点：本题主要考查了二次函数的性质 点评：解答本题的关键是会根据图象获取所需要的信息掌握函数性质灵活运用要求数形结合，逐一判断 观察下列四个函数的图象（ ） 将它们的序号与下列函数的排列顺序：正比例函数、一次函数、 二次函数、
11、反比例函数，对应正确的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数各自对应的图象特征即可判断， 正比例函数的图象必经过原点，一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是抛物线，反比例函数的图象是双曲线，故选 C. 考点：本题考查的是函数的图象 点评：解答本题的关键是掌握正比例函数的图象必经过原点，一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是抛物线，反比例函数的图象是双曲线。 填空题 二次函数 的最小值是 答案： 试题分析：求开口向上的抛物线的最小值即求其顶点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可 二次函数 y=x2-2x-3可化为 y=（ x-1）
12、 2-4， 最小值是 -4 考点：本题考查二次函数的最值问题 点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法 已知二次函数 ，其中 满足 和，则该二次函数图象的对称轴是直线 答案： 试题分析：解方程求出 a， b的值，再根据对称轴公式即可求出该二次函数图象的对称轴 方程 9a-3b+c=0减去方程 a+b+c=0， 可得 8a-4b=0， 根据对称轴公式整理得：对称轴为 x=- =-1 故该二次函数图象的对称轴是直线 x=-1 考点：本题考查的是二次函数的图象与系数的关系 点评：解决此题的关键是根据对称轴公式的特点巧妙整理方程，运用技巧不但可以
13、提高速度，还能提高准确率 抛物线 的对称轴是 _ 答案： 试题分析：根据抛物线的顶点坐标即可得到结果。 由题意得对称轴是 考点：本题考查的是二次函数的对称轴 点评：解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标为 请你写出一个 的值，使得函数 在第一象限内 的值 随着 的值增大而增大，则 可以是 答案：答案：不唯一，如 0； 1； 2等 试题分析：将函数 y=x2+2bx化为 y=（ x+b） 2-b2，可得对称轴为 x=-b，当图象在对称轴右侧， y随着 x的增大而增大；而在对称轴左侧， y随着 x的增大而减小，所以对称轴不能过第一象限，即 -b0，得 b0 因为 a=1 0，抛物线开口向上， 又函
14、数 y=x2+2bx在第一象限内 y的值随着 x的值增大而增大， 所以对称轴不能过第一象限，即 x=-b0，得 b0 在此范围内确定 b的值本题答案：不唯一，如： 0， 1， 2等 考点：本题综合考查二次函数的增减性 点评：解答本题的关键是根据函数关系式得到当图象在对称轴右侧， y随着 x的增大而增大；而在对称轴左侧， y随着 x的增大而减小。 解答题 如图，已知抛物线 经过 ， 三点，且与 轴的另一个交点为 （ 1）求抛物线的式； （ 2）用配方法求抛物线的顶点 的坐标和对称轴； （ 3）求四边形 的面积 答案：（ 1） ；（ 2） ， ；（ 3） 15 试题分析：（ 1）已知了抛物线上三点
15、的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的式 （ 2）根据（ 1）的式按要求求解即可 （ 3）由于四边形 ABDE不是规则的四边形，因此可将其分割成几个规则图形来求解 方法不唯一： 可连接 OD，将梯形的面积分割成三个三角形的面积进行求解 可过 D作 x轴的垂线，将梯形的面积分割成两个三角形和一个直角梯形进行求解 （ 1） 抛物线 经过 三点 解得 抛物线式： （ 2） 顶点坐标 ，对称轴： （ 3） 连结 ，对于抛物线式 当 时，得 ，解得： ， 考点：本题主要考查了二次函数式的确定以及图形面积的求法 点评：解答本题的关键是掌握不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差 已知 关于 的函数：
16、中满足 （ 1）求证：此函数图象与 轴总有交点 （ 2）当关于 的方程 有增根时，求上述函数图象与 轴的交点坐标 答案：（ 1）见；（ 2） 和 试题分析：（ 1）首先对 分类讨论，当 时，为一次函数，可判断结论，当 时，先求出根的判别式，再根据 ，即可判断结论； （ 2）先去分母得到 ，再得到方程有增根 ，即可求得结果。 （ 1）当 时，函数为 ，图象与 轴有交点 当 时， 当 时， ，此时抛物线与 轴有交点 因此， 时， 关于 的函数 的图象与 轴总有交点 （ 2）关于 的方程去分母得： ， 由于原分式方程有增根，其根必为 这时 这时函数为 ，它与 轴的交点是 和 考点：本题考查的是二次函
17、数的性质 点评：解答本题的关键是首先对 分类讨论，同时掌握方程的增根的定义。 下表给出了代数式 与 的一些对应值： 0 1 2 3 4 3 3 （ 1）请在表内的空格中填入适当的数； （ 2）设 ，则当 取何值时， ？ （ 3）请说明经过怎样平移函数 的图象得到函数 的图象 答案： 试题分析：根据与 x轴的交点坐标得到什么时候 y 0讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可 （ 1）这个代数式属于二次函数当 x=0， y=3； x=4时， y=3 说明此函数的对称轴为 x=（ 0+4） 2=2那么 ， b=-4，经过（ 0，3）， c=3，二次函数式为 y=x2-4
18、x+3， 当 x=1时， y=0； 当 x=3时， y=0 （ 2）由（ 1）可得二次函数与 x轴的交点坐标，由于本函数开口向上， 可根据与 x轴的交点来判断什么时候 y 0 当 x 1或 x 3时， y 0 （ 3）由（ 1）得 y=x2-4x+3，即 y=（ x-2） 2-1 将 抛物线 y=x2-4x+3先向左平移 2个单位，再向上平移 1个单位即得抛物线y=x2 考点：本题考查的是二次函数 点评：解答此类问题时常由一些特殊点或与 y轴的交点，对称轴等得到二次函数的式 抛物线 与 轴交于 点 （ 1）求出 的值并画出这条抛物线； （ 2）求它与 轴的交点和抛物线顶点的坐标； （ 3） 取
19、什么值时，抛物线在 轴上方？ （ 4） 取什么值时， 的值随 值增大而减小？ 答案：（ 1） ；（ 2） ， ；（ 3） ；（ 4） 试题分析：（ 1）把 直接代入抛物线 即得求得 的值，再根据描点法作出图象； （ 2）根据与 轴的交点的纵坐标为 0，即可求出它与 轴的交点，再把函数式配方为顶点式，即可求出顶点的坐标； （ 3）根据抛物线在 轴上方的部分的函数值大于 0，即可得到结果； （ 4）根据函数的增减性即可得到结果。 （ 1）由抛物线 与 轴交于 ，得： 抛物线为 图象略 （ 2）由 ，得 ， 抛物线与 轴的交点为 ； ， 抛物线顶点坐标为 ； （ 3）由图象可知：当 时，抛物线在 轴
20、上方； （ 4）由图象可知：当 时， 的值随 值的增大而减小 考点：本题考查的是二次函数的性质 点评：解答本题的关键是掌握函数图象上的点适合这个函数的式，图象与 轴交点的坐标的纵坐标为 0。 已知抛物线 与直线 相交于点 （ 1）求抛物线的式； （ 2）请问（ 1）中的抛物线经过怎样的平移就可以得到 的图象？ （ 3）设抛物线 上依次有点 ，其中横坐标依次是，纵坐标依次为 ，试求 的值 答案：（ 1） ；（ 2）把抛物线 向左平移 3个单位长度得到 的图象，再把 的图象向下平移 1个单位长度得到 的图象；（ 3） 4024000. 试题分析：（ 1）先把 代入 求得 m的值，再代入即可求得结果
21、； （ 2）先把 配方得到顶点式，再根据顶点坐标的变化分析即可； （ 3）根据 的横坐标是连续偶数，所以 的横坐标是 ，再代入函数式即得结果。 （ 1） 点 在直线 上， 把 代入 ， 得 求得 抛物线的式是 （ 2） 顶点坐标为 把抛物线 向左平移 3个单位长度得到 的图象，再把的图象向下平移 1个单位长度得到 的图象 （ 3）由题意知， 的横坐标是连续偶数，所以 的横坐标是 ，纵坐标为 所对应的纵坐标依次是 考点：本题考查的是二次函数的性质 点评：解答本题的关键是掌握函数图象上的点适合 这个函数的式，同时掌握配方法求二次函数的顶点坐标的方法，另外也可熟记二次函数的顶点坐标如图， 为抛物线
22、上对称轴右侧的一点，且点 在 轴上方，过点 作 垂直 轴于点 ， 垂直 轴于点 ，得到矩形 若，求矩形 的面积 答案： 试题分析：已知了 AP=1，即 P点的纵坐标为 1，代入抛物线的式中即可得出 P点的横坐标，即 OA、 BP 的长然后根据矩形的面积公式即可求出矩形 PAOB的面积 轴， ， 点 的纵坐标为 当 时， ，即 解得 抛物线的对称轴为 ，点 在对称轴的右侧， 矩形 的面积为 个平方单位 考点：本题主要考查了二次函数的应用 点评：根据二次函数的式求出矩形的长是解题的关键 抛物线 过点 ，顶点为 M 点 （ 1）求该抛物线的式； （ 2）试判断抛物线上是否存在一点 P，使 POM 9
23、0 若不存在，说明理由；若存在，求出 P点的坐标； （ 3）试判断抛物线上是否存在一点 K，使 OMK 90 ，说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）存在 试题分析：（ 1）将 A（ 1， -3）， B（ 3， -3）， C（ -1， 5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求 a、 b、 c的值，得出抛物线式； （ 2）抛物线上存在一点 P，使 POM=90 设（ a， a2-4a），过 P点作 PE y轴，垂足为 E；过 M点作 MF y轴，垂足为 F，利用互余关系证明Rt OEP Rt MFO，利用相似比求 a即可； （ 3）抛物线上必存在一点 K，使 OMK=90 过
24、顶点 M作 MN OM，交 y轴于点 N，在 Rt OMN 中，利用互余关系证明 OFM MFN，利用相似比求N 点坐标，再求直线 MN 式，将直线 MN 式与抛物线式联立，可求 K 点坐标 （ 1）根据题意，得 解得 抛物线的式为 （ 2）抛物线上存在一 点 P，使 POM 90 x= ， . 顶点 M的坐标为 设抛物线上存在一点 P，满足 OP OM，其坐标为 过 P点作 PE y轴，垂足为 E；过 M点作 MF y轴，垂足为 F 则 POE MOF 90 ， POE EPO 90 EPO FOM OEP MFO 90 ， Rt OEP Rt MFO OE MF=EP OF 即 解，得 （
25、舍去）， P点的坐标为 （ 3） 过顶点 M作 MN OM，交 y轴于点 N则 FMN OMF 90 MOF OMF 90 ， MOF FMN 又 OFM MFN 90 ， OFM MFN OF MF MF FN 即 4 2 2 FN FN 1 点 N 的坐标为（ 0， -5） 设过点 M， N 的直线的式为 解，得 直线的式为 把 代入 ，得 直线 MN 与抛物线有两个交点（其中一点为顶点 M） 抛物线上必存在一点 K，使 OMK 90 考点：本题考查了二次函数的综合运用 点评：解答本题的关键关键是通过已知三点求抛物线式，根据垂直关系 证明三角形相似，得出线段长及点的坐标，利用直线式及抛物线式求满足条件的点的坐标
